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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 91
Carrera: Electrónica y Informática
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Hola estaba haciendo en casa un ejercicio de final que se tomo el 10-02-2010. El ejercicio dice: calcular aplicando la definicion de transformada de Fourier de f(t)=sen(a.t)/t con a>0. La cuestion es q le di mil vueltas y llego a que F(w)= 0 si a<w>w. Puede ser que la transformada de una constante???. Si no esta bien me podrian ayudar a resolverlo, por que ya no se me ocurre que hacer. Desde ya, muchas gracias.
PD: w puede ser negativa?? Si me guio por el sentido fisico (es el dominio de las frecuencias) creo q no.
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Fed
Nivel 4
Registrado: 08 Dic 2009
Mensajes: 97
Ubicación: Capital Federal
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Para que exista la Transformada de Fourier, f(t) debe cumplir las condiciones de Dirichlet. Una de ellas dice que f(t) debe ser absolutamente integrable y la función que pusiste no lo cumple.
Fuente
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Se puede generalizar la definición de transformada de Fourier a funciones que no son de módulo integrable. Por ejemplo, se puede definir para funciones para las cuales es finita la integral
![[tex] \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\:dt. [/tex]](images/latex/f19761583c8906a9f5bf33f7fc000cc166cbdb2f_0.png "[tex] \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\:dt. [/tex]")
No es simple la forma de definirla esa extensión, y en los cursos de análisis para ingenieros suele evitarse hacerlo. Puede demostrarse que si existe
![[tex] \hat{f}(w)=\lim_{R\to +\infty}\int_{-R}^{R} f(t)e^{-i w t} dt, [/tex]](images/latex/24fb6f229d4501e842339211a83eb7a5180886af_0.png "[tex] \hat{f}(w)=\lim_{R\to +\infty}\int_{-R}^{R} f(t)e^{-i w t} dt, [/tex]")
salvo un número finito de puntos (en realidad salvo un conjunto de longitud nula), entonces esa función es la transformada de Fourier de f.
El costo a pagar, es que la transformada podría quedar indefinida en algún conjunto pequeño de puntos (uno de longitud cero), pero eso no causa problemas en las aplicaciones.
Para calcular la que te piden, tenés que usar cálculo deresiduos. El resultado te da una función que vale cero fuera de un intervalo de la forma [a,-a] , y es no nula y constante en (-a,a). En los extremos -a y a, no recuerdo si el valor principal existe o no, pero no importa por lo que dije arriba.
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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 91
Carrera: Electrónica y Informática
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| Alguno de ustedes la resolvio, si es asi me podria decir cuanto les dio para ver si lo calcule este bien. Desde ya muchas gracias.
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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A mi me dió que vale Pi, puede ser?
En caso de ser así me considero un re pelotuadfadfadf.....ya que en el examen lo hize así el ejercicio y no lo entregué porque pensé que estaba mal...es más, me parece que desapruebo por no entregar ese ejercicio, que triste....
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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 91
Carrera: Electrónica y Informática
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| Hola polak, a mi tambien me dio eso y me paso lo mismo que vos. Pero le pregunte a un ayudante de Murmis, Ariel Burman, y me dijo q no esta del todo bien, pero q daba un numero y no una funcion de w. Si alguien mas lo resolvio por favor postee por q creo nos cago la vida a varios este ejercicio.
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yagui
Nivel 7
Edad: 43
Registrado: 19 Feb 2006
Mensajes: 406
Ubicación: bsas
Carrera: Electrónica
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Hola facundo,
El resultado SI es una función de w. Queda una función partida, como lo escribió Jorge
f(w) = cte si |w| < a
y por otro lado la función es nula para todo otro w (*)
Es decir, el resultado no queda una función explícita de w, pero sí depende de w.
El valor de la cte depende de como se define la transformada (si le ponemos el 1/2pi a la trasformada, a la antitransformada, o repartimos entre ambas).
Quizás polak se refería a que a el, la cte para cuando |w| < a le quedó pi, y puede ser que esté bien.
En cuanto a lo que planteó Fer sobre la condición de Dirichlet, hay que tener en cuenta que esa es una "condición suficiente". Es decir si una función cumple con esa condición, entonces seguro tiene transformada de Fourier.
Pero no es "condición necesaria". Existen funciones que no cumplen con la condición y aún así tienen transformada de Fourier (con una definición más general, como planteó Jorge), y la de este ejercicio es una de ellas.
Finalmente sobre la pregunta si w puede ser negativo, claro que sí, w es real y toma todos los valores reales.
La interpretación física es que una función f(t) puede descomponerse en una suma continua (integral) de funciones senos (y cosenos), y recordemos que cada seno lleva asociado un w positivo y un w negativo
![[tex]\sen(w_ot) = \frac{e^{iw_ot} - e^{-iw_ot}}{2i}= \frac{e^{iw_ot} - e^{i(-w_o)t}}{2i}[/tex]](images/latex/796792b759074be95f7270ce77f3e09c478bd12c_0.png "[tex]\sen(w_ot) = \frac{e^{iw_ot} - e^{-iw_ot}}{2i}= \frac{e^{iw_ot} - e^{i(-w_o)t}}{2i}[/tex]")
(*) estuve un rato para escribir esto, no se porque el foro se come algunos caracteres, probe en latex y no pude 
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Club de Robótica FIUBA: Club de Robótica
Rama Estudiantil de la IEEE: Rama IEEE
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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 91
Carrera: Electrónica y Informática
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| yagui escribió:
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Hola facundo,
El resultado SI es una función de w. Queda una función partida, como lo escribió Jorge
f(w) = cte si |w| < a
y por otro lado la función es nula para todo otro w (*)
Es decir, el resultado no queda una función explícita de w, pero sí depende de w.
El valor de la cte depende de como se define la transformada (si le ponemos el 1/2pi a la trasformada, a la antitransformada, o repartimos entre ambas).
Quizás polak se refería a que a el, la cte para cuando |w| < a le quedó pi, y puede ser que esté bien.
En cuanto a lo que planteó Fer sobre la condición de Dirichlet, hay que tener en cuenta que esa es una "condición suficiente". Es decir si una función cumple con esa condición, entonces seguro tiene transformada de Fourier.
Pero no es "condición necesaria". Existen funciones que no cumplen con la condición y aún así tienen transformada de Fourier (con una definición más general, como planteó Jorge), y la de este ejercicio es una de ellas.
Finalmente sobre la pregunta si w puede ser negativo, claro que sí, w es real y toma todos los valores reales.
La interpretación física es que una función f(t) puede descomponerse en una suma continua (integral) de funciones senos (y cosenos), y recordemos que cada seno lleva asociado un w positivo y un w negativo
(*) estuve un rato para escribir esto, no se porque el foro se come algunos caracteres, probe en latex y no pude
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Perdon por expresarme mal, ya es la segunda vez q me corrigen, si es funcion de w pero lo que yo pensaba era que en las transformadas de Fourier w aparecia explicitamente. El problema lo resolvi como se hablo aca, mi problema era saber si lo habia hecho bien. El tema de la convergencia ni lo postee por que con eso no tuve problemas. Gracias por contestar a todos, ya los torturare con otro ejercicio. Saludos.
Facundo Rossi
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vir123
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2008
Mensajes: 178
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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yo lo resolvería a partir de saber que sen(at)/t es la transformada de la función partida f(t)= 1 si |t|<a, y cero en otro caso. Escribiendo f(t) como u(t+a) - u(t-a) y aplicando la definición de antitransformada, si despejamos y después cambiamos t por -t, da lo que dijo yagui. El tema es que piden "aplicar la definición de transformada", asique no sé si considerarían que está bien
Edit
sé que el resultado está bien, porque está en las tablas de transformadas, lo que me confunde es el tema de que no es absolutamente integrable, y yo tengo entendido que eso es una condición necesaria, como dice por ejemplo en el apunte que dejó Fed más arriba (ahí hay un ejemplo que dice "tal función no es absolutamente integrable --> no tiene transformada de fourier), asique no sé qué onda con eso 
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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| es que justamente es lo que decís vos; es una condición necesaria...o sea, nadie dijo que era suficiente!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Creo que sería
![[tex] \mbox {F absolutamente integrable} \Longrightarrow \mbox{tiene transformada de Fourier} [/tex]](images/latex/0243126f3bbef5bedaa94afdfa5303268d84965e_0.png "[tex] \mbox {F absolutamente integrable} \Longrightarrow \mbox{tiene transformada de Fourier} [/tex]") Y se define como dijo Jorge creo.
O equivalentemente ![[tex] \mbox {No tiene transformada de Fourier} \Longrightarrow \mbox {F no es absolutamente integrable} [/tex]](images/latex/95394d46739c060792b65d51740b369757f10753_0.png "[tex] \mbox {No tiene transformada de Fourier} \Longrightarrow \mbox {F no es absolutamente integrable} [/tex]")
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yagui
Nivel 7
Edad: 43
Registrado: 19 Feb 2006
Mensajes: 406
Ubicación: bsas
Carrera: Electrónica
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| vir123 escribió:
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sé que el resultado está bien, porque está en las tablas de transformadas, lo que me confunde es el tema de que no es absolutamente integrable, y yo tengo entendido que eso es una condición necesaria, como dice por ejemplo en el apunte que dejó Fed más arriba (ahí hay un ejemplo que dice "tal función no es absolutamente integrable --> no tiene transformada de fourier), asique no sé qué onda con eso
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| polak1 escribió:
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es que justamente es lo que decís vos; es una condición necesaria...o sea, nadie dijo que era suficiente!
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Mantengan el espíritu crítico y no crean todo lo que leen. Es un apunte de internet, hecho con muy buena voluntad, pero que puede tener errores, y de hecho ese es uno (además de que dice "intebrable").
La condición de dirichlet es condición suficiente, pero no necesaria.
Las proposiciones son como las escribió sabian.
Revisen la bibliografía, si tienen el Hsu a mano, página 74.
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vir123
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2008
Mensajes: 178
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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| yagui escribió:
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| vir123 escribió:
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sé que el resultado está bien, porque está en las tablas de transformadas, lo que me confunde es el tema de que no es absolutamente integrable, y yo tengo entendido que eso es una condición necesaria, como dice por ejemplo en el apunte que dejó Fed más arriba (ahí hay un ejemplo que dice "tal función no es absolutamente integrable --> no tiene transformada de fourier), asique no sé qué onda con eso
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| polak1 escribió:
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es que justamente es lo que decís vos; es una condición necesaria...o sea, nadie dijo que era suficiente!
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Mantengan el espíritu crítico y no crean todo lo que leen. Es un apunte de internet, hecho con muy buena voluntad, pero que puede tener errores, y de hecho ese es uno (además de que dice "intebrable").
La condición de dirichlet es condición suficiente, pero no necesaria.
Las proposiciones son como las escribió sabian.
Revisen la bibliografía, si tienen el Hsu a mano, página 74.
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Sí, es que yo creía haber leído lo mismo en un libro, igual hace un rato me fijé y estaba confundida. Está claro con este ejemplo que no podía ser cierto
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avogadro
Nivel 5
Registrado: 11 Ago 2008
Mensajes: 127
Carrera: Química
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Alguno podria explicar un poco como se calcula por residuos, porque en mi curso no lo explicaron para nada y veo que sale mucho mas facil.
Gracias.
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felpis
Nivel 4
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 87
Carrera: Electrónica
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| a mi me dio 1/2 la integral (seguro a los que le dio pi es porque no ponen el 1/2pi cuando transforman)
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