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PauFP
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 31 Ene 2010
Mensajes: 862
Ubicación: Ituzaingó
Carrera: Industrial
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Alguien me explica, en resumidas cuentas, cómo se resuelve un oscilador armónico?
Ya lo leí de mil lugares distintos, y no me termina de quedar claro...a ver si alguno puede bajarmelo "a tierra"
Mil gracias!!
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Resolvés dependiendo de lo que te pidan en el problema, pero siempre sale con las 3 ecuaciones:
Desplazamiento: ![[tex]x(t)=A \cos (\omega t + \phi_0)[/tex]](images/latex/80378963c07eeded07075def50aa69bd0a4b7f6d_0.png "[tex]x(t)=A \cos (\omega t + \phi_0)[/tex]")
Velocidad: ![[tex]v(t)=-A \omega \sin (\omega t + \phi_0)[/tex]](images/latex/af94d33803c42506cea3c30b00edae7b29f8df7b_0.png "[tex]v(t)=-A \omega \sin (\omega t + \phi_0)[/tex]")
Aceleración: ![[tex]a(t)=-A \omega ^2 \cos (\omega t + \phi_0)[/tex]](images/latex/c3bb3d4b12a3e36d37466ecc563ee3abd0fb6a98_0.png "[tex]a(t)=-A \omega ^2 \cos (\omega t + \phi_0)[/tex]")
En base a los datos que te da el problema, calculás los valores de ![[tex]\omega[/tex]](images/latex/259e7d0d285148024daf9bf600a78a97db60ec9b_0.png "[tex]\omega[/tex]") , A y ![[tex]\phi_0[/tex]](images/latex/9d3c42a30f9905a41d5c7bccce93f475e4064100_0.png "[tex]\phi_0[/tex]")
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leandrob_90
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LargoXXI
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 2059
Ubicación: Ciudad de Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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[OT]
| PauFP escribió:
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Alguien me explica, en resumidas cuentas, cómo se resuelve un oscilador armónico?
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Preguntale a SebasGM
| Torbellino escribió:
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Hablando del parcial de Física 3 A:
Torbe: ¿Cómo era ese ejercicio?
sebasgm: ¡Era un oscilador armónico!
Torbe: ¡No me jodas!
sebasgm: Sí, lo tengo oscilándome armónicamente en el orto todavía
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| sebasgm escribió:
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| La Chica escribió:
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me hiciste pegar una carcajada en medio de la noche JAJAJAJAJAJAJAJAJAJA
sebas sos groso sabelo!!!!!!!!
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Jejeje, es la manera de pasar el mal trago de alguna forma menos lamentable. (si es que tenerla adentro oscilando armónicamente, no fuera lamentable...).
Seba.
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[/OT]
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"La violencia es el argumento de los incapaces"
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_nacho_
Nivel 9
Registrado: 08 Oct 2007
Mensajes: 1271
Carrera: No especificada
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Mmmm... un oscilador armonico es un sistema mecanico que en un punto esta en equilibrio (![[tex]F=0[/tex]](images/latex/440f947df49e27efa645096d17c84682075f2707_0.png "[tex]F=0[/tex]") ), pero que al desplazarse ligeramente de ese punto sufre una fuerza que lo tiende a llevar nuevamente al equilibrio, proporcional a la distancia de desplazamiento. Esto normalmente se escribe ![[tex]F = -k*x[/tex]](images/latex/16130f30533525442bb80f32d46b2d77de50f36d_0.png "[tex]F = -k*x[/tex]") , donde ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") es el desplazamiento y ![[tex] k [/tex]](images/latex/b913f44f02b97bd6c0a45bfbcffd55731c09d86a_0.png "[tex] k [/tex]") es una constante. El signo menos viene de la oposicion entre el desplazamiento y la fuerza.
La segunda ley de Newton para un sistema asi queda:
o
pero la aceleracion es la segunda derivada de la posicion:
Esa ecuacion diferencial tiene como solucion una funcion del tipo:
con
Aunque no sepas ecuaciones diferenciales, eso es facil de verificar:
La primera derivada de ![[tex]x(t)[/tex]](images/latex/47d82177ef42aecc023d8a457669ad84b1c19044_0.png "[tex]x(t)[/tex]") es:
y la segunda derivada:
Reemplazando en la ecuacion diferencial uno obtiene:
y reemplazando el valor de :
Asi que esta todo bien. Bueno, esa es la idea general.
Ahora, si tenes un sistema mecanico que esta cerca del equilibrio, y que cuando se lo desplaza un poco la fuerza se puede aproximar como , la solucion es esa funcion seno, con amplitud ![[tex]A_0[/tex]](images/latex/425c87c09effde8338b7decb3e07033c3b6c923f_0.png "[tex]A_0[/tex]") y frecuencia . Un ejemplo es el caso del pendulo simple: la fuerza no es lineal con la posicion, pero cerca del punto de equilibrio esa aproximacion anda bien.
No se si esto es "bajado a tierra", pero quiza sea mas facil con una pregunta concreta.
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Eloe 4
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 21 Nov 2009
Mensajes: 409
Ubicación: Zona Norte
Carrera: Electricista
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si no me equivoco la ecuacion diferencial que propones, como es de segundo grado, la solucion tiene que tener dos constantes indefinidas.. (como le puso leandrob_90 )
igualmente las soluciones se pueden escribir de las dos maneras:
x(t) = Acos(wt + fi)
o
x(t) = Asen(wt + fi)
con A y fi, en ambos casos, las dos constantes indefinidas..
no me acuerdo mucho de esto, colgue el final de fisica 1 y todavia no lo repase.. pero creo q habia una o dos mas expresiones distintas para la solucion de un oscilador armonico..
(igual para fisica 1 no te compliques mucho, es aplicar la formula y listo, no es hacer todas esas cuentas de ecuaciones diferenciales) (creo)
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Eloe 4
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 21 Nov 2009
Mensajes: 409
Ubicación: Zona Norte
Carrera: Electricista
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ahi saqe una forma mas de escribir la solucion:
x(t) = Acos(wt) + Bsen(wt)
(en este caso las constantes arbitrarias son A y B)
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| Eloe 4 escribió:
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(igual para fisica 1 no te compliques mucho, es aplicar la formula y listo, no es hacer todas esas cuentas de ecuaciones diferenciales) (creo)
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Olvidate, no tenés que andar sabiéndote la deducción de una ecuación diferencial de segundo orden, por lo menos no para física I, no te las pueden pedir, sino la materia tendría que ser correlativa de álgebra II.
Es raro que aparezcan ejercicios en los que tengas que resolver una EDO, y si aparecen (creo que en toda la guía hay dos o tres, nada más), salen por variables separables, pasás de miembro, integrás y ya está.
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leandrob_90
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_nacho_
Nivel 9
Registrado: 08 Oct 2007
Mensajes: 1271
Carrera: No especificada
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Bueno... si vamos a empezar a buscarle el pelo al huevo, escribi una ecuacion diferencial sin condicion inicial, no explique de donde sale , etc, etc, etc...
Lo que intentaba mostrar es que uno escribe la segunda ley de Newton con una fuerza que busca restituir el sistema al equilibrio [... then some miracle happens...] y aparece algo que vibra.
La pregunta de PauFP era muy general... veamos cual era la duda que tenia ella y seguimos.
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Fran Epsilon
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 05 Dic 2009
Mensajes: 212
Ubicación: florida
Carrera: Mecánica
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| y q pasa si tengo por ejemplo un cilindro q RSR unido a un resorte osea en x tengo una fueza de rozamineto y una fuerza elastica y no se como llegar a esta expresion: a+kx=0
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joselipo
Nivel 9
Registrado: 22 Ago 2005
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Carrera: Electrónica
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Fran Epsilon
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 05 Dic 2009
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Carrera: Mecánica
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joselipo
Nivel 9
Registrado: 22 Ago 2005
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Ubicación: Bs. As.
Carrera: Electrónica
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| Diagrama de cuerpo libre, planteá suma de momentos respecto de CM o CIR, y relacioná la aceleración angular con la aceleración de centro de masa. Ahí vas a tener un sistema de ecuaciones que vas a poder convertir en tu encuación diferencial...
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_nacho_
Nivel 9
Registrado: 08 Oct 2007
Mensajes: 1271
Carrera: No especificada
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Tenes que plantear el problema de roto-traslacion:
El resorte tira del centro del cilindro con una fuerza:
y el rozamiento del piso "tira" del punto de contacto con una fuerza de rozamiento ![[tex]F_r[/tex]](images/latex/617a4a4ace4d6ca12108e74b4b4831062829d994_0.png "[tex]F_r[/tex]") que uno desconoce. La segunda ley de Newton para el rodillo queda:
ahora, como el rodillo rueda sin resbalar, sabes que el par que hacen las fuerzas ![[tex]F_k[/tex]](images/latex/d9b55223da69a2a803b05c7bc47c5035fa307cc0_0.png "[tex]F_k[/tex]") y generan una aceleracion angular igual a ![[tex]a/r[/tex]](images/latex/16e01082a83c619539cda350099d0b712220c3cb_0.png "[tex]a/r[/tex]") :
Donde ![[tex]I=mr^2/2[/tex]](images/latex/e1715ce15b60ead05b80494149bf04acbf1fd355_0.png "[tex]I=mr^2/2[/tex]") es el momento de inercia del cilindro. Esto reemplazado arriba da:
y ahi tenes la ecuacion que estabas buscando. O algo por el estilo (hace tiempo que no hago esto... ¿8 años?... me estoy oxidando)
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Fran Epsilon
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 05 Dic 2009
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Ubicación: florida
Carrera: Mecánica
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Fran Epsilon
Nivel 6
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Mensajes: 212
Ubicación: florida
Carrera: Mecánica
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| y el k q apareceria en la solucion del armonico seria el k del resorte?
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![[tex]F = -k*x = m*a[/tex]](images/latex/2c131cd667969d6855460f67e35fc729e0bf925f_0.png "[tex]F = -k*x = m*a[/tex]")
![[tex]m*a + k*x = 0[/tex]](images/latex/050539f7af26249bf460ce2c2822f8afb829f797_0.png "[tex]m*a + k*x = 0[/tex]")
![[tex]d^2x/d^2t + k*x=0[/tex]](images/latex/a0f31c1ee898fbd19c8d488b348143eefcaf5f6d_0.png "[tex]d^2x/d^2t + k*x=0[/tex]")
![[tex]x(t) = A_0sin(\omega t)[/tex]](images/latex/c4bc2d5156e6dc6d7123fe67603cfaf1716702c6_0.png "[tex]x(t) = A_0sin(\omega t)[/tex]")
![[tex]\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}[/tex]](images/latex/e7ce3b5037274b5bb15cffee551ae8c401923ed7_0.png "[tex]\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}[/tex]")
![[tex]dx/dt = A_0 \omega cos (\omega t)[/tex]](images/latex/26b3726f050d68f089d474846590fb1d8760571c_0.png "[tex]dx/dt = A_0 \omega cos (\omega t)[/tex]")
![[tex]d^2x/d^2t = -A_0 \omega^2 sin (\omega t)[/tex]](images/latex/d6c7379097677b9e9a85a5bf88ee36f630294779_0.png "[tex]d^2x/d^2t = -A_0 \omega^2 sin (\omega t)[/tex]")
![[tex]-A_0 \omega^2 sin (\omega t)*m + k*A_0sin(\omega t)=0[/tex]](images/latex/2e1d39227bd8cf93c67e56fc4c21d07ce5a938a8_0.png "[tex]-A_0 \omega^2 sin (\omega t)*m + k*A_0sin(\omega t)=0[/tex]")
![[tex]-A_0 \frac{k}{m} sin (\omega t)*m + k*A_0sin(\omega t)=0[/tex]](images/latex/da8bdfb8bab5b303f8eca43796ed0c266dc9c6bb_0.png "[tex]-A_0 \frac{k}{m} sin (\omega t)*m + k*A_0sin(\omega t)=0[/tex]")
![[tex]-A_0 sin (\omega t) + k*A_0sin(\omega t)=0[/tex]](images/latex/efb74602777abe4c0dac5f4a3d7c9f80c581af48_0.png "[tex]-A_0 sin (\omega t) + k*A_0sin(\omega t)=0[/tex]")
![[tex]F_k = - k*x[/tex]](images/latex/dc7ca75cf7c648679d4e370eee375a90a7730dd6_0.png "[tex]F_k = - k*x[/tex]")
![[tex]F_r+F_k = m*a[/tex]](images/latex/387f43f22af6c328633733e5c4178d2c9e07bcce_0.png "[tex]F_r+F_k = m*a[/tex]")
![[tex]r*F_r = I * a/r[/tex]](images/latex/228bb24be4247baedaf80a9c2d64039f13cea143_0.png "[tex]r*F_r = I * a/r[/tex]")
![[tex]I*a/r^2+F_k = m*a[/tex]](images/latex/23a0e3003a4e98bf16c43a4d46762fb311ca454c_0.png "[tex]I*a/r^2+F_k = m*a[/tex]")
![[tex]m/2*a-k*x = m*a[/tex]](images/latex/5e7a28561fb9c3e253bc7d17b84869f069ea1f46_0.png "[tex]m/2*a-k*x = m*a[/tex]")
![[tex]0 = m/2*a+k*x[/tex]](images/latex/ebda7b6b6f41bf2c3aecc74eaa323842e6e2f444_0.png "[tex]0 = m/2*a+k*x[/tex]")