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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Hola que tal a todos! necesito ayuda con estos ejercicios, que no puedo resolver...
Al 1ro no le encuentro la vuelta, se que se debe tratar en forma binomica, pero no sale...
El 2do no se me estoy confundiendo en las cuentas o esta mal el planteo
Ahi van:
1)Hallar un polinomio P(x) perteneciente a R[x], de grado minimo tal que todas las soluciones de: ![[tex]z^2-8\overline{z}=9[/tex]](images/latex/22a88d44e60e3397dddaae6abaac64a9f1860bcc_0.png "[tex]z^2-8\overline{z}=9[/tex]") sean raices de P y P tenga alguna raíz doble
2)Sea f:R3--->R3 dada por:
![[tex]f(x_1,x_2,x_3)=(-2x_1+3x_2+5x_3;x_2+kx_3;3x_2+3x_3)[/tex]](images/latex/37353d477b8a470564f0b5f5127110265b825aff_0.png "[tex]f(x_1,x_2,x_3)=(-2x_1+3x_2+5x_3;x_2+kx_3;3x_2+3x_3)[/tex]")
Hallar k perteneciente a los reales para que (222) sea autovector de f. Para el valor de k hallado decidir si f es diagonalizable y en caso afirmativo, dar una base de autovectores de f
Lo que hago en el segundo es hacer el producto de la matriz de la t.l. por el vector (222) y eso me da otro vector que es[/tex]](images/latex/360860545b9b2bbc00541f3ad6175a4032fd2905_0.png "[tex](12,2+2k,12)[/tex]") y eso debe ser igual a ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") [/tex]](images/latex/42b0b9b2f4e9c753ef390f65cd09add86386458b_0.png "[tex](222)[/tex]") , de donde saco que para que (222) sea autovector debera ser ![[tex]k=5[/tex]](images/latex/3b234a25df0b9593d0b5e0fbe8fa80ee697fb720_0.png "[tex]k=5[/tex]") y ![[tex]\lambda=6[/tex]](images/latex/f553e740f653fc1345867913e7fbe2a8e7cb4c79_0.png "[tex]\lambda=6[/tex]")
Pero despues busco todos los autovalores, y no aparece el 6.....
No entiendo que estoy haciendo mal, ayuda!!!
Gracias
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
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Carrera: No especificada
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1)Hallar un polinomio P(x) perteneciente a R[x], de grado minimo tal que todas las soluciones de: sean raices de P y P tenga alguna raíz doble
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Que buenos recuerdos del cbc, en un rato(aka volver a casa) repaso como resolverlos y te ayudo
| Cita:
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2)Sea f:R3--->R3 dada por:
Hallar k perteneciente a los reales para que (222) sea autovector de f. Para el valor de k hallado decidir si f es diagonalizable y en caso afirmativo, dar una base de autovectores de f
Lo que hago en el segundo es hacer el producto de la matriz de la t.l. por el vector (222) y eso me da otro vector que es y eso debe ser igual a , de donde saco que para que (222) sea autovector debera ser y
Pero despues busco todos los autovalores, y no aparece el 6.....
No entiendo que estoy haciendo mal, ayuda!!!
Gracias
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Tenes mal calculado el determinante 
Mira, la matriz me quedo
(-2 - L) 3 5
0 (1-L) 5
0 3 (3 - L)
Desarrollando por la primer columna queda
(-2 - L) * [ (1 - L) * ( 3 - L ) - 15 ] = 0
Con L = 6 queda
(-2 - 6) * [ ( 1 - 6 ) * ( 3 - 6 ) - 15 ] = 0
( -8 ) * [ ( -5 ) * ( -3 ) - 15 ] = 0
( -8 ) * [ 0 ] = 0
Entonces, L = 6 es un autovalor.
El resto es pura chachara y cuentas.
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[Campaña]Revivamos el Chat Fiuba
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Me re confundi!!! me olvide de multiplicar 3 x 5!!!!! JAjajajaj gracias che!!
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
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sabian_reloaded
Nivel 9
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Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Hago el 1)
Soluciones de la ecuación:
![[tex]x^2-y^2+2ixy = 9 + 8x -8iy[/tex]](images/latex/2148821ecd25ee3b151e80cc5e4d579f736689ea_0.png "[tex]x^2-y^2+2ixy = 9 + 8x -8iy[/tex]")
![[tex]x^2 -y^2 = 9+8x[/tex]](images/latex/e0c802d06d6db42039aaf1c10dc4d37729656155_0.png "[tex]x^2 -y^2 = 9+8x[/tex]")
![[tex]2xy = -8y[/tex]](images/latex/52fbadc1231dde1ba23b1d9b4fc213730a66b631_0.png "[tex]2xy = -8y[/tex]")
De la segunda, si y distinto de 0 ![[tex] x=-4[/tex]](images/latex/0d16e1b3e8bda69b51ebff6c8f4e9c899e31039a_0.png "[tex] x=-4[/tex]") entonces
![[tex] 16 -y^2 = 9 - 32 \Longrightarrow \ \ y^2 = 39 \Longrightarrow y=\sqrt{39} (positiva y negativa)[/tex]](images/latex/5718b43a97a105b68cdf0f76ee7574cfb6d83d9f_0.png "[tex] 16 -y^2 = 9 - 32 \Longrightarrow \ \ y^2 = 39 \Longrightarrow y=\sqrt{39} (positiva y negativa)[/tex]") No me gusta esa raíz de 39, revisa las cuentas por las dudas.
Ahora si ![[tex]y=0[/tex]](images/latex/9671b51013841d9048e911bf02bf1ae6b965a342_0.png "[tex]y=0[/tex]")
Te queda inmediatamente ![[tex]x^2-8x-9=0 \Longrightarrow x=-1 \ \lor \ x=9 [/tex]](images/latex/0f5baa7a18b9e2769e72c6b78b118ac0b02109c1_0.png "[tex]x^2-8x-9=0 \Longrightarrow x=-1 \ \lor \ x=9 [/tex]")
Entonces sabes que es por lo menos ![[tex]P(x) = (x + 4 - i\sqrt{39}) (x + 4 +i\sqrt{39}) (x+1)(x-9)[/tex]](images/latex/7bced2e27f9e54117f27709c8d776c50ecd1fd30_0.png "[tex]P(x) = (x + 4 - i\sqrt{39}) (x + 4 +i\sqrt{39}) (x+1)(x-9)[/tex]")
Y como pide que tenga alguna raíz doble, hay dos opciones posibles, que es elevar al cuadrado cualquiera de los términos con raices reales. No las complejas porque si el polinomio es sobre el cuerpo Real, las raices complejas tienen que tener a su conjugada tambien y con igual multiplicidad.
Entonces quedan dos soluciones
![[tex]P(x) = (x + 4 - i\sqrt{39}) (x + 4 +i\sqrt{39}) (x+1)^2(x-9)[/tex]](images/latex/9f7f333f65a4f18d9ad710790e941acfe99e6e1d_0.png "[tex]P(x) = (x + 4 - i\sqrt{39}) (x + 4 +i\sqrt{39}) (x+1)^2(x-9)[/tex]")
![[tex]P(x) = (x + 4 - i\sqrt{39}) (x + 4 +i\sqrt{39}) (x+1)(x-9)^2[/tex]](images/latex/bb298a1644de29445cd6e6bf52cd787795f89b28_0.png "[tex]P(x) = (x + 4 - i\sqrt{39}) (x + 4 +i\sqrt{39}) (x+1)(x-9)^2[/tex]")
Revisa las cuentas por las dudas. Un saludo
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| sabian_reloaded escribió:
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Hago el 1)
Soluciones de la ecuación:
De la segunda, si y distinto de 0 entonces
No me gusta esa raíz de 39, revisa las cuentas por las dudas.
Ahora si
Te queda inmediatamente
Entonces sabes que es por lo menos
Y como pide que tenga alguna raíz doble, hay dos opciones posibles, que es elevar al cuadrado cualquiera de los términos con raices reales. No las complejas porque si el polinomio es sobre el cuerpo Real, las raices complejas tienen que tener a su conjugada tambien y con igual multiplicidad.
Entonces quedan dos soluciones
Revisa las cuentas por las dudas. Un saludo
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Che, a mi no me dio eso 
Yo lo plantié distinto, hice ^2-8(a-bi)=9[/tex]](images/latex/cf0ba3da39905af985fbb8e8118c9da93398f258_0.png "[tex](a+bi)^2-8(a-bi)=9[/tex]")
Haciendo todas las cuentitas queda que
+(2ab+8b)i=9+0i[/tex]](images/latex/dfb6ca9af656dd8991babdc100e0a16eef8f1b9a_0.png "[tex](a^2-b^2-8a)+(2ab+8b)i=9+0i[/tex]")
Cuando igualé Re e Im, me salio que b=0 y que a puede ser -1 o 9.
Entonces, como supuse que z=a+bi, queda que
![[tex]z_{1}=9[/tex]](images/latex/8fa93fd085fc0e4324a825d59a47918e6691f4c4_0.png "[tex]z_{1}=9[/tex]")
![[tex]z_{2}=-1[/tex]](images/latex/3bdf5e3164c671103b96550c8877ba368c47e87d_0.png "[tex]z_{2}=-1[/tex]") .
Entonces el polinomio puede ser ![[tex]P(x)=(x-9)(x+1)^2[/tex]](images/latex/5bf362d1fe73ba573fa686c3d4c009801d94f735_0.png "[tex]P(x)=(x-9)(x+1)^2[/tex]") o ![[tex]P(x)=(x-9)^2(x+1)[/tex]](images/latex/bc37dab9f5ea8f7f156fe2b1c14dc5538bdf8b64_0.png "[tex]P(x)=(x-9)^2(x+1)[/tex]")
| Izanagi escribió:
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jajaja no hay drama
los otros dos autovalores son 2 y -2
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A mi me quedo que los autovalores son 6 y -2, el -2 es doble por lo que veo...Cuando calculé el polinomio característico me quedó, al final, (\lambda^2 -4\lambda -12)=0[/tex]](images/latex/cf1683766f4aeb122e5a068e6808f4949562402a_0.png "[tex](-2-\lambda)(\lambda^2 -4\lambda -12)=0[/tex]") . ¿Hice mal las cuentas?
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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 i = 0i[/tex]](images/latex/e97b73e2a53872f4cf9fd0ca8c7f807ea7ebe7fc_0.png "[tex]( 2ab + 8b ) i = 0i[/tex]")
 = 0[/tex]](images/latex/2a853d9ec00af772f507f0ad63937e56ff3d6bed_0.png "[tex]( 2ab + 8b ) = 0[/tex]")
![[tex] 2b ( a + 4 ) = 0[/tex]](images/latex/07e996d89883d2fa0f4dde1e64fa7f4a9d6e97d3_0.png "[tex] 2b ( a + 4 ) = 0[/tex]")
Entonces, ![[tex] b = 0 [/tex]](images/latex/347c9366de4fc25e19263089d9a997448cb5d6e8_0.png "[tex] b = 0 [/tex]") o  = 0 [/tex]](images/latex/0b4cc7c333cfc71a5cdc6ec237e75527c7f4307b_0.png "[tex]( a + 4 ) = 0 [/tex]")
Si ![[tex]b = 0 [/tex]](images/latex/1f36a01925710664324f83799e17196dac3835ae_0.png "[tex]b = 0 [/tex]") , lo que hizo loonatic.
Si , lo que hizo sabian_reloaded.(Tambien me da raiz de 39 la muy mierda)
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[Campaña]Revivamos el Chat Fiuba
Última edición por Izanagi el Jue Nov 19, 2009 4:13 pm, editado 1 vez
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
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Carrera: No especificada
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loonatic
Nivel 9
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Carrera: Sistemas
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Uy si, es verdad. Entonces quedan tres soluciones?
![[tex]z_{3}=-4+\sqrt{39}i[/tex]](images/latex/59561d3f00a3442807c72b5322eb7411426bade8_0.png "[tex]z_{3}=-4+\sqrt{39}i[/tex]")
Tonces una opción es ![[tex]P(x)=(x-9)^2(x+1)(x-(-4+4+\sqrt{39}i))[/tex]](images/latex/77b79e4bbbbc0f18c7edd0d6676c389cf1732bd4_0.png "[tex]P(x)=(x-9)^2(x+1)(x-(-4+4+\sqrt{39}i))[/tex]") .
No entendi lo que dijiste de que no puedo hacer que la raiz multiple sea la que tiene el complejo. ¿Porque no se puede? ¿Cuando desarrollo los parentesis me quedaria que ![[tex]P(x) \in C[/tex]](images/latex/b284210ffa7bc4fb1e266d900d7af931f0461483_0.png "[tex]P(x) \in C[/tex]") ?
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
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| Izanagi escribió:
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| Cita:
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¿Hice mal las cuentas?
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Puse el dedo en la tecla que no era, tenes razon, -2 es doble.
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Ah ok.
Una pregunta, cuando te piden que digas si f es diagonalizable, como se justifica? Porque si me quedan 3 autovalores distintos yo pondria que "f es diagonalizable porque dim V=3, y hay 3 autovalores distintos". Pero aca tengo dos autovalores, y uno es doble. ¿Que tendria que decir?
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Izanagi
Nivel 7
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Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
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Carrera: No especificada
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| Cita:
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Uy si, es verdad. Entonces quedan tres soluciones?
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![[tex]z_{4}=-4-\sqrt{39}i[/tex]](images/latex/5f6a7dd201e988a0a8ee64502b272e687567b40b_0.png "[tex]z_{4}=-4-\sqrt{39}i[/tex]")
| Cita:
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No entendi lo que dijiste de que no puedo hacer que la raiz multiple sea la que tiene el complejo. ¿Porque no se puede? ¿Cuando desarrollo los parentesis me quedaria que ?
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Disculpa que sea un colgado, pero no se a que estas haciendo referencia
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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No loonatic. Cuando trabajas algebraicamente, la raíz tiene dos soluciones. Es + y - raiz de 39. Esto es debido a que la raiz enesima es una función multivaluada de n valores diferentes. Distinto es en aritmética, que por convención, se toma la positiva.
Y por otro lado, hay un corolario, creo que se desprende del Teorema Fundamental del Álgebra (pero no estoy seguro) que dice que si un polinomio de R[x] tiene una raíz compleja, su conjugado también es raíz del polinómio, y que a parte tanto ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") como ![[tex] \bar z[/tex]](images/latex/762904bdee39e72acfa965191e2ce158eaa84936_0.png "[tex] \bar z[/tex]") tienen igual multiplicidad.
Entonces si elevo uno al cuadrado tengo que elevar el otro y aumento 2 grados en el polinomio, por lo que si o si tengo que elevar uno de los reales.
Izanagui, vos tambien sospechaste de error de cuentas o planteo cuando llegaste a raiz de 39???? La muy mierdosa..... ¬_¬
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Uhhh me habia re olvidado de ese teorema y del conjugado 
Menos mal que me lo recordaron jajaja.
Mi pregunta era esta. A mi el polinomio me quedo ![[tex]P(x)=(x-9)(x+1)(x+4+\sqrt{39}i)(x+4-\sqrt{39}i)[/tex]](images/latex/befd3170f923834597372728c8e94bad0201a844_0.png "[tex]P(x)=(x-9)(x+1)(x+4+\sqrt{39}i)(x+4-\sqrt{39}i)[/tex]") . Me falta que este polinomio cumpla la condición de que una de sus raíces sea doble. Y alguien por ahi dijo que no puedo hacer que uno de los números complejos sea la raiz doble, y no entendí el porque. La verdad es que tendria que hacerlo (elevar al cuadrado alguno de los parentesis que tiene un complejo) y desarrollar los parentesis y ver que pasa, pero no tengo ganas jajaja.
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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| Cita:
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Una pregunta, cuando te piden que digas si f es diagonalizable, como se justifica? Porque si me quedan 3 autovalores distintos yo pondria que "f es diagonalizable porque dim V=3, y hay 3 autovalores distintos". Pero aca tengo dos autovalores, y uno es doble. ¿Que tendria que decir?
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No quiero mentirles vilmente, en este momento no se me ocurre como hacerlo. Creo, y solo creo, que con ver que los autoespacios son linealmente independientes deberia alcanzar.
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
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| Cita:
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Izanagui, vos tambien sospechaste de error de cuentas o planteo cuando llegaste a raiz de 39???? La muy mierdosa..... ¬_¬
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Lo hice de cero y dio ese numero vomitivo.
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