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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Izanagi escribió:
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Una pregunta, cuando te piden que digas si f es diagonalizable, como se justifica? Porque si me quedan 3 autovalores distintos yo pondria que "f es diagonalizable porque dim V=3, y hay 3 autovalores distintos". Pero aca tengo dos autovalores, y uno es doble. ¿Que tendria que decir?
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No quiero mentirles vilmente, en este momento no se me ocurre como hacerlo. Creo, y solo creo, que con ver que los autoespacios son linealmente independientes deberia alcanzar.
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Acá encontre la respuesta:
"Si ![[tex]f:V \rightarrow V[/tex]](images/latex/462536132c24f2156d56014bc3eb17c406b469d4_0.png "[tex]f:V \rightarrow V[/tex]") es una transformacion lineal, y B es una base de V formada por los autovectores de f, entonces ![[tex]M_{B}(f)[/tex]](images/latex/954dd4e35078304334393b45de4b883640e74edb_0.png "[tex]M_{B}(f)[/tex]") es diagonalizable."
Entonces tendria que ver si el autovalor doble (-2) me genera un subespacio asociado de dimension 2. Si esto no pasa, f no es diagonalizable.
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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Entonces tendria que ver si el autovalor doble (-2) me genera un subespacio asociado de dimension 2. Si esto no pasa, f no es diagonalizable.
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Nopes, eso no es suficiente.
Necesitas una base de V, entonces, la unión de los autoespacios de -2 y el de 6 debe tener dimensión 3.
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[Campaña]Revivamos el Chat Fiuba
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Izanagi escribió:
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| Cita:
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Entonces tendria que ver si el autovalor doble (-2) me genera un subespacio asociado de dimension 2. Si esto no pasa, f no es diagonalizable.
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Nopes, eso no es suficiente.
Necesitas una base de V, entonces, la unión de los autoespacios de -2 y el de 6 debe tener dimensión 3.
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Pero es obvio que el subespacio asociado al autovalor simple va a ser de dimension 1... o no?
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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En el caso del CBC si, si tenes un autovalor doble cuyo subespacio es de dimension 2 (aunq no siempre se cumple esto), el sub espacio asociado al autovalor "simple" (en este caso 6) tiene que tener dimension 1...
Para asi formar una Base del Autoespacio vectorial.
Edit: Agrego info
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![[tex]\ll[/tex]](images/latex/18b0ee03b28e763622221fda561df49104e1b3e8_0.png "[tex]\ll[/tex]") ![[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]](images/latex/6c26715c673b69707083d47474a370e7efaea3c0_0.png "[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]") ![[tex]\gg[/tex]](images/latex/0e111618adc71d5c5a3da3b35e41887d8078d70d_0.png "[tex]\gg[/tex]") ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/3ab0ca99025a1273576a70bba37de38367369007_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex]\color{blue} "\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}" [/tex]](images/latex/977817249ec7b4599126eef9d7046fe801e615ed_0.png "[tex]\color{blue} \"\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}\" [/tex]")
SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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| Cita:
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Pero es obvio que el subespacio asociado al autovalor simple va a ser de dimension 1... o no?
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Mi aclaracion venia por otro lado, en el caso del cbc no tiene sentido que la haga porque es un caso que nunca se va a dar y es que uno de los autoespacios este incluido en otro. Igual, ante la duda no esta mal checkearlo.
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[Campaña]Revivamos el Chat Fiuba
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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loonatic, la raiz doble no puede ser la compleja, porque tiene que tener igual multiplicidad que su conjugada. Si elevás una obligatoriamente tenes que elevar la otra para que el polinomio siga siendo real, y al tener que elevar las dos, aumentas dos grados el polinomio. Si elevas las raices reales, aumentas un solo grado del polinomio. Como pide de grado minimo, tenes que hacerlo con las raices reales.
Saludos
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liebe_ist
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 85
Carrera: No especificada
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| Estos ejercicios parecen tontos pero tienen sus vueltas
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| sabian_reloaded escribió:
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loonatic, la raiz doble no puede ser la compleja, porque tiene que tener igual multiplicidad que su conjugada. Si elevás una obligatoriamente tenes que elevar la otra para que el polinomio siga siendo real, y al tener que elevar las dos, aumentas dos grados el polinomio. Si elevas las raices reales, aumentas un solo grado del polinomio. Como pide de grado minimo, tenes que hacerlo con las raices reales.
Saludos
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Ok, muchas gracias por el dato.
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Kuriat
Nivel 2
Registrado: 20 Oct 2009
Mensajes: 7
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Como hago esto? Sean ![[tex]B={(1,-1,0)(1,1,1)(0,1,1)}[/tex]](images/latex/bc68409abf9b780a7152cd97de365d9b8958923f_0.png "[tex]B={(1,-1,0)(1,1,1)(0,1,1)}[/tex]") y ![[tex]f:R^{3x3}[/tex]](images/latex/c50a909a872a8d6bddc50c1de9e82fd66ed95b22_0.png "[tex]f:R^{3x3}[/tex]") la transformacion lineal tal que ![[tex]M_{EB}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2 \\ k^2 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 3\end{array} \right)[/tex]](images/latex/7996b48c97d34f00311f2238151cebdf60b8d6eb_0.png "[tex]M_{EB}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2 \\ k^2 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 3\end{array} \right)[/tex]") . Hallar todos los valor de ![[tex]k \in R[/tex]](images/latex/793500544c6c88055cf3c1b7a987eb80ffa63e66_0.png "[tex]k \in R[/tex]") para los cuales  \in Im f[/tex]](images/latex/c99d417786864dd49e3a842c2a0531a24ccc48f3_0.png "[tex](2,0,0) \in Im f[/tex]") . Para algunos de los valores hallados, calcular ![[tex]f(1,2,-1)[/tex]](images/latex/e6eb39c91feda651240eaaabedbcf4cecee2c5b8_0.png "[tex]f(1,2,-1)[/tex]")
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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Primero para ver que el vector tenes que expresarlo en coordenadas de la base:
![[tex] B= \{ (1,-1,0)(1,1,1)(0,1,1) \} [/tex]](images/latex/ab8095a8e41c5ac32e9bb450b65f6e872b6436e6_0.png "[tex] B= \{ (1,-1,0)(1,1,1)(0,1,1) \} [/tex]")
ya que la matriz de TL va de la base ![[tex]E[/tex]](images/latex/b8cfc9b14c18adb1f277fb54b13772ae667bd11b_0.png "[tex]E[/tex]") a la base ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") y luego amplias la matriz con el vector [/tex]](images/latex/4b03eca278df826b01c167b4fa6425cef7ca13fd_0.png "[tex](2,0,0)[/tex]") expresado en coordenadas de la base y de ahi calculas ![[tex] k [/tex]](images/latex/b913f44f02b97bd6c0a45bfbcffd55731c09d86a_0.png "[tex] k [/tex]")
para los valores de hallados, para hacer
solo te resta hacer:
![[tex]M_{EB} \cdot (1,2,-1)[/tex]](images/latex/4e8b83f61969ae10a2131e47e23bc9d4b33533b4_0.png "[tex]M_{EB} \cdot (1,2,-1)[/tex]") q con la multiplicacion de la matriz con el vector te da:
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SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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valle
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 09 Mar 2009
Mensajes: 145
Carrera: Civil
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| loonatic escribió:
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| Izanagi escribió:
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| Cita:
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Entonces tendria que ver si el autovalor doble (-2) me genera un subespacio asociado de dimension 2. Si esto no pasa, f no es diagonalizable.
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Nopes, eso no es suficiente.
Necesitas una base de V, entonces, la unión de los autoespacios de -2 y el de 6 debe tener dimensión 3.
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Pero es obvio que el subespacio asociado al autovalor simple va a ser de dimension 1... o no?
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La cosa es asi: Para q la matriz sea diagonalizable, se tiene q poder formar una base de autovectores.
O sea una vez q sacaste los autovalores , te fijas si tenes los suficientes autovalores (en el caso q tengas un autovalor doble deberias encontrar dos autovectores asociados) y ademas tenes q fijarte q sean linealmente independ.
En la justificacion tenias q poner eso, y en todos los ejercicios q te den gralmente (o casi siempre) se puede diagonalizar.
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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| valle escribió:
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| loonatic escribió:
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| Izanagi escribió:
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| Cita:
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Entonces tendria que ver si el autovalor doble (-2) me genera un subespacio asociado de dimension 2. Si esto no pasa, f no es diagonalizable.
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Nopes, eso no es suficiente.
Necesitas una base de V, entonces, la unión de los autoespacios de -2 y el de 6 debe tener dimensión 3.
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Pero es obvio que el subespacio asociado al autovalor simple va a ser de dimension 1... o no?
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La cosa es asi: Para q la matriz sea diagonalizable, se tiene q poder formar una base de autovectores.
O sea una vez q sacaste los autovalores , te fijas si tenes los suficientes autovalores (en el caso q tengas un autovalor doble deberias encontrar dos autovectores asociados) y ademas tenes q fijarte q sean linealmente independ.
En la justificacion tenias q poner eso, y en todos los ejercicios q te den gralmente (o casi siempre) se puede diagonalizar.
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Antes que nada valle es correcto lo que decis...
solo que esta muy "castellanizada" esa justificacion, para los profesores del CBC (la mayoria son hinchas con ese tema)...
lo que se debe aclarar es que tiene que verificar que la multiplicidad geometrica = multiplicidad algebraica
es decir si tengo un autovalor simple, su multiplicidad algebraica = 1
por lo tanto tiene que tener multiplicidad geometrica = 1, es decir que ese autovalor simple debe tener un autovector asociado.
en el caso de tener un autovalor doble, cuya multiplicidad algebraica = 2
debe tener una multiplicidad geometrica = 2 (2 autovectores asociados al autovalor doble), para que sea diagonalizable (en el caso de una matriz de [tex] \mathbb{R}^{3 \times 3} [/tex] )
si su multiplicidad multiplicidad geometrica = 1 , se puede asegurar que la matriz no es diagonalizable, ya que tiene solo un autovector asociado al autovalor doble.
En resumen (muy general) una matriz es diagonalizable cuando:
multiplicidad geometrica = multiplicidad algebraica de todos los autovalores asociados a la matriz
Agregando un par de cosas mas... un buen truco e ingenio matematico para los autovalores es el siguiente...
en el caso de una matriz de [tex] \mathbb{R}^{3 \times 3} [/tex], si uno tiene un autovalor doble, lo primero que se tiene que hacer es ver si su multiplicidad geometrica = multiplicidad algebraica, en el caso de q no sean iguales, aseguran que no es diagonalizable.
y de paso se ahorraron cuentas (respecto con el autovalor simple), ya que con eso se puede asegurar tranquilamente.
Saludos!
Edit: Agrego informacion
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SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Alguien me hace el favor de buscar la interseccion de estos dos subespacios?
S = (-1,-1,1,0) (-1,1,0,1)
T = (1,-11,1,0) (1,-9,0,1)
Porque no me esta dando bien y no veo el porque.
Gracias!
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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a( -1 -1 1 0 ) + b( -1 1 0 1 ) = c( 1 -11 1 0 ) + d( 1 -9 0 1 )
( 1 ) -a - b = c + d
( 2 ) -a + b = -11c + 9d
( 3 ) a = c
( 4 ) b = d
( 1 ) -> a = - b
-> v = ( a -a a -a) es solucion del sistema
-> v = ( 1 -1 1 -1) es solucion del sistema
Reemplazo por v y con eso obtengo la interseccion.
( 5 ) 1( -1 -1 1 0 ) + (-1)( -1 1 0 1 ) = ( 0 -2 1 -1 )
( 6 ) 1( 1 -11 1 0 ) + (-1)( 1 -9 0 1 ) = ( 0 -2 1 -1 )
( 5 ) y ( 6 )
Entonces, la intersección esta generada por ( 0 -2 1 -1 )
EDIT: Veanlon, is hay un error de cuentas avisen.
Me voy que pierdo el bondi. Cya.
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[Campaña]Revivamos el Chat Fiuba
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Izanagi escribió:
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a( -1 -1 1 0 ) + b( -1 1 0 1 ) = c( 1 -11 1 0 ) + d( 1 -9 0 1 )
( 1 ) -a - b = c + d
( 2 ) -a + b = -11c + 9d
( 3 ) a = c
( 4 ) b = d
( 1 ) -> a = - b
-> v = ( a -a a -a) es solucion del sistema
-> v = ( 1 -1 1 -1) es solucion del sistema
Reemplazo por v y con eso obtengo la interseccion.
( 5 ) 1( -1 -1 1 0 ) + (-1)( -1 1 0 1 ) = ( 0 -2 1 -1 )
( 6 ) 1( 1 -11 1 0 ) + (-1)( 1 -9 0 1 ) = ( 0 -2 1 -1 )
( 5 ) y ( 6 )
Entonces, la intersección esta generada por ( 0 -2 1 -1 )
EDIT: Veanlon, is hay un error de cuentas avisen.
Me voy que pierdo el bondi. Cya.
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Hasta la parte de que v = (1,-1,1,-1) llegue, pero despues me perdí  ¿donde tengo que meter ese vector?
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