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fraan89
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 03 Jun 2009
Mensajes: 30
Carrera: Industrial
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Buenas, estoy preparando el final para el jueves, y quería saber (que ví por ahi), como era la demostración de la ecuación de onda (en mi clase lo dieron muy por arriba).. estuve leyendo un apunte pero me parece muy extenso como para poner en un final, alguno tiene idea de como se llega "sinteticamente" (asi no hay forma de que me complique/olvide)
gracias
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Te hago la demostración para el campo eléctrico ![[tex]\vec{E}[/tex]](images/latex/bba7be567786ffc8f432d2d465323dc10c7a07d0_0.png "[tex]\vec{E}[/tex]") nada más (para ![[tex]\vec{B}[/tex]](images/latex/144363f53e45ce006d728a26181229967890f86f_0.png "[tex]\vec{B}[/tex]") y ![[tex]\vec{H}[/tex]](images/latex/e194ea9577c48076638db769f3424e80aaedb063_0.png "[tex]\vec{H}[/tex]") es lo mismo practicamente):
Hago un pequeño repaso de las hipótesis:
*Medio: lineal, homogéneo, isotrópico y pasivo;
*Conductividad lineal, homogénea e isotrópica;
*Sin fuentes de campo.
Ahora si, empezás con:
![[tex]\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E}=\vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\, . \, \vec{E}\right)- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/a5958b933c273933d6b6773ab74aad5ae18e21c3_0.png "[tex]\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E}=\vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\, . \, \vec{E}\right)- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Como ![[tex]\rho_l=0[/tex]](images/latex/b28af416de2183495771d41b95994328f82118a1_0.png "[tex]\rho_l=0[/tex]") (hipótesis: sin fuentes de campo), por Gauss: ![[tex]\vec{\nabla}\,.\,\vec{E}=0[/tex]](images/latex/fc2f68b48baf9822c603368260cfd5616503edd0_0.png "[tex]\vec{\nabla}\,.\,\vec{E}=0[/tex]")
Y ahora empezamos a trabajar con la parte de los rotores:
![[tex]\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E}=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/294d0b68dfd52854d3429a68eea8fc842ce48316_0.png "[tex]\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E}=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Tomo el primer rotor (paréntesis) y aplico Faraday:
![[tex]\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right)=\vec{\nabla} \times \left( \frac{-\partial \vec{B}}{\partial t} \right)=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/867fda784c50cc18efb1a0265d4df2b41db7a0c0_0.png "[tex]\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right)=\vec{\nabla} \times \left( \frac{-\partial \vec{B}}{\partial t} \right)=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Estamos en el vacío, entonces se cumple que: ![[tex]\vec{B}=\mu \vec{H}[/tex]](images/latex/24b2c49e9156745f8248d3a9b34bc7fdcd9955a6_0.png "[tex]\vec{B}=\mu \vec{H}[/tex]") , reemplazo...
![[tex]\vec{\nabla} \times \left( \frac{-\partial \mu \vec{H}}{\partial t} \right)=-\mu \vec{\nabla} \times \left( \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \right)=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/9ca82621b1927e4b16ca816e8f57aa355d5f6553_0.png "[tex]\vec{\nabla} \times \left( \frac{-\partial \mu \vec{H}}{\partial t} \right)=-\mu \vec{\nabla} \times \left( \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \right)=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Hacemos un "enrroque" entre la derivada parcial y el operador nabla (por igualdad de derivadas segundas cruzadas):
![[tex]-\mu \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{\nabla} \times \vec{H}\right)=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/9ae82eb7ea6106707a7f5dd2e61a04578f5246b1_0.png "[tex]-\mu \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{\nabla} \times \vec{H}\right)=- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Aplicamos Ampere-Maxwell en el rotor del vector intensidad de campo mangético:
![[tex]-\mu \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{J}^*+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \right) =- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/1e42a1a70827e3b254c79544f1e391d54b81d80a_0.png "[tex]-\mu \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{J}^*+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \right) =- \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Cancelo los signos menos y distribuyo la derivada parcial:
![[tex]\mu \frac{\partial \vec{J}^*}{\partial t}+\mu \frac{\partial ^2 \vec{D}}{\partial t^2}= \nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/e9f44e7fd71cb89d491d947554d5fcf228284ed6_0.png "[tex]\mu \frac{\partial \vec{J}^*}{\partial t}+\mu \frac{\partial ^2 \vec{D}}{\partial t^2}= \nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Como ![[tex]\vec{J}^*=\sigma \vec{E}[/tex]](images/latex/db39f75f59058738ec5bbbbd770654ba9632ed57_0.png "[tex]\vec{J}^*=\sigma \vec{E}[/tex]") y también ![[tex]\vec{D}=\varepsilon \vec{E}[/tex]](images/latex/30a4582a6bf77c1a5d43ff155de951f15a148e75_0.png "[tex]\vec{D}=\varepsilon \vec{E}[/tex]") , reemplazo en la expresión.
![[tex]\mu \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}=\nabla ^2 \vec{E}[/tex]](images/latex/a545bf3c1101fcebdc3b6a9ccb4ae1f60e96b327_0.png "[tex]\mu \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}=\nabla ^2 \vec{E}[/tex]")
Y esa es la ecuación de onda para el campo eléctrico
Para los vectores y es exactamente lo mismo, solo tenés que acordarte la primera expresión:
![[tex]\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{X}=\vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\, . \, \vec{X}\right)- \nabla ^2 \vec{X}[/tex]](images/latex/1199ac23ce89e7ebfa47d9c06363aed850cf246d_0.png "[tex]\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{X}=\vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\, . \, \vec{X}\right)- \nabla ^2 \vec{X}[/tex]")
Donde ![[tex]\vec{X}[/tex]](images/latex/502424d7140522e0a16cabd479b7da173ca90a64_0.png "[tex]\vec{X}[/tex]") puede ser el vector inducción magnética o el vector intensidad de campo mangético, y, aplicando las ecuaciones de Maxwell, llegás a una expresión como la que obtuve del campo eléctrico.
Bueno, eso fue todo. Espero te haya servido.
Saludos,
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leandrob_90
Revivamos el Chat-FIUBA
¿Qué te pasó foro? Antes eras chévere.
Por un ping-pong libre, popular y soberano.
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fraan89
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 03 Jun 2009
Mensajes: 30
Carrera: Industrial
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hasta ahi joya
peero, a vos te quedo un termino mas en la ecuación de ondas, no tendrías que considerar nulo el vecor densidad de corriente? (ya que estás pidiendo ausencia de cargas como hipótesis?)
Gracias, ahora intento con B y con H,, la estoy pifiando en algo porque me queda todo con un signo menoscuando hago con H
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Sepilloth
Nivel 8
Edad: 19
Registrado: 12 Dic 2007
Mensajes: 705
Ubicación: Capital
Carrera: Electricista
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No se como lo harán en Física 2, pero sí, para las ecuaciones de onda (que son 2, una para E y una para H) se considera sin fuentes de campo (en realidad las fuentes están fuera del recinto que estudias), osea densidad de carga y densidad de corriente nulas. Si es en el vacío ese término no debe aparecer, y epsilon y mu son los del vacío, lo que te lleva a que la onda se mueve con la velocidad de la luz.
Y según entiendo, en un material que no es el vacío, se pueden generar corrientes inducidas por las ondas electromagnéticas y ahí SI aparecería ese otro término.
Y con respecto a lo del signo menos no entiendo que queres decir, si te queda TODO con signo menos multiplicalo por -1 y te da igual, sino decí en que término te aparece.
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A noble spirit embiggens the smallest man
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connor
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 30 Ene 2010
Mensajes: 620
Carrera: Electrónica
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| es como decis fran, se anula ese termino al no haber densidad de corriente, asi que ese termino no va, en fisica 2 se estudia la ecuacion de onda en el vacio y no asi en los materiales, aunque en algunos cursos se hace la resolucion para medios materiales, todo esto hasta el teorema de consevacion de la cantidad de movimiento
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![[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]](images/latex/e0cd73a3618cb8730bc9a5247a96170b44c749da_0.png "[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]")
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fraan89
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 03 Jun 2009
Mensajes: 30
Carrera: Industrial
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| Tengo que llegar exactamento a las mismas expresiones (hasta el "mu" y el "epsilon") solo que con B, H (y con D tambien?) en el lugar de E? porque si son exactamente iguales, no las consigo jaj, a la noche pruebo BIEN y si no las consigo identicas les pido ayuda)
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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son iguales, parti de estas hipotesis (vacio y sin cargas)
div(E) = 0
div(B)= 0
rot(E)= -dB/dt
rot(H)= dD/dt
D=e0 E
B=u0 H
deberias llegar.
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fraan89
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 03 Jun 2009
Mensajes: 30
Carrera: Industrial
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| Buenisimo salio todo! gracuias!
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