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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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Mi duda es la siguiente:
Por definicion las integrales de superficie son:
siendo f campo es calar:
![[tex]\int_S \int f .d \sigma = \int_D\int f( \bar F(u,v)) . \\| F'u \times F'v \|du dv[/tex]](images/latex/98b325d20784db05198921675d9ba9a9229207e2_0.png "[tex]\int_S \int f .d \sigma = \int_D\int f( \bar F(u,v)) . \\| F'u \times F'v \|du dv[/tex]")
en este caso si F es la superficie S parametrizada, tengo que "evaluar" el campo f en la superficie S.
pero si f es campo vectorial, entonces
![[tex]\int_S \int f . \breve n .d \sigma = \int_D\int f( \bar F(u,v)) . F'u \times F'v du dv[/tex]](images/latex/702bfb1f0da1c3715adc4c396fd095ae4361aa3f_0.png "[tex]\int_S \int f . \breve n .d \sigma = \int_D\int f( \bar F(u,v)) . F'u \times F'v du dv[/tex]")
tambien hay que evaluar el campo en la superficie??
porq en los calculos, se hace siempre f.normal
Esta pregunta viene por el ej1 del ultimo final http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:61:03:final_20091228_1
Para ser mas claros, siempre se tiene que evaluar el campo en la superficie? lo hago de una manera "directa" en el campo escalar (por ej en el ej1 que evaluando el campo queda una cte), estoy haciendo lo mismo en el flujo cuando hago f.n y luego todo eso con el reemplazo de las variables correspondiente??
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
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Mensajes: 2925
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Carrera: No especificada
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Lo segundo que planteas no es una integral de superficie, es un una integral de flujo.
La de superficie es un campo escalar, evaluado sobre la superficie, por la norma de un vector normal a la superficie dado por el producto vectorial de los tangentes en ambas dimensiones. Esto queda, escalar * escalar = escalar y podés integrar lo más bien.
La de flujo, es un campo vectorial, por un vector normal a la superficie, dado por el mismo producto vectorial que antes, pero sin tomarle la norma. Si bien tiene su explicación es un tanto larga y no se si necesitarás saberla. Para acordartelo, lo más fácil creo que es pensar que SIEMPRE te tiene que quedar un escalar para integrar, no un campo. Entonces cuando la función te devuelve un escalar, le tomas la norma al producto vectorial, cuando la función devuelve un campo tomás ese producto cruz como otra función vectorial y haces un producto interno entre vectores, para que te vuelva a quedar un escalar e integres sin problemas.
Haciendo algunas cuentitas, de multiplicar y dividir por normas y demás, podés llegar a que es como hacer la integral de la función escalar que devuelve la componente normal del campo (por ejemplo si la componente normal fuera (0,0,1) te devolvería solo la componente en z) y eso multiplicarlo por la norma del producto cruz. Pero esto último no lo recuerdo exactamente, después lo busco bien y te lo completo o corrijo. Igualmente para ejemplos matemáticos abstractos no suele ser tan trivial ver la componente normal del campo, al menos yo siempre hice la integral por definición que no suele ser muy complicada.
Saludos
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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A lo que voy es, tomando como ejemplo el ej1 del final q puse ahi.
Cuando se calcula la integral de superficie, se evalua el campo f en la superficie parametrizada y luego se hace el prodcut escalar con la norma de la normal.
Cuando se calcula el flujo, primero se hace f. n y despues se reemplaza los datos de la superficie.
es asi?
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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No entiendo jajaja. Querés que resuelva el ejercicio 1 o es un ejemplo?
Para la integral de superficie, por un lado evaluas la función escalar sobre la parametrizacion de la superficie , por el otro lado encontras un vector normal mediante el producto cruz y le tomas la norma. Después haces el producto y calculas la integral.
La integral de flujo, evaluas el campo vectorial sobre la superficie (queda un vector), haces el producto cruz de los vectores tangentes, queda otro vector. Ahora haces el producto interno entre vectores y te queda un hermoso escalar para integrar.
Analogamente podés hacer lo que decís vos de tomar la componente normal del campo y evaluarla sobre la superficie, seguramente te quede algún escalar por ahí relacionado con alguna norma.
Releyendo creo que acabo de encontrar donde tenés el error (o yo lo tengo). En la integral de superficie no se evalúa ningún campo, la integral de superficie es para funciones a valores reales. Es de la siguiente forma
![[tex] \int \int f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \ ||T_u \ \mbox {x} \ T_v|| du \ dv [/tex]](images/latex/a65f7a53e15bfc7bd175b8064aa7d3eba62b8fe8_0.png "[tex] \int \int f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \ ||T_u \ \mbox {x} \ T_v|| du \ dv [/tex]")
Donde ![[tex] f : \mathbf {R}^3 \Longrightarrow \mathbf {R} [/tex]](images/latex/e0c31aadc05f53db37aea2f5d8d3e88990717b9a_0.png "[tex] f : \mathbf {R}^3 \Longrightarrow \mathbf {R} [/tex]")
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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| matthaus escribió:
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Mi duda es la siguiente:
Por definicion las integrales de superficie son:
siendo f campo es calar:
en este caso si F es la superficie S parametrizada, tengo que "evaluar" el campo f en la superficie S.
pero si f es campo vectorial, entonces
tambien hay que evaluar el campo en la superficie??
porq en los calculos, se hace siempre f.normal
Esta pregunta viene por el ej1 del ultimo final http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:61:03:final_20091228_1
Para ser mas claros, siempre se tiene que evaluar el campo en la superficie? lo hago de una manera "directa" en el campo escalar (por ej en el ej1 que evaluando el campo queda una cte), estoy haciendo lo mismo en el flujo cuando hago f.n y luego todo eso con el reemplazo de las variables correspondiente??
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Están bien esas definiciones. Al campo vectorial tambien se lo evalua en la parametrización.
Example:
Suponete que ![[tex]f(x,y,z)=(x^2;x-yz;2x)[/tex]](images/latex/74878c63631b8dac2a71aa63ddac8f46598d46ab_0.png "[tex]f(x,y,z)=(x^2;x-yz;2x)[/tex]") y ![[tex]F(u,v) = (cos(u);sen(u);v)[/tex]](images/latex/132f9adc52ae21d7bfda60b6233f290964e90f99_0.png "[tex]F(u,v) = (cos(u);sen(u);v)[/tex]") entonces
![[tex]\int_S \int f . \breve n .d \sigma = \int_D\int f( \bar F(u,v)) . F'u \times F'v du dv = \int_D\int (cos^2(u);cos(u)-vsen(u);2cos(u)). ((-sen(u);cos(u);0) \times (0,0,1)) du dv[/tex]](images/latex/8039bdcb60c9bf7d72de83bcd42c4b1cfb04c406_0.png "[tex]\int_S \int f . \breve n .d \sigma = \int_D\int f( \bar F(u,v)) . F'u \times F'v du dv = \int_D\int (cos^2(u);cos(u)-vsen(u);2cos(u)). ((-sen(u);cos(u);0) \times (0,0,1)) du dv[/tex]")
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Habermecanicus
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 06 Oct 2006
Mensajes: 921
Ubicación: Paseo Colón 850
Carrera: Mecánica
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Lo que dice Sabian no es correcto. Los "flujos" si son integrales de superficie, son un tipo de integrales de superficie en donde se integran 2-variedad diferenciales, no importa qué ni en qué espacio.
En realidad uno puede integrar lo que se le plazca, un campo escalar, uno vectorial o uno tensorial, sobre diferenciales escalares o vectoriales normales o no a la superficie.
La integral de superficie de analisis 2 es una integral A TRAVÉS de una superficie. Es decir que el elemento diferencial es un vector infinitesimal ortogonal a la superficie. Y lo que está haciendo uno es sumar los productos de una componente direccional de la funcion, por el diferencial de area, escalado por la curvatura de la superficie (su metrica).
En análisis 3 se ven 2 tipos solamente, cuyo resultado es una magnitud escalar, y son:
Integral de un campo escalar por los diferenciales escalares de superficie:
![[tex]\int \! \! \! \int_S f(x_1,x_2,x_3)|\vec n| dS[/tex]](images/latex/0b99c1c02acc66d796b69fdc0936e4ed6dfe050f_0.png "[tex]\int \! \! \! \int_S f(x_1,x_2,x_3)|\vec n| dS[/tex]")
Integral de un campo vectorial por los diferenciales vectoriales normales a una superficie "flujo":
![[tex]\int \! \! \! \int_S \vec F(x_1,x_2,x_3)\ \vec n\ dS[/tex]](images/latex/d8c4547169cb0273d5153db7f55e2699b4496f01_0.png "[tex]\int \! \! \! \int_S \vec F(x_1,x_2,x_3)\ \vec n\ dS[/tex]")
Respondiendo a la pregunta puntual, no es evaluar ![[tex]\vec F[/tex]](images/latex/9650565ebfa498b8f2357409f10849ca9e0c82af_0.png "[tex]\vec F[/tex]") en las coordenadas curvilineas de la superficie siempre que me las arregle para encontrar la componente normal a S de la funcion, por ejemplo si tengo un campo ![[tex]\vec F(x,y,z)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}[/tex]](images/latex/424aa95f540243750958fc2fa92622bba814d0b7_0.png "[tex]\vec F(x,y,z)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}[/tex]") sobre una esfera, es obvio que el campo es siempre normal, por lo que podes hacer:
![[tex]\int \! \! \! \int_S \vec F\ \vec dS=\int \! \! \! \int_C F\hat \rho\cdot \vec \rho dS[/tex]](images/latex/a45830edb9e38a7788762601eed81868295d998a_0.png "[tex]\int \! \! \! \int_S \vec F\ \vec dS=\int \! \! \! \int_C F\hat \rho\cdot \vec \rho dS[/tex]")
(ojo que es ![[tex]\vec \rho=\rho^2 \sin \theta [/tex]](images/latex/f1cec676c6d72dad7cf8f9093b18e40b1c02caf2_0.png "[tex]\vec \rho=\rho^2 \sin \theta [/tex]") )
Como no depende ni de ![[tex]\theta [/tex]](images/latex/83d5267e8578f3d89e8485c61e8aa350bba41bf4_0.png "[tex]\theta [/tex]") ni de la función se puede sacar fuera de la integral de manera que:
![[tex]=F\cdot\int \! \! \! \int_S dS=F\cdot A[/tex]](images/latex/a641fcc4e3c4bcf468ea04e826b282f4590a2039_0.png "[tex]=F\cdot\int \! \! \! \int_S dS=F\cdot A[/tex]")
NOTA:
-En fisica 2 se calculan integrales de superficie de un campo vectorial por diferenciales escalares(no son flujos) en donde se integra componente a componente por un ![[tex]dS[/tex]](images/latex/2a31758a19d39cd7bfe2ad6fb39dc3de7b292a76_0.png "[tex]dS[/tex]") escalar (ej ley de coulomb en medios continuos)
![[tex]\vec E=\int \! \! \! \int_S \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec r-\vec r'}{\left(\vec r-\vec r'\right)^3}\cdot \sigma dS[/tex]](images/latex/3f623a63103cc131eb6f3b5439067c062bf470b2_0.png "[tex]\vec E=\int \! \! \! \int_S \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec r-\vec r'}{\left(\vec r-\vec r'\right)^3}\cdot \sigma dS[/tex]")
No hay razón por la que no se pueda integrar sobre un vector tangente a la superficie, de hecho la tension superficial en fluidos es una fuerza por unidad de ancho de una membrana, y para hallar la fuerza habría que hacer dicha integral:
![[tex]\vec F=\int_S \sigma|\vec t| dl[/tex]](images/latex/12dd3df49fcc52d9b83ffa294663f3986f571839_0.png "[tex]\vec F=\int_S \sigma|\vec t| dl[/tex]")
además tambien en mecánica de fluidos aparece el flujo de un campo tensorial, que es la tensión (siempre se busca simplificarlo pero se puede hacer perfectamente) y el resultado no es un escalar a persar de ser un flujo, sinó que es un vector!:
![[tex]\vec \Phi=\int \! \! \! \int_S \vec{\vec \tau} d\vec S[/tex]](images/latex/32a4181b0b79cac106eda4ea689f82e1292f1878_0.png "[tex]\vec \Phi=\int \! \! \! \int_S \vec{\vec \tau} d\vec S[/tex]")
o si se quiere:
![[tex]\Phi_i=\int \! \! \! \int_S \tau_{ij} n_j dS[/tex]](images/latex/d9a12e9e7e7ca96bf29869c06c4a13c982221586_0.png "[tex]\Phi_i=\int \! \! \! \int_S \tau_{ij} n_j dS[/tex]")
Espero que esto les demuestre que el hecho de integrar no es caprichoso, uno lo hace por un motivo, una integración es la suma de los elementos diferenciales de la Variedad que se toma por la función, o por alguna dirección de la función. El motivo por el que en analisis III se ven esos 2 tipos de integración, es innegable que son mucho mas usados.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
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Carrera: No especificada
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Paaaa, pavada de definición. Veo que lo aprendí mal, a mi me enseñaron que la integral doble de una función escalar sobre una superficie era lo que se denominaba integral de superficie y la integral de una función vectorial sobre una superficie como integral de flujo.
Perdón por la confusión.
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