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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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![[tex]\vec{F}(x,y,z) = (x \cdot y, y, z)[/tex]](images/latex/7817e2161edfbb1e87762127d6a65d883a9c794c_0.png "[tex]\vec{F}(x,y,z) = (x \cdot y, y, z)[/tex]") , ![[tex]g(x,y,z) = z + w(x) \cdot z^{2} - 2z \cdot w(y)[/tex]](images/latex/f2a923e9a3ef06f0855ca1da4aa4b4853ac9cc7d_0.png "[tex]g(x,y,z) = z + w(x) \cdot z^{2} - 2z \cdot w(y)[/tex]")
![[tex]\vec{h}= \vec{F} + \nabla g[/tex]](images/latex/b733c9bb1ce632f1c5962772005e7c694c91169b_0.png "[tex]\vec{h}= \vec{F} + \nabla g[/tex]")
Para calcular las circulaciones, haces la de F, la de ![[tex]\nabla g[/tex]](images/latex/ed2063f0600963ed024846b5cac7ff4455318987_0.png "[tex]\nabla g[/tex]") y después las sumas (es lo mismo).
Para hacer la de , usas su función potencial (q es g). De manera que es directa esa circulación:
![[tex]\int_{C}{\nabla g \, \cdot \,d\vec{l}} = g(1,1,0) - g(0,0,2)[/tex]](images/latex/96e59b1ea26d379fd90a3e7cd36ed53bb0a7fd7c_0.png "[tex]\int_{C}{\nabla g \, \cdot \,d\vec{l}} = g(1,1,0) - g(0,0,2)[/tex]")
![[tex]g(1,1,0) - g(0,0,2) = \left[0+w(1) \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 \cdot w(1) \right] - \left[2 + w(0) \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot w(0) \right] = -2[/tex]](images/latex/5686b2ffa497711e633f91048301cb4f904d833c_0.png "[tex]g(1,1,0) - g(0,0,2) = \left[0+w(1) \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 \cdot w(1) \right] - \left[2 + w(0) \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot w(0) \right] = -2[/tex]")
Después, parametrizas la curva (por ejemplo):
![[tex]\vec{p}(t)=(t,t^{2}, 2-t^{2}-t)[/tex]](images/latex/6d6ec522c9d19a5cbfc53a86f7481b6592fc1a73_0.png "[tex]\vec{p}(t)=(t,t^{2}, 2-t^{2}-t)[/tex]") con ![[tex]t \in [0,1][/tex]](images/latex/2d7fe9925c088a81d16f913f06dabcb8f6e363b2_0.png "[tex]t \in [0,1][/tex]")
Y calculas la circulación de F:
![[tex]\int_{C}{\vec{F} \, \cdot \,d\vec{l}} = \int_{0}^{1}{ \left(t^{3}, t^{2}, 2-t-t^{2} \right) \cdot \left(1, 2t, -2t-1 \right) \,\, dt} =[/tex]](images/latex/4065d12eaf7c8cd25be6127e4d50687f5de234eb_0.png "[tex]\int_{C}{\vec{F} \, \cdot \,d\vec{l}} = \int_{0}^{1}{ \left(t^{3}, t^{2}, 2-t-t^{2} \right) \cdot \left(1, 2t, -2t-1 \right) \,\, dt} =[/tex]")
![[tex]= \int_{0}^{1}{\left( t^{3} + 2t^{3} - 4t - 2 + 2t^{2} + t +2t^{3} + t^{2} \right) \,\, dt} = [/tex]](images/latex/940409cfe1a6e46eb019b86467d174028f34c058_0.png "[tex]= \int_{0}^{1}{\left( t^{3} + 2t^{3} - 4t - 2 + 2t^{2} + t +2t^{3} + t^{2} \right) \,\, dt} = [/tex]")
![[tex]= \int_{0}^{1}{\left( 5t^{3} + 3t^{2} - 3t - 2 \right) \,\, dt} = \left[ \frac{5t^{4}}{4} + t^{3} - \frac{3t^{2}}{2} - 2t \right]_{0}^{1} = -\frac{9}{4}[/tex]](images/latex/22d2a719074a1c491479b9374c50e879365c3aac_0.png "[tex]= \int_{0}^{1}{\left( 5t^{3} + 3t^{2} - 3t - 2 \right) \,\, dt} = \left[ \frac{5t^{4}}{4} + t^{3} - \frac{3t^{2}}{2} - 2t \right]_{0}^{1} = -\frac{9}{4}[/tex]")
Sumamos:
![[tex]\int_{C}{\vec{h} \, \cdot \,d\vec{l}} = -\frac{9}{4} - 2 = -\frac{17}{4}[/tex]](images/latex/d383d4c94fd4cde533e8b3059b7209bf2286e0bd_0.png "[tex]\int_{C}{\vec{h} \, \cdot \,d\vec{l}} = -\frac{9}{4} - 2 = -\frac{17}{4}[/tex]")
El teorema de Stokes no se puede usar, ya que ![[tex]w \in C^{1}(\Re)[/tex]](images/latex/f35230e589700331942a2c76c90eb3322f38df40_0.png "[tex]w \in C^{1}(\Re)[/tex]") , de manera que no podes asegurar la existencia del ![[tex]rot\left( \nabla g \right)[/tex]](images/latex/90884aec18709106063e257ec0dcbfe08a285197_0.png "[tex]rot\left( \nabla g \right)[/tex]")
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Proseo
Nivel 7
Registrado: 16 Ene 2009
Mensajes: 335
Carrera: Informática
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sos un genio, gracias!
que tonto soy... me trabe justo con lo de grad(g) y no pensé que el grad(g) tiene una función potencial llamada g.
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"Bendigo tu computadora hijo mio" 
"pocas palabras definen los logros del desesperado"
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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Che gente que onda el 4? posta que no me sale, jackson como lo hiciste con green si es un campo vectorial con componentes e, x,x,z?????
Saludos y gracias de antemano!
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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| Le erre era el 5, sorry...
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| No entendiste comio hacer el 5, el 4 o ninguno de los 2?
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Ajax08
Nivel 5
Registrado: 30 Dic 2008
Mensajes: 168
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Para resolver el ejercicio 5 tenes que hacer:
1- Parametriza la superficie del cilindro, te queda algo asi S(A,Z)=(2cosA,2senA,Z) con A entre 0 y 2pi.
2- Saca el rotor del campo vectorial dado, seria rotF(x,y,z)=(x,y,1-z).
3-Verifica que se cumplen todas las condiciones del teorema del rotor (Stokes).
4-Halla un vector normal a la superficie con orientacion tal que la curva que encierra la superficie de area 5 este orientada positiva (usen la indicacion que le dieron en su cátedra, ya se regla de la mano derecha o si se recorre la curva que encierra el area, dicha area debe quedar del lado izquierdo). El vector normal queda asi : n=(2cosA,2senA,0).
5-Aplicar stokes sin olvidar especializar el rotor en S(A,Z) o sea rotF(S(A,Z))
quedando rotF=(2cosA,2SenA,1-z). Se debe ver que al hacer el producto interno canonico ente rotF * n el termino con 1-z desaparece y te termina quedando un area (hacerlo).
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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| Ajax08 escribió:
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Para resolver el ejercicio 5 tenes que hacer:
1- Parametriza la superficie del cilindro, te queda algo asi S(A,Z)=(2cosA,2senA,Z) con A entre 0 y 2pi.
2- Saca el rotor del campo vectorial dado, seria rotF(x,y,z)=(x,y,1-z).
3-Verifica que se cumplen todas las condiciones del teorema del rotor (Stokes).
4-Halla un vector normal a la superficie con orientacion tal que la curva que encierra la superficie de area 5 este orientada positiva (usen la indicacion que le dieron en su cátedra, ya se regla de la mano derecha o si se recorre la curva que encierra el area, dicha area debe quedar del lado izquierdo). El vector normal queda asi : n=(2cosA,2senA,0).
5-Aplicar stokes sin olvidar especializar el rotor en S(A,Z) o sea rotF(S(A,Z))
quedando rotF=(2cosA,2SenA,1-z). Se debe ver que al hacer el producto interno canonico ente rotF * n el termino con 1-z desaparece y te termina quedando un area (hacerlo).
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Gracias genio, la verdad hice todo lo que hiciste, solamente me faltaba poner la coordenada z de la parametrizacion y no tenia claro si tenia que poner algo libre ( como tu z ) o algo mas que no estaba entendiendo del ejercicio....ahora...lo que hay que hacer para sacar la circulacion es restarle la circulacion de lo de afuera no? por que ahi stokes dice que la circulacion de el borde del cilindro menos la circulacion de c es igual a la integral doble del rotor del cilindo...sorry 00 latex...saludos y gracias de nuevo!
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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| Ajax08 escribió:
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Para resolver el ejercicio 5 tenes que hacer:
1- Parametriza la superficie del cilindro, te queda algo asi S(A,Z)=(2cosA,2senA,Z) con A entre 0 y 2pi.
2- Saca el rotor del campo vectorial dado, seria rotF(x,y,z)=(x,y,1-z).
3-Verifica que se cumplen todas las condiciones del teorema del rotor (Stokes).
4-Halla un vector normal a la superficie con orientacion tal que la curva que encierra la superficie de area 5 este orientada positiva (usen la indicacion que le dieron en su cátedra, ya se regla de la mano derecha o si se recorre la curva que encierra el area, dicha area debe quedar del lado izquierdo). El vector normal queda asi : n=(2cosA,2senA,0).
5-Aplicar stokes sin olvidar especializar el rotor en S(A,Z) o sea rotF(S(A,Z))
quedando rotF=(2cosA,2SenA,1-z). Se debe ver que al hacer el producto interno canonico ente rotF * n el termino con 1-z desaparece y te termina quedando un area (hacerlo).
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Gracias genio, la verdad hice todo lo que hiciste, solamente me faltaba poner la coordenada z de la parametrizacion y no tenia claro si tenia que poner algo libre ( como tu z ) o algo mas que no estaba entendiendo del ejercicio....ahora...lo que hay que hacer para sacar la circulacion es restarle la circulacion de lo de afuera no? por que ahi stokes dice que la circulacion de el borde del cilindro menos la circulacion de c es igual a la integral doble del rotor del cilindo...sorry 00 latex...saludos y gracias de nuevo!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No tenés que restarle nada... La curva frontera de un cilindro con centro en el eje z (y supongamos cortado con dos planos de normal (0,0,1)) es la curva de arriba unión la de abajo, se entiende? Un ejemplo:
![[tex]S= \bigg\{ (x,y,z) \in \Re^{3}: \,\,\, x^{2} + y^{2} = 9, \,\, 0 \le z \le 4 \bigg\}[/tex]](images/latex/bf4f51648c27f18f1512c34a4a532504469c99c4_0.png "[tex]S= \bigg\{ (x,y,z) \in \Re^{3}: \,\,\, x^{2} + y^{2} = 9, \,\, 0 \le z \le 4 \bigg\}[/tex]")
Si haces la intersección con z = 0 te da una curva y con z = 4 te da otra. La unión de ambas, es la curva frontera.
Saludos
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Estoy practicando, y el ejercicio 1 la verdad que me esta volviendo loco, no se porque no logro resolver la integral doble. Sigo las sugerencias, pero siempre me quedan incongruencias. A ver si alguno puede ayudarme. Gracias de antemano.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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fijate q el jacobiano es abr
entonces plantea la integral doble con r de 0 a 1 , tita de 0 a 2pi y el jacobiano abr.
Eso te va a dar un resultado. da abpi creo bueno eso es el area encerrada.
ahora vos queres q el area sea maxima entonces llamo la funcion area abpi y parametrizo a=a, b= 5-a^2 raiz y lo meto en la ecuacion del area.
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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| nachito44 escribió:
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Estoy practicando, y el ejercicio 1 la verdad que me esta volviendo loco, no se porque no logro resolver la integral doble. Sigo las sugerencias, pero siempre me quedan incongruencias. A ver si alguno puede ayudarme. Gracias de antemano.
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No se que incongruencias te pueden quedar, para sacar el area, haces la integral doble y usas jacobiano donde J = abr
te queda ![[tex]\int_0^{2pi} dt \!\!\! \int_0^1 abr \,dr\,[/tex]](images/latex/a048938e4b3d67748cc62b6ca344f2ab5cb9210b_0.png "[tex]\int_0^{2pi} dt \!\!\! \int_0^1 abr \,dr\,[/tex]") a ese resultado que te da lo tomas como una F(a,b)
entonces de la restriccion ![[tex] a^2 + b^2 = 5 [/tex]](images/latex/16557a16950cd182419a066084a5ef0b77645d1a_0.png "[tex] a^2 + b^2 = 5 [/tex]")
llamas
![[tex] a= sqrt(5)*cos(t) [/tex]](images/latex/9b190bb3efb494d40f7c9ac65222655b1e513d66_0.png "[tex] a= sqrt(5)*cos(t) [/tex]")
![[tex] b= sqrt(5)*sen(t) [/tex]](images/latex/825159780c3d4a8791a6b8d3e0a2986930b168fa_0.png "[tex] b= sqrt(5)*sen(t) [/tex]")
con t entre 0 y 2pi
reemplazas en tu funcion de F(a,b) y te queda F(t) = (la cuenta)
y le sacas los extremos como en analsis 1
derivas, sacas 0 y derivas nuevamente y te fijas el signo
+ minimo
- maximo.
Saludos
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Parece que mi error estaba en que J = abr y que r iba a de 0 a 1... igualmente, no me cierra porque es asi esto. Nuevamente gracias.
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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jacobiano = abr, porque la parametrizacion es
![[tex]x= a*r*cos t[/tex]](images/latex/c56e89e99c7a5295ec3e64ed8186f6318d6d5e9c_0.png "[tex]x= a*r*cos t[/tex]")
![[tex]y=b*r*sen t[/tex]](images/latex/25242c9e2fd2a5a6e14ab989e68b8070738fe248_0.png "[tex]y=b*r*sen t[/tex]")
Si haces el determinante
|X´r X´t|
|Y´r Y´t|
y modulo de eso, te queda abr
y r va de 0 a 1 porque es el factor que va "agrandando las elipses", con 0 vale 0, con 0,2 te da una elipse mas chitiquitita, con 0,5 un poco mas grande y cuando vale 1, llega a ser la elipse q dibujas.
Esto se llama coordenadas "elipticas" es bastante importante que si vas a rendir integrador las entiendas. Saludos
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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