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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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Estoy teniendo muchos problemas para resolver lo siguiente:
Sea ![[tex]F \left( s \right) ={\frac {1}{s \left( 1-{{\rm e}^{-s}} \right) }}[/tex]](images/latex/c41252d3deb6937ff236e2317b7350eb7d068a71_0.png "[tex]F \left( s \right) ={\frac {1}{s \left( 1-{{\rm e}^{-s}} \right) }}[/tex]")
1) ¿Puede ![[tex]F \left( s \right)[/tex]](images/latex/abfc04517da62aa20e783549a149ce73b8f28d39_0.png "[tex]F \left( s \right)[/tex]") ser la transformada de Laplace de una función periódica?
Yo supongo que si, ya que si se usa que la transformada de Laplace de una función periódica es ![[tex]F \left( s \right) ={\frac {\int _{0}^{T}\!f \left( t \right) {{\rm e}^{-st}}{dt}}{1-{{\rm e}^{-sT}}}}[/tex]](images/latex/7e16d67cabe030ccb438c1608d4ff805c7e25eec_0.png "[tex]F \left( s \right) ={\frac {\int _{0}^{T}\!f \left( t \right) {{\rm e}^{-st}}{dt}}{1-{{\rm e}^{-sT}}}}[/tex]") con ![[tex]f \left( t \right) =f \left( t+T \right) [/tex]](images/latex/eef973e25f37606d574f91261bdbc1b07d3b05c8_0.png "[tex]f \left( t \right) =f \left( t+T \right) [/tex]") , y T el período fundamental de la función, poniendo T = 1 y despejando se tiene
![[tex]{s}^{-1}=\int _{0}^{1}\!f \left( t \right) {{\rm e}^{-st}}{dt}[/tex]](images/latex/73cbeab83e957f08d2c65dc7c7a79f7e16ee775a_0.png "[tex]{s}^{-1}=\int _{0}^{1}\!f \left( t \right) {{\rm e}^{-st}}{dt}[/tex]") se llega a tener
Pero no estoy muy seguro de esto!
2) Antitransformar .
Esta creo que es la parte más complicada, y no tengo idea para dónde arrancar
Les agradecería cualquier ayuda, estoy ya hace bastantes horas tratando de resolver esto.
Saludos!
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Habermecanicus
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 06 Oct 2006
Mensajes: 921
Ubicación: Paseo Colón 850
Carrera: Mecánica
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mira, hice la transformada inversa en matlab, y da una función que se llama floor, mas precisamente me da f=-floor(-t), fijate:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_de_parte_entera
esto hice en matlab:
>> syms s
>> F=1/(s.*(1-exp(-s)));
>> f=ilaplace(F);
>> f
f =
-floor(-t)
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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mmm interesante, voy a ver que se me ocurre con éste dato
gracias!
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paul erdos
Nivel 4
Registrado: 02 Jun 2008
Mensajes: 64
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Hola , la transformada de Laplace de una función periódica debe ser analítica para todo s
Saludos
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Sepilloth
Nivel 8
Edad: 19
Registrado: 12 Dic 2007
Mensajes: 705
Ubicación: Capital
Carrera: Electricista
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Lo que hiciste está bien, el tema es que para la integral que te queda es imposible que el resultado sea ![[tex]\frac 1s [/tex]](images/latex/b339c9c324657f18910a3fe49a53734d31e70e3b_0.png "[tex]\frac 1s [/tex]") , sino intentalo. Ahí se demuestra por el absurdo que no es la transformada de una función periódica.
La antitransformada se supone que sale por residuos.
Si no me equivoco ese ejercicio lo sacaste de un finalde julio que rendí, pero no me acuerdo como salía.
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A noble spirit embiggens the smallest man
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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Si, lo saqué de un final. PERO, terminé resolviendo que sí es la transformada de una función! Fíjense que 1/(1-exp(-s)) se puede desarrollar en una serie de Taylor. Entonces si multiplicas cada término de la suma por el "1/s" que quedó "afuera" y antitransformas cada uno de los términos de la suma, vas a llegar que tenés una sumatoria de funciones de heaviside de la forma u(t-n) dónde "n" es el índice de la sumatoria. Si graficas eso, vas a tener la función piso que encontró Habermecanicus con el Matlab. Entonces f(t) terminaría siendo:
f(t) = 0 para t<0 y f(t) = n para (n-1) <= t < n para todo n natural.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Si suponés que es la transformada de Laplace de un función periódica f(t), llegás a que
![[tex]{s}^{-1}=\int _{0}^{1}\!f \left( t \right) {{\rm e}^{-st}}{dt}.[/tex]](images/latex/657d4e6b30341e1944379d07465780f42ba7a666_0.png "[tex]{s}^{-1}=\int _{0}^{1}\!f \left( t \right) {{\rm e}^{-st}}{dt}.[/tex]")
Con lo cual ![[tex] \frac{1}{s} [/tex]](images/latex/213606fce5b1ac5b9385c498affa4b4cce0dc36b_0.png "[tex] \frac{1}{s} [/tex]") tendría que ser la transformada de laplace de la función
![[tex] g(t)=f(t) (H(t)-H(t-1)).[/tex]](images/latex/dcda66ac2df4467a4c118f32b6b0117193fca5a4_0.png "[tex] g(t)=f(t) (H(t)-H(t-1)).[/tex]") Por otro lado es la transformada de ![[tex] H(t) [/tex]](images/latex/77c2cb9238154d0212b278c94f5fd9cf7ecb4877_0.png "[tex] H(t) [/tex]") . Luego, usando que dos funciones que tienen igual transformada tienen que ser la misma función, salvo un conjunto de longitud nula, llegás a un absurdo, pues ![[tex] f(t) (H(t)-H(t-1)) [/tex]](images/latex/1cc2445bdc16092e573649ff91a95a3e9b6b7133_0.png "[tex] f(t) (H(t)-H(t-1)) [/tex]") y ![[tex]H(t)[/tex]](images/latex/2022d5011ac8d948c860c85c48ac72af01f73723_0.png "[tex]H(t)[/tex]") difieren para todo t>0.
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BL
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 24 Oct 2007
Mensajes: 126
Carrera: No especificada
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La función "escalón" no es una función periódica. Una función periódica, de periodo T, cumple que f(x + T) = f(x). Podés ver, creo que sin problemas, que la función escalón no es periódica.
Ahora, por como está diseñado el problema (te piden que encuentres la anti-transformada de esa función en el punto SIGUIENTE) no creo que lo tengas que hacer así: o sea, viendo que la función de la que viene no es periódica.
Supongo que lo que quieren que veas es que la función F(s) no es analítica en todo punto de C, y por ende no puede ser periódica (y que pruebes esa propiedad).
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| Jorge Pérez escribió:
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Si suponés que es la transformada de Laplace de un función periódica f(t), llegás a que
Con lo cual tendría que ser la transformada de laplace de la función
Por otro lado es la transformada de . Luego, usando que dos funciones que tienen igual transformada tienen que ser la misma función, salvo un conjunto de longitud nula, llegás a un absurdo, pues y difieren para todo t>0.
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Hay un pequeño error al final, las funciones difieren para todo t>1. Como se llegó a una contradicción, la conclusión es que la función F(s) dada no es la transformada de Laplace de una función periódica.
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BL
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 24 Oct 2007
Mensajes: 126
Carrera: No especificada
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| BL escribió:
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Ahora, por como está diseñado el problema (te piden que encuentres la anti-transformada de esa función en el punto SIGUIENTE) no creo que lo tengas que hacer así: o sea, viendo que la función de la que viene no es periódica.
Supongo que lo que quieren que veas es que la función F(s) no es analítica en todo punto de C, y por ende no puede ser periódica (y que pruebes esa propiedad).
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Ahora que reveo esto y que intenté hacer el problema: esto está mal. Lo de la analiticidad en todo punto de C no tiene nada que ver, y supongo que la única forma de hacerlo es como dijeron arriba; otra cosa no se me ocurre.
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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Ahora que pienso mejor, supongo que la función no es periódica, pero sí tiene antitransformada, que sería la que puse más arriba.
Saludos
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