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Mensaje |
Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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(OFF: La solucion general quedo en funcion de una variable, entonces la interseccion va a tener dimension 1 )
Una solucion al sistema que plantie es (a, b, c, d ) = ( 1, -1, 1, -1 )
Entonces, reemplazo (a, b, c, d ) en alguno de los dos miembros de la igualdad que dieron origen la sistema. Con eso obtengo que la interseccion esta generada por ( 0 -2 1 -1 )
a( -1 -1 1 0 ) + b( -1 1 0 1 ) = c( 1 -11 1 0 ) + d( 1 -9 0 1 )
El lado izquierdo es
a( -1 -1 1 0 ) + b( -1 1 0 1 ) =
1( -1 -1 1 0 ) + ( - 1 ) ( -1 1 0 1 ) = ( 0 -2 1 -1 )
y el derecho
c( 1 -11 1 0 ) + d( 1 -9 0 1 ) =
( 1 ) ( 1 -11 1 0 ) + (- 1 ) ( 1 -9 0 1 ) = ( 0 -2 1 -1 )
Entonces, ( 0 -2 1 -1 ) genera la interseccion ya que existe una combinacion lineal en cada subespacio.(los coeficientes, son a y b para el primer subespacio; y c y d, para el segundo)
Si algo no se entendio avisame.
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[Campaña]Revivamos el Chat Fiuba
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Ahhh si ya entendí.
Gracias!
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Kuriat escribió:
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Como hago esto? Sean ![[tex]B={(1,-1,0)(1,1,1)(0,1,1)}[/tex]](images/latex/bc68409abf9b780a7152cd97de365d9b8958923f_0.png "[tex]B={(1,-1,0)(1,1,1)(0,1,1)}[/tex]") y ![[tex]f:R^{3x3}[/tex]](images/latex/c50a909a872a8d6bddc50c1de9e82fd66ed95b22_0.png "[tex]f:R^{3x3}[/tex]") la transformacion lineal tal que ![[tex]M_{EB}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2 \\ k^2 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 3\end{array} \right)[/tex]](images/latex/7996b48c97d34f00311f2238151cebdf60b8d6eb_0.png "[tex]M_{EB}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2 \\ k^2 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 3\end{array} \right)[/tex]") . Hallar todos los valor de ![[tex]k \in R[/tex]](images/latex/793500544c6c88055cf3c1b7a987eb80ffa63e66_0.png "[tex]k \in R[/tex]") para los cuales  \in Im f[/tex]](images/latex/c99d417786864dd49e3a842c2a0531a24ccc48f3_0.png "[tex](2,0,0) \in Im f[/tex]") . Para algunos de los valores hallados, calcular ![[tex]f(1,2,-1)[/tex]](images/latex/e6eb39c91feda651240eaaabedbcf4cecee2c5b8_0.png "[tex]f(1,2,-1)[/tex]")
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Ví que alguien propuso una forma de hacerlo, yo te tiro otra, la "tradicional".
Lo que hice yo fue pasar ![[tex]M_{EB}[/tex]](images/latex/ec29a5161c3978e34445ac2b589300444003c3cb_0.png "[tex]M_{EB}[/tex]") a ![[tex]M_{E}[/tex]](images/latex/5a8cf85b60b82f8627192393a5b60f873979a7ee_0.png "[tex]M_{E}[/tex]") . Entonces con esa matriz, averiguas la Imagen de M(f), que son las columnas. Entonces te queda algo como
![[tex]Im(f)={(k^2,k^{2}-1,k^{2}-1)(1,0,2)}[/tex]](images/latex/92ddbe42376fe098d2df22fccfd96c61e83c54c8_0.png "[tex]Im(f)={(k^2,k^{2}-1,k^{2}-1)(1,0,2)}[/tex]") .
Entonces, para que [/tex]](images/latex/4b03eca278df826b01c167b4fa6425cef7ca13fd_0.png "[tex](2,0,0)[/tex]") pertenezca a la imagen, debe poder escribirse como combinacion lineal de los dos vectores de la imagen:
![[tex]a(k^2,k^{2}-1,k^{2}-1)+b(1,0,2)=(2,0,0)[/tex]](images/latex/e4ebb20e2375cb2f8b709db6b9f3ac6216e85f38_0.png "[tex]a(k^2,k^{2}-1,k^{2}-1)+b(1,0,2)=(2,0,0)[/tex]") .
Si mal no recuerdo, k podía ser 1 o -1.
Para la otra parte, donde te piden haces ![[tex]M_{E}(f).(1,2,-1) [/tex]](images/latex/9775bb98f4c8e4d0587cdf8bcc0fed9f1056f714_0.png "[tex]M_{E}(f).(1,2,-1) [/tex]") y listo.
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valle
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 09 Mar 2009
Mensajes: 145
Carrera: Civil
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| Sid Bernard escribió:
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Antes que nada valle es correcto lo que decis...
solo que esta muy "castellanizada" esa justificacion, para los profesores del CBC (la mayoria son hinchas con ese tema)...
lo que se debe aclarar es que tiene que verificar que la multiplicidad geometrica = multiplicidad algebraica
es decir si tengo un autovalor simple, su multiplicidad algebraica = 1
por lo tanto tiene que tener multiplicidad geometrica = 1, es decir que ese autovalor simple debe tener un autovector asociado.
en el caso de tener un autovalor doble, cuya multiplicidad algebraica = 2
debe tener una multiplicidad geometrica = 2 (2 autovectores asociados al autovalor doble), para que sea diagonalizable (en el caso de una matriz de [tex] \mathbb{R}^{3 \times 3} [/tex] )
si su multiplicidad multiplicidad geometrica = 1 , se puede asegurar que la matriz no es diagonalizable, ya que tiene solo un autovector asociado al autovalor doble.
En resumen (muy general) una matriz es diagonalizable cuando:
multiplicidad geometrica = multiplicidad algebraica de todos los autovalores asociados a la matriz
Agregando un par de cosas mas... un buen truco e ingenio matematico para los autovalores es el siguiente...
en el caso de una matriz de [tex] \mathbb{R}^{3 \times 3} [/tex], si uno tiene un autovalor doble, lo primero que se tiene que hacer es ver si su multiplicidad geometrica = multiplicidad algebraica, en el caso de q no sean iguales, aseguran que no es diagonalizable.
y de paso se ahorraron cuentas (respecto con el autovalor simple), ya que con eso se puede asegurar tranquilamente.
Saludos!
Edit: Agrego informacion
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Claro, eso esta bien Sid . Creo q yo no vi multiplicidad geom y algeb. en el CBC, por eso lo dije asi.
Ese es el parcial q me tomaron el año pasado ... el ej 2 era terrible (para ese tiempo) no se si ya lo hicieron del todo, cualquier cosa tengo parte de la resolucion y dps la copio.
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