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luces
Nivel 4
Registrado: 08 Feb 2010
Mensajes: 60
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Hola gente, necesito ayuda con un problema que lo vi en VARIOS coloquios y no se como encararlo..
Dos aros de masas M1 y M2 (M1<M2) y de radios r1 y r2, (r1<r2) se colocan con sus centros de masa a igual altura, sobre un plano inclinado. Ambos descienden por el plano rodando sin resbalar. Analizar,
i) cual llegara mas rapido a la base del plano inclinado(en la altura del centro de masa , se puede despreciar la diferencia entre r1 y r2.
ii) cual de ellos tiene mayor velocidad angular al llegar a la base del plano inclinado?
Si alguien me tira una pista.. graciass
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
Ubicación: AHÍ!
Carrera: Civil
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yo tampoco se muy bien como se resuelve ese tipo de ejercicios...
por lo que me dijeron todo tiene que ver con la diferencia en los momentos de inercia, en teoria el que tiene el menor momento de inercia deberia tomar mayor velocidad angular y llegar mas rapido a la base...
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Eso lo discutimos ayer, y llegamos a la conclusion q puso Guido, el aro mas pequeño tiende a empezar a girar antes, a menor inercia mas facil se hace el giro, por lo q el movimiento empezaria antes q el del otro grande, por lo tanto, llega primero el pequeño. Si no me crees pone en una mesa una canica y una pelota de basquet, inclina la mesa hasta q alguno de los 2 empieze a moverse y mira q pasa.
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luces
Nivel 4
Registrado: 08 Feb 2010
Mensajes: 60
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| si, llegue a esa conclusion por un lado.. pero por otro lado, al hacer las ecuaciones de newton, para ver cual cm esta mas acelerado, me da que el mas grande esta mas acelerado.. pero tiene coherencia lo que dicen uds..
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Pave
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 26 Feb 2008
Mensajes: 1386
Ubicación: A la Izq. de la tortuga
Carrera: Mecánica
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1º Si no me equivoco, caen al mismo tiempo, al menos planteandolo por aceleración del CM llegan al mismo tiempo (la aceleración es la misma, la proyección de la gravedad sobre el plano inclinado)
No habiendo rozamiento, su velocidad final es la misma, y al cabo de un mismo t, habrán recorrido la misma distancia.
Si no me equivoco el razonamiento de la pregunta 2 es el siguiente:
Tenés que pensar los momentos de inercia...
![[tex]I=\frac{1}{2} m r^2[/tex]](images/latex/fe50a7ab02f091a4bb853aaa89bc278fd98ad9b3_0.png "[tex]I=\frac{1}{2} m r^2[/tex]") considerando también que la energía es ![[tex]E=\frac{1}{2}I\omega[/tex]](images/latex/be7d3aff0fab52060c8e4dc3f5f5de48cb9a663d_0.png "[tex]E=\frac{1}{2}I\omega[/tex]")
O, lo suponés x conservación de la energía
Por lo que la energía potencial inicial es igual a la energía cinética final
![[tex]mgh=\frac{1}{2} mv_{cm}^2[/tex]](images/latex/1b452377c44197ba17a1c84a9031651346ad1259_0.png "[tex]mgh=\frac{1}{2} mv_{cm}^2[/tex]")
donde ![[tex]v=\omega r[/tex]](images/latex/7d1c7892a175f7923a4591d3b80e7e41dfed3f8c_0.png "[tex]v=\omega r[/tex]")
por lo que ![[tex]gh=\frac{1}{2}r^2\omega^2[/tex]](images/latex/b813d62f50a1aa94188b7dba4b22247682a24df1_0.png "[tex]gh=\frac{1}{2}r^2\omega^2[/tex]")
Resumiendo, en mi opinión llegan los dos al mismo tiempo, y la velocidad angular del disco chico es la mayor.
PD: Además suponiendo una diferencia en el tiempo de llegada, es imposible deducir cual tiene mayor velocidad angular.
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Basterman escribió:
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Eso lo discutimos ayer, y llegamos a la conclusion q puso Guido, el aro mas pequeño tiende a empezar a girar antes, a menor inercia mas facil se hace el giro, por lo q el movimiento empezaria antes q el del otro grande, por lo tanto, llega primero el pequeño. Si no me crees pone en una mesa una canica y una pelota de basquet, inclina la mesa hasta q alguno de los 2 empieze a moverse y mira q pasa.
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Esta todo mal, es como dijo Pave, llegan al mismo tiempo, ya q la aceleracion no depende de las masas ni del radio y vale lo mismo para ambos aros.
W1 va a ser mayor q w2 ya q w=(acm/R)^1/2 y como depende del radio, mientras mas chico sea, mas grande va a ser la velocidad angular.
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luces
Nivel 4
Registrado: 08 Feb 2010
Mensajes: 60
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| No entiendo porque decis que llegan al mismo tiempo.. :S
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Boogie
Nivel 5
Registrado: 28 Feb 2009
Mensajes: 138
Carrera: Mecánica
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El angulo de inclinacion es el mismo. La diferencia de Radios no molesta para nada en el primer punto.
Si los 2 parten del reposo, los radios iguales y no tenes rozamiento, la unica fuerza que se aplica al cento de masa es G. En angulo de inclinacion es el mismo para las 2. Por lo cual podes secomponer a G en funcion de ese angulo y va a ser la misma para los 2 cuerpos.
Supone que el eje X corresponde al plano en el que ruedan los aros.
Entonces, para el aro 1:
Sen (Angulo) x Peso = sen(A)xm1xG= m1 Aceleracion del centro de masa
De aca podes sacar las masas:
sen(a)xG=Aceleracion del centro de masa.
Esta aceleracion no depende de las masas, asi que el analisis de los 2 aros terminan en lo mismo. La aceleracion de estos depende solo de G, y de la inclinacion de la rampa. Ni de la masa, ni de los radios, etc.
Si los 2 parten de velocidad = 0, y tienen la misma aceleracion (en este caso constante), sus centros de masa tendran en todo momento la misma velocidad y aceleracion. Parten del mimo lugar, llegaran juntos al final de la rampa.
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Como un acróbata demente saltaré, sobre el abismo de tu escote hasta sentir que enloquecí tu corazón de libertad... ¡Ya vas a ver!
Quereme así, piantao, piantao, piantao... Trepate a esta ternura de locos que hay en mí, ponete esta peluca de alondras, ¡y volá! ¡Volá conmigo ya! ¡Vení, volá, vení!
Quereme así, piantao, piantao, piantao... Abrite los amores que vamos a intentar la mágica locura total de revivir... ¡Vení, volá, vení!
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luces
Nivel 4
Registrado: 08 Feb 2010
Mensajes: 60
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Boogie
Nivel 5
Registrado: 28 Feb 2009
Mensajes: 138
Carrera: Mecánica
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Una consulta, llegue al mismo planteo por dinamica que el arquitecto boogie en el ejercicio osea que las aceleraciones (de traslacion) son iguales (no dependen de la masa ni de los radios), pero para ver la relacion de aceleraciones angulares, como ruedan sin deslizar se cumple que
![[tex]|\gamma|=\frac{|a_{cm}|}{R}[/tex]](images/latex/d831f63f24dc866f955cd3c115307ba636b43cfa_0.png "[tex]|\gamma|=\frac{|a_{cm}|}{R}[/tex]")
si igualo las aceleraciones de los cuerpos 1 y 2, llego a una igualdad de radios:
![[tex]|a1_{cm}|=|a2_{cm}|[/tex]](images/latex/ee6790d8c488bf8a6c852515dfeb94317665afab_0.png "[tex]|a1_{cm}|=|a2_{cm}|[/tex]")
![[tex]|g|.sen\alpha.R_1=|g|.sen\alpha.R_2[/tex]](images/latex/c3e55af9bff46e0273197271032e8f3d44f48be8_0.png "[tex]|g|.sen\alpha.R_1=|g|.sen\alpha.R_2[/tex]")
![[tex]R_1=R_2[/tex]](images/latex/bbcfe473fc5f35658ee14a5020a01d3d40f16e54_0.png "[tex]R_1=R_2[/tex]")
a lo que voy es, seria esta la justificacion de que la diferencia de los radios
es despreciable?
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Fabricio: en el segundo renglón decís que las aceleraciones no dependen de los radios, sin embargo, cuando igualás las aceleraciones, las hacés depender a cada una de los radios.
Está bien que no dependen de los radios. Controlá que las ecuaciones también representen eso.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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Se puede resolver esta clase de problemas por energía también. Pues bien, si plantean la conservación de la energía mecánica del sistema -pues las fuerzas normal y peso son fuerzas centrales, y la fuerza de rozamiento (estática) realiza trabajo nulo dado que la pérdida de energía de traslación debido a F está compensada por la contribución de F con una cantidad igual de energía de rotación- van a llegar a que la magnitud de las velocidades de ambos cuerpos son v^2^=gh.
Es decir, llegan con la misma rapidez al final de la rampa pues la variación de su energía cinética de traslación es igual al trabajo realizado por la fuerza motriz exclusivamente, i.e. por la fuerza peso.
Para el punto (ii) no obstante su energía cinética de rotación si es distinta pues nuevamente planteandolo por energía llegan a que w=[(gh)^(1/2)]/R
Es decir el cuerpo de radio menor es el que tendrá mayor energía cinética de rotación, y es lógico pues el momento de inercia es una suerte de resistencia del cuerpo a verificar cambios en su estado rotacional, por cuanto a menor momento de inercia, más fácilmente tiende a aumentar o disminuir el cuerpo su velocidad angular, tal como se verifica aquí.
PD: El momento de inercia para un aro que rota en torno al eje que pasa por el cm -un eje principal de inercia de hecho- es I=MR^2.
PD2: Obviamente usamos la condicion de rodadura: v=rxw
Espero que se entienda.
Saludos!!
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Yankey escribió:
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Se puede resolver esta clase de problemas por energía también. Pues bien, si plantean la conservación de la energía mecánica del sistema -pues las fuerzas normal y peso son fuerzas centrales, y la fuerza de rozamiento (estática) realiza trabajo nulo dado que la pérdida de energía de traslación debido a F está compensada por la contribución de F con una cantidad igual de energía de rotación-
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A ver el argumento no es solo que son fuerzas centrales, sino que la normal no realiza trabajo porque es perpendicular al mov. del centro de masa en todo momento y el peso es conservativa. Me olvidé de mencionar ese detalle, sabido, pero sino quedaba medio mal a mi gusto.
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