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Mensaje |
mtissera
Nivel 1
Registrado: 17 Jul 2010
Mensajes: 4
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Hace bastante que no puedo llegar al resultado del desarrollo en serie de Laurent de:
![[tex]f(z) = \frac {1}{e^z-1}[/tex]](images/latex/81e92e3102918ed519edcd1b914aef2df1ccd510_0.png "[tex]f(z) = \frac {1}{e^z-1}[/tex]") en D={z/|z|>0}
probé llevar a la forma de la serie geométrica aprovechando el desarrollo en Taylor para ![[tex]e^z[/tex]](images/latex/a0075195a0cef4ed03e0d6f27270dddf17c30d84_0.png "[tex]e^z[/tex]") :
![[tex]e^z= \sum _{n=0}^{ \infty } \frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+...[/tex]](images/latex/bf4e256300cd8fc16892d23a887e6a251c8ea5b4_0.png "[tex]e^z= \sum _{n=0}^{ \infty } \frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+...[/tex]")
al restarle 1 y sacando factor común z obtengo:
![[tex]e^z-1=\frac{1}{z}(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)[/tex]](images/latex/ce830178b573c45f5fb77fa558e9609ca7447d58_0.png "[tex]e^z-1=\frac{1}{z}(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)[/tex]") con lo que me queda:
![[tex]\frac{1}{e^z-1}=\frac{1}{\frac{1}{z}(1+a)}[/tex]](images/latex/e06887283430ac677f6cd97e0e6833ba9b303dce_0.png "[tex]\frac{1}{e^z-1}=\frac{1}{\frac{1}{z}(1+a)}[/tex]")
con ![[tex]a=\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+....[/tex]](images/latex/49a0c1e702abb47dd72291a8d04cbd1de32868c4_0.png "[tex]a=\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+....[/tex]")
pero cuando desarrollo la serie geométrica no logro interpretar como "reemplazar" los términos obtenidos en a con respecto a lo que tenia anteriormente.
En definitiva, el resultado de la serie es:
![[tex]f(z) = \frac {1}{e^z-1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\frac{z}{12}-\frac{z^3}{720}+...[/tex]](images/latex/4a9977d23af7079bad1c4be57eca29abd18922b2_0.png "[tex]f(z) = \frac {1}{e^z-1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\frac{z}{12}-\frac{z^3}{720}+...[/tex]")
Alguien me podría dar una mano para llegar al desarrollo? Mil Gracias.
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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| En el Churchill hallan ese desarrollo escribiendo la fracción con el desarrollo de en el denominador, y haciendo la división (término a término). De ahí vas obteniendo esos primeros términos que pusiste al final de tu comentario (es un poco trabajoso, pero sale). Si quisieras la expresión completa, capaz ésto te puede ayudar.
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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mtissera
Nivel 1
Registrado: 17 Jul 2010
Mensajes: 4
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| Muchas gracias por la ayuda, voy a verificar en el Churchill porque no vi el desarrollo para esa función, si lo vi publicado como ejercicio (5ta edición)
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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| En la edición que consulté (la séptima) aparece como ejercicio también: "obtener por división el desarrollo en serie de Laurent de...", sólo que previamente dan un ejemplo de cómo hacer la división. Es como la división de polinomios... al principio cuesta pero después sale automaticamente.
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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mtissera
Nivel 1
Registrado: 17 Jul 2010
Mensajes: 4
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Por lo que veo entonces, mi problema se reduce solo a resolver la división ![[tex]\frac{1}{z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...}=\frac{1}{e^z-1}[/tex]](images/latex/8a1cc887cb1d4a7f13b278fe0243de11ca3c7a09_0.png "[tex]\frac{1}{z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...}=\frac{1}{e^z-1}[/tex]") lo cual confieso que es algo nuevo para mi, y no veo como es que en el resultado de la serie no aparecen las potencias pares. Voy a ver si hay un ejemplo en la edicion que tengo del Churchill. Gracias nuevamente.
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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Sip, esa es la cuestión. Si usás el método que aparece en el Churchill, te va quedando algo así:
Buscá en youtube o tratá de leerlo en algún lado donde expliquen el paso a paso 
Saludos
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| Elmo Lesto escribió:
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mtissera
Nivel 1
Registrado: 17 Jul 2010
Mensajes: 4
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| muchisimas gracias por tu ayuda! lo voy a buscar, estoy seguro que no es complicado llegar al resultado.
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