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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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No puedo resolver este problema. Alguien me daría una idea?
Hallar los puntos (x,y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x,y)=3x^2+y^2 tiene el valor máximo, si (x,y) está en el circulo x^2+y^2=1.
Lo que yo se, es que sacando el gradiente me da la dirección en que la derivada direccional tiene el valor máximo.
Pero se me complica en la parte que tengo que averiguar el punto (x,y) en esa curva.
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SNAJ.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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Y si probas parametrizando el circulo, eso lo metes en la funcion y de ahi sacas la derivada direccional (f' /||f'||) . ?
Creo que era algo asi.
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| Snajdan escribió:
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No puedo resolver este problema. Alguien me daría una idea?
Hallar los puntos (x,y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x,y)=3x^2+y^2 tiene el valor máximo, si (x,y) está en el circulo x^2+y^2=1.
Lo que yo se, es que sacando el gradiente me da la dirección en que la derivada direccional tiene el valor máximo.
Pero se me complica en la parte que tengo que averiguar el punto (x,y) en esa curva.
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Lo que podes hacer es parametrizar por un lado la curva en polares (el circulo) y tambien la funcion y aplciar multiplicador de lagrange para averiguar el punto maximo de la funcion f(x,y) sobre la curva x^2+y^2=1.
Leete como utilizar el multiplicador de lagrange que sale con eso.
Saludos.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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| espiño_cristian escribió:
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| Snajdan escribió:
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No puedo resolver este problema. Alguien me daría una idea?
Hallar los puntos (x,y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x,y)=3x^2+y^2 tiene el valor máximo, si (x,y) está en el circulo x^2+y^2=1.
Lo que yo se, es que sacando el gradiente me da la dirección en que la derivada direccional tiene el valor máximo.
Pero se me complica en la parte que tengo que averiguar el punto (x,y) en esa curva.
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Lo que podes hacer es parametrizar por un lado la curva en polares (el circulo) y tambien la funcion y aplciar multiplicador de lagrange para averiguar el punto maximo de la funcion f(x,y) sobre la curva x^2+y^2=1.
Leete como utilizar el multiplicador de lagrange que sale con eso.
Saludos.
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Para este tipo de problemas no recomendaria usar multiplicadores de Lagrange porq es mucho quilombo al pedo.
Haciendo lo que puse, (parametrizar y hacer la composicion) tenes a la funcion f con 1 variable (en este caso el angulo tita) y buscar el maximo es mucho mas facil, como Analisis I.
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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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Entonces tengo que multiplicar la función (ya parametrizada) por el gradiente?
Osea, la funcion normalizada seria la dirección?
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SNAJ.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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No mira, yo lo entiendo asi:
Parametrizo la circunferencia:
x=cos t
y= sen t
Reemplazo en f(x,y) me queda f(t)=3 cos^2 t + sen^2 t
Busco el PC: f'(t)= -6 sen t + 2 cos t =0
me queda tg t =1/3 entonces t = 0,32
Corroboro f''(t) =-6 cos t - 2 sen t
f''(0,32)<0 entonces f alcanza un maximo, y el punto es:
Reemplazo en la parametrizacion de la sup:
x=cos (0,32)
y=sen (0,32)
Quedan numeros feos, pero creo que la idea es esa..
Porque si planteas lo de derivada direccional maxima, es el gradiente normalizado.. y para que pertenezca al circulo metes la parametrizacion en f. POnele que hast aahi venimos igual, pero dp? deberias plantear que esa deriv sea mayor a 0, y te quedaria una condicion de t mayor o menor a tal valor, que despues reemplazas para q te tire el punto, pero nose.
Porque sino pense que podia ser parecido al primer ej de este parcial:
http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?p=245482#245482
Pero faltan datos.
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| Snajdan escribió:
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No puedo resolver este problema. Alguien me daría una idea?
Hallar los puntos (x,y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x,y)=3x^2+y^2 tiene el valor máximo, si (x,y) está en el circulo x^2+y^2=1.
Lo que yo se, es que sacando el gradiente me da la dirección en que la derivada direccional tiene el valor máximo.
Pero se me complica en la parte que tengo que averiguar el punto (x,y) en esa curva.
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Bue hagamoslo en cartesianas el ejercicio.
Lo que te decia es que utilices multiplicador de lagrange.
Osea que vamos a formar la siguiente funcion ![[tex]L_{(x,y,k)} = f(x,y) + k*g(x,y)[/tex]](images/latex/ee28e29455ad57bc3725d6135a36e1e3f62d2ae4_0.png "[tex]L_{(x,y,k)} = f(x,y) + k*g(x,y)[/tex]") , siendo ![[tex]f(x,y)=3x^2+y^2[/tex]](images/latex/fd3b13a8ee2d743b6b520ec69ab30f1f145376e0_0.png "[tex]f(x,y)=3x^2+y^2[/tex]") la funcion a maximizar y ![[tex]g(x,y)=x^2+y^2 -1[/tex]](images/latex/5ce838fd29374b704c53f1eae596a2b95c79c8a3_0.png "[tex]g(x,y)=x^2+y^2 -1[/tex]") siendo la funcion a la que se restringe la funcion a maximizar. Por ende remplazando todo nos queda ![[tex]L_{(x,y,k)} = 3x^2+y^2 + k(x^2+y^2 -1)[/tex]](images/latex/6afa4b6a734b266f175fc81c190c54f876623786_0.png "[tex]L_{(x,y,k)} = 3x^2+y^2 + k(x^2+y^2 -1)[/tex]")
Ahora derivamos con respecto a las tres variables ![[tex]x,y,k[/tex]](images/latex/c64cd2bfc5196426443fd4e8568e1d3a771a2dc8_0.png "[tex]x,y,k[/tex]") y las igualamos a cero apra hallar puntos criticos.
![[tex]L'x: 6x + 2kx=0[/tex]](images/latex/f667b4200d1281c85a4b14c60d2e255f6143e9ae_0.png "[tex]L'x: 6x + 2kx=0[/tex]") (1)
![[tex]L'y: 2y + 2ky=0[/tex]](images/latex/32391e7bf392f98674c291ac4ba5f44d71ca677b_0.png "[tex]L'y: 2y + 2ky=0[/tex]") (2)
![[tex]L'k: x^2+y^2 -1=0[/tex]](images/latex/06d962a2277f5bab1fd6a5e8612d8dd57e4d5120_0.png "[tex]L'k: x^2+y^2 -1=0[/tex]") (3)
de (2) sale que ![[tex]k=-1[/tex]](images/latex/31d8040970795e0593746e6acf3a9f3a2a3a56ba_0.png "[tex]k=-1[/tex]") , reemplazando eso en (1) nos queda que ![[tex]x=0[/tex]](images/latex/78e432e755209ec9b76d88d2343a181739cb28db_0.png "[tex]x=0[/tex]") , y remplazando esto en (3) nos queda que ![[tex]y=1[/tex]](images/latex/95efd3c6ddc9009cfb564b2bbd8b61882572a378_0.png "[tex]y=1[/tex]") e ![[tex]y=-1[/tex]](images/latex/cb2e0a2de6c341cace95abab627808663bcf1a14_0.png "[tex]y=-1[/tex]") .
Por ende los puntos criticos son dos:
![[tex]p1=(0,1)[/tex]](images/latex/111c9f77589d73b381383be93735e841cb4aee35_0.png "[tex]p1=(0,1)[/tex]") y ![[tex]p2=(0,-1)[/tex]](images/latex/cb11ab825e684c61c5b3c004cf9aa7add38b2ef5_0.png "[tex]p2=(0,-1)[/tex]") , ambos con .
Ahora calculamos las derivadas segundas de L para plantear el hessiano.
![[tex]L''xx: 6 + 2k[/tex]](images/latex/4c4cd989a9c1ba0376cb0e2fc3d3c854bc4f8edd_0.png "[tex]L''xx: 6 + 2k[/tex]")
![[tex]L''yy: 2 + 2k[/tex]](images/latex/df39f22d5bde3a57944790928a40fa4bbdb102ee_0.png "[tex]L''yy: 2 + 2k[/tex]")
![[tex]L''xy=L''yx=0[/tex]](images/latex/6619f3899f558cdc3dcfe0f44c91c34aa34765ba_0.png "[tex]L''xy=L''yx=0[/tex]")
Tambien calculamos
![[tex]g'x=2x[/tex]](images/latex/ef6da8f8e02e0cdc32b3478017cba6afaec56637_0.png "[tex]g'x=2x[/tex]")
![[tex]g'y=2y[/tex]](images/latex/1fb5c8e946ed5ead558f52448ec4c34478ec21c5_0.png "[tex]g'y=2y[/tex]")
Y el hessiano quedaria de la sigueinte pinta:
![[tex]H(\vec a) =\left( \begin{array}{ccc} L''xx & L''xy & g'x \\ L''yx & L''yy & g'y \\ g'x & g'y & 0\end{array} \right)[/tex]](images/latex/98adbd9442de2736a00e4a333d5164a88c0f6011_0.png "[tex]H(\vec a) =\left( \begin{array}{ccc} L''xx & L''xy & g'x \\ L''yx & L''yy & g'y \\ g'x & g'y & 0\end{array} \right)[/tex]") . Si ![[tex]H(\vec a) >0[/tex]](images/latex/734684cd45a67035a7de1f3451d0cb51ac12adfe_0.png "[tex]H(\vec a) >0[/tex]") alcanza un minimo y si ![[tex]H(\vec a) <0[/tex]](images/latex/c248e3466ccae2000a8a5edcca1adf2779ba4f84_0.png "[tex]H(\vec a) <0[/tex]") alcanza un maximo (esto creo q era asi la condicion)
Ahora reemplazamos el primer punto critico el con , ![[tex]H(0,1) =\left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array} \right) =-8[/tex]](images/latex/814999a63287fd43a5d8a2738c41e6038544c4c0_0.png "[tex]H(0,1) =\left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array} \right) =-8[/tex]") por ende es un punto maximo.
Ahora reemplazamos el segundo punto critico el con , ![[tex]H(0,-1) =\left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array} \right) =-8[/tex]](images/latex/1cd59f936c70dd9ff2c269377b02c4c39f3d3053_0.png "[tex]H(0,-1) =\left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array} \right) =-8[/tex]") por ende es un punto maximo.
Osea ambos puntos son maximos por ende ahi ya tenes los dos puntos donde la funcion ![[tex]f(x,y)[/tex]](images/latex/47b2f6fdbbaf992926b205aeb2fb44f668e9cd2f_0.png "[tex]f(x,y)[/tex]") alcanza una derivada direccional maxima
Ahora lo que te resta ahcer es derivar y remplazar por ambos puntos y ahi tenes ambas direcciones maximas.
Espero que este bien, que algun alma caritativa revise esto 
Saludos.
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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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| Ah, bueno, ya entendi por los dos métodos, MUCHAS GRACIAS a los 2.
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SNAJ.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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| espiño_cristian escribió:
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| Snajdan escribió:
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No puedo resolver este problema. Alguien me daría una idea?
Hallar los puntos (x,y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x,y)=3x^2+y^2 tiene el valor máximo, si (x,y) está en el circulo x^2+y^2=1.
Lo que yo se, es que sacando el gradiente me da la dirección en que la derivada direccional tiene el valor máximo.
Pero se me complica en la parte que tengo que averiguar el punto (x,y) en esa curva.
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Bue hagamoslo en cartesianas el ejercicio.
Lo que te decia es que utilices multiplicador de lagrange.
Osea que vamos a formar la siguiente funcion , siendo la funcion a maximizar y siendo la funcion a la que se restringe la funcion a maximizar. Por ende remplazando todo nos queda
Ahora derivamos con respecto a las tres variables y las igualamos a cero apra hallar puntos criticos.
(1)
(2)
(3)
de (2) sale que , reemplazando eso en (1) nos queda que , y remplazando esto en (3) nos queda que e .
Por ende los puntos criticos son dos:
y , ambos con .
Ahora calculamos las derivadas segundas de L para plantear el hessiano.
Tambien calculamos
Y el hessiano quedaria de la sigueinte pinta:
. Si alcanza un minimo y si alcanza un maximo (esto creo q era asi la condicion)
Ahora reemplazamos el primer punto critico el con , por ende es un punto maximo.
Ahora reemplazamos el segundo punto critico el con , por ende es un punto maximo.
Osea ambos puntos son maximos por ende ahi ya tenes los dos puntos donde la funcion alcanza una derivada direccional maxima
Ahora lo que te resta ahcer es derivar y remplazar por ambos puntos y ahi tenes ambas direcciones maximas.
Espero que este bien, que algun alma caritativa revise esto
Saludos.
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Esto no está nada bien. Le pide maximizar la derivada direccional, no la función. Esto no resuelve el problema.
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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Che eugenio, me podrias explicar porq esta mal lo que explique arriba? (si suena soberbia mi pregutna perdon, pero nada que ver de curioso que soy te pregunto enserio)
Osea, al plantear Lagrange a la funcion f(x,y) restringida a la curva g(x,y) halle los puntos maximos, y en teoria si derivas la funcion y le aplicas esos puntos no obtendrias las derivadas direccionales de valores maximos?
Saludos.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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espiño_cristian: Creo que lo que calculaste vos fue los maximos de la función sobre la curva, lo cual no implica que la función va ser máxima sobre esos puntos (sino justamente lo contrario, una funcion continua, cuando alcanza un punto crítico, va volviendose cada vez mas suave, de allí que si la función tuviera un maximo/minimo sobre la curva, estarías logrando más bien el efecto contrario).
Creo que si quisieras plantear TML, dado que f(x,y) es diferenciable, podrías plantear algo de la forma.
![[tex] \nabla h(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) [/tex]](images/latex/29813d00bc01bd868cd063448c0990cfcc663814_0.png "[tex] \nabla h(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) [/tex]")
![[tex] g(x,y) = 0 [/tex]](images/latex/7498aabd3969f46d6a745c031a0ef0479e1c8bdb_0.png "[tex] g(x,y) = 0 [/tex]")
Si no recuerdo mal el teorema (caso contrario, corregir).
Con ![[tex] h(x,y) = \left | \left | \frac {6x^2 + 2y^2}{||(x,y)||} \right | \right | [/tex]](images/latex/14198674304d5d4ec4089a8988de99d625f36e6d_0.png "[tex] h(x,y) = \left | \left | \frac {6x^2 + 2y^2}{||(x,y)||} \right | \right | [/tex]")
Que sale de que ![[tex] D_u = \nabla f(x,y) \vec{u} = \frac {(6x,2y) (x,y)} {||(x,y)||} [/tex]](images/latex/555bf75d318c7425eb89fe6d6949f941d0de1ded_0.png "[tex] D_u = \nabla f(x,y) \vec{u} = \frac {(6x,2y) (x,y)} {||(x,y)||} [/tex]") , ya que lo que pide es el valor máximo de la magnitud de la derivada direccional. Y es un hermoso quilombo parece. Parametrizando tendría que salir con fritas sin tanta vuelta.
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| sabian_reloaded escribió:
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espiño_cristian: Creo que lo que calculaste vos fue los maximos de la función sobre la curva, lo cual no implica que la función va ser máxima sobre esos puntos (sino justamente lo contrario, una funcion continua, cuando alcanza un punto crítico, va volviendose cada vez mas suave, de allí que si la función tuviera un maximo/minimo sobre la curva, estarías logrando más bien el efecto contrario).
Creo que si quisieras plantear TML, dado que f(x,y) es diferenciable, podrías plantear algo de la forma.
Si no recuerdo mal el teorema (caso contrario, corregir).
Con
Que sale de que , ya que lo que pide es el valor máximo de la magnitud de la derivada direccional. Y es un hermoso quilombo parece. Parametrizando tendría que salir con fritas sin tanta vuelta.
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Ya capté, gracias.
Saludos.
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