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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Hola a todos, antes que anda transcribo el enunciado:
Coloquio 07/07/08
3. Sea la curva ![[tex]C: \gamma (t)=(\cos(t), \sen(t), \sen(t))[/tex]](images/latex/33071457c52797818f0dd119a46d60bb9231ea23_0.png "[tex]C: \gamma (t)=(\cos(t), \sen(t), \sen(t))[/tex]") con ![[tex]0 \leq t \leq 2\pi[/tex]](images/latex/23773c0fd79c436ffe6852990aacd36744c48b4a_0.png "[tex]0 \leq t \leq 2\pi[/tex]") , y el campo ![[tex]F \in C^1[/tex]](images/latex/a625eea218a3d6d69a9dd65b7849eab7ef07dc32_0.png "[tex]F \in C^1[/tex]") en ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") tal que ![[tex]\nabla \times F=(z,0,1-x)[/tex]](images/latex/1c59ab6ef467bfef7089ff39426e6325d0aa75b3_0.png "[tex]\nabla \times F=(z,0,1-x)[/tex]") . Calcular la circulacion de F a lo largo de ![[tex]\gamma[/tex]](images/latex/80916f1ea9a71a2fbc9b3e960163b504c931febf_0.png "[tex]\gamma[/tex]") , orientada de manera que su vector tangente en [/tex]](images/latex/9feb2af6893a5910e5278e733eaa0e82b30a5a76_0.png "[tex](0,1,1)[/tex]") tenga coordenada x negativa.
Sugerencia: Exprese C como intersección de dos superficies.
Hasta aca todo bien, la curva C es una elipse (intersección de un cilindro de radio 1 con el plano y=z). Pero al momento de aplicar el teorema del rotor, parametrizo la superficie (interior de la elipse) y me queda:
![[tex]S: \phi (\rho, \theta)=(\rho. \cos(\theta),\rho. \sen(\theta),\rho. \sen(\theta))[/tex]](images/latex/a893d0fbf355e7cb3a232b63dcc14719e99ba912_0.png "[tex]S: \phi (\rho, \theta)=(\rho. \cos(\theta),\rho. \sen(\theta),\rho. \sen(\theta))[/tex]") con ![[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]](images/latex/ae87a7f27000bae8d094b5d3888f4de51683ebe5_0.png "[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]") y aca es donde viene el problema, porque no se como sacar el intervalo del parámetro ![[tex]\rho[/tex]](images/latex/c301c1d4f4791a621a06a6abf5582a926251b8d4_0.png "[tex]\rho[/tex]")
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leandrob_90
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fernan88
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 94
Carrera: Civil
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Mira, yo haria esto: considero x= u, y=v, z=v, cuya normal me dio
(0 -1 1), ahora esta parametrizaion es para un domino (u v) e D tal que u^2 + v^2 <=1. compongo esta parametrizacion con el rotor de F, y esa integal te queda en funcion de u, v. Entonces como el dominio D son los
(u v) tal que u^2 + v^2 <=1 hago un cambio de coordenadas a polares, es decir tomo u=r cos(theeta), v= r sen(theeta), con theeta entre0 y 2pi, y r entre 0 y 1-
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Gracias fernan88!! Llegué a ese mismo resultado en el parámetro 
Después se me ocurrió hacer otra parametrización de la superficie, quedandome:
![[tex]S: \phi (\rho, \theta)=(\rho. \cos(\theta);\rho.\sqrt{2}. \sen(\theta);\rho.\sqrt{2}. \sen(\theta))[/tex]](images/latex/641cbf72096b4ce1eb1b07890c9c4cdaf2e09814_0.png "[tex]S: \phi (\rho, \theta)=(\rho. \cos(\theta);\rho.\sqrt{2}. \sen(\theta);\rho.\sqrt{2}. \sen(\theta))[/tex]")
reemplazé x e y en la ecuación del cilindro y me da el mismo intervalo: ![[tex]0 \leq \rho \leq 1[/tex]](images/latex/6cba58e6cb0f43ca9d64491746262036d5d5ed15_0.png "[tex]0 \leq \rho \leq 1[/tex]") , no se si estará bien pero dió jaja
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cuchito
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 03 Feb 2009
Mensajes: 37
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| 2 preguntas, la normal es (2x,2y,-1) ? y en el rotor cuando haces la integral z vale 0 no? porque como trabajas sobre el dominio D estarias en el plano xy.
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
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Carrera: Mecánica
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| Cita:
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a normal es (2x,2y,-1) ?
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La normal la sacás haciendo el producto vectorial entre las derivadas de la parametrización, te queda: ![[tex]N_S=(0;-\rho;\rho)[/tex]](images/latex/1358412f1669f2f8d085a677fed0f5c7031bed05_0.png "[tex]N_S=(0;-\rho;\rho)[/tex]") . Eso si, hay que tener cuidado con el tema de la orientación por lo que te dice del vector tangente.
| Cita:
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y en el rotor cuando haces la integral z vale 0 no? porque como trabajas sobre el dominio D estarias en el plano xy.
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z se te va a anular en la integral porque te queda el producto escalar ;0;1-\rho. \cos(\theta)).(0;-\rho;\rho)=\rho-\rho^2.\cos(\theta)[/tex]](images/latex/664b01274412ab83f2f4c32e2c77b494a47ea3eb_0.png "[tex](\rho.\sqrt{2}. \sen(\theta);0;1-\rho. \cos(\theta)).(0;-\rho;\rho)=\rho-\rho^2.\cos(\theta)[/tex]")
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leandrob_90
Nivel 9
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Alguien me puede dar una mano con este ejercicio?
Coloquio 16/07/08
3. Hallar el volumen del cuerpo K definido por:
![[tex]x^2+y^2+z^2 \leq 4[/tex]](images/latex/c95875948d992e138c07cb0d5fa8f655e1e2f447_0.png "[tex]x^2+y^2+z^2 \leq 4[/tex]") (esfera "llena" de radio 2)
![[tex]x^2+(y-1)^2 \leq 1[/tex]](images/latex/d0d01d9f81cca7aef043cf95e67fbea4dd369e09_0.png "[tex]x^2+(y-1)^2 \leq 1[/tex]") (cilindro "lleno" desplazado de radio 1)
![[tex]z \geq 0[/tex]](images/latex/5ff144d937590b2b68bd9102b55c5525f2b7dabb_0.png "[tex]z \geq 0[/tex]")
Mi problema es cuando hay que poner los límites de integración para resolver la integral, termino haciendo cualquier cosa...
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fernan88
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 94
Carrera: Civil
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Yo hice esto. Primero me fije el limite para z, esta va entre el plano z=0 hasta el techo que es la esfera. lo hice en coordenadas cilindricas, o sea
0 <= z <= raiz(4-r^2), despues proyecte sobre el plano x-y. tenes que
0 <=r <= 2sen(theeta) y 0<= theeta <= pi. PAra sacar los limites de r y theeta reemplaze en la ecuacion del cilindro sobre z=0 y (x=r cos, y=rsen) ahi me quedaron los limites.
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fernan88
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
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Carrera: Civil
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| Ah y no te olvides del jaboiano r
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
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Carrera: Mecánica
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Muchas gracias fernan!!
No me podía dar cuenta de cómo despejar y era reemplazar con las cilíndricas nada mas jaja, que boludo que soy! 
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leandrob_90
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leandrob_90
Nivel 9
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Aca estoy yo de nuevo, con otro ejercicio jeje
Coloquio 12/08/08
5. Hallar los puntos de la curva ![[tex]x^2+y^2-4x-2y+4=0[/tex]](images/latex/9173c46414df651f0e91b981c4a711ad88c21e82_0.png "[tex]x^2+y^2-4x-2y+4=0[/tex]") más cercanos al origen de coordenadas.
Lo primero que hice fue ver qué era esa curva, completé cuadrados y me quedó:
+(y^2-2y+1)=1[/tex]](images/latex/4f69e5361536cf7dbae7f0e36d9b4ff89db7f9c1_0.png "[tex](x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=1[/tex]") , resultó ser una circunferencia desplazada de radio 1: ^2+(y-1)^2=1[/tex]](images/latex/3ed149888403c70317fa3fdb775dd6f751c6fbe5_0.png "[tex](x-2)^2+(y-1)^2=1[/tex]")
Segudiamente parametrizo la curva:
![[tex]\phi(t)=(\cos(t)+2;\sen(t)+1); t \in [0;2\pi][/tex]](images/latex/018882d84b584d4f005af6c20a787e28d7d9d1b2_0.png "[tex]\phi(t)=(\cos(t)+2;\sen(t)+1); t \in [0;2\pi][/tex]") y uso la norma para sacar la distancia al origen:
![[tex]d(t)=\sqrt{(\cos(t)+2)^2+(\sen(t)+1)^2}=\sqrt{4\cos(t)+2\sen(t)+6}[/tex]](images/latex/b3654904d40a8726ac0bef70ccb42c5a4409e62f_0.png "[tex]d(t)=\sqrt{(\cos(t)+2)^2+(\sen(t)+1)^2}=\sqrt{4\cos(t)+2\sen(t)+6}[/tex]")
y si derivo la porquería esa se me va todo a la mierda jaja, ¿alguna ayuda para terminarlo?
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leandrob_90
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fernan88
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
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Para mi Usaria LAgrange, es decir la distancia al origen es raiz
(x^2 + y^2) , vendria a ser la restringcion mientras que tu funcion es esa circunferencia que calculaste, o sea plantearia la ecuacion del lagrange considerando una funcion g(x y)= la circunferencia y la restrincion h( x y)=raiz (x^2 + y^2). Fijate si por ese lado funciona
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fernan88
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 94
Carrera: Civil
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| En realidad mas bien seria la restringcion la circunferencia, porque vos lo que queres minimizar es una distancia pero la restriccion es esa circunferencia que te dan. O sea el lambda multiplicaria a la circunferencia.
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fernan88
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 94
Carrera: Civil
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Traigo una duda, el problema no es este pero resolviendolo llegue a una parte que me surgio el problem, resulta que hay que calcular un flujo sobre una superficie, use el teorema de gauss, el tema es que esa superficie es x^2 + y^2 + z^2 =16, z>=2, o sea un pedazo de esfera mazisa que tiene como frontera el techito que es la esfera, y como piso una superficie circular (interseccion de la esfera con plano z=2). Bueno el tema es que cuando use la divergencia del campo que es 6 aplique el teorema y me quedo 6 veces el volumen de ese cachito de esfera mazisa el tema es que los limites de ese pedacito no se si estan bien:
Use esfericas:
theeta (angulo en el plano x-y) va de 0 a 2pi.
phi(angulo respecto al eje z) va de 0 a pi/3.
y el tema es r (radio) va de 2 a 4?? o de 2/cos(phi) a 4??.
Si lo hubise hecho en coordenadas cilindricas como hubiera sido???
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leandrob_90
Nivel 9
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| Cita:
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el tema es r (radio) va de 2 a 4?? o de 2/cos(phi) a 4??.
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El radio se mueve centro de estos valores: ![[tex]2 \leq \rho \leq 4[/tex]](images/latex/035d3cf47427447cf628131f88ad6b158ae8f89c_0.png "[tex]2 \leq \rho \leq 4[/tex]")
| Cita:
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Si lo hubise hecho en coordenadas cilindricas como hubiera sido???
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En cilindricas creo que sería una cosa así:
![[tex]0 \leq \rho \leq 2\sqrt{3}[/tex]](images/latex/d9bef0e6506bdf04a12ae019b218e596c94f7bb5_0.png "[tex]0 \leq \rho \leq 2\sqrt{3}[/tex]") (no me convence mucho)
![[tex]2 \leq z \leq \sqrt{16-\rho^2}[/tex]](images/latex/74d037f1979adfe7a9b0a7084e33c78ddee70a65_0.png "[tex]2 \leq z \leq \sqrt{16-\rho^2}[/tex]")
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fernan88
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Lo que pasa es que me parece que el radio va de 2cos a 4, porque como
z>=2 entonces tenes: r cos(phi)>=2 entoncs tenes r>= (2/cos(phi));
Para la cilindricas yo pense lo mismo que vos pero no me dan lo mismo no se que habra de mal..
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