Mr. dark_neo666
Nivel 3
Edad: 36
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Carrera: No especificada
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alguien me puede dar una mano con este ejercicio que me vuelve loco
§4.a. Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita y T: V → W una transformación lineal inyectiva entre ellos. Pruebe las
sigueinte proposiciones. §4.a.1. Si H = {v1, v2, ..., vq} es un subconjunto linealmente independiente de V entonces T(H) = { T(v1), T(v2),
..., T(vq)} es linealmente independiente en W. 4.a.2. Para todo subespacio S de V, dim (T(S)) = dim (S). §4.b. Para α∈R se define la
transformación lineal T: P2 → R3 tal que T (p) = (p(1) p(–1) p(α) )T. Determinar para qué valores de α existen dos polinomios p1 y p2
distintos tales que T(p1) = T(p2) = (2 0 2)T.
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es un ejercicio resuelto por acero
φ§4..b Dado que deben existir dos polinomios distintos con la misma imagen a través de T (invitamos al lector a probar que entonces
existen infinitos con esa imagen), T no es inyectiva, esto es que en el núcleo debe haber un polinomio no nulo (aceptamos sabido el
resultado de que T es inyectiva sii su núcleo sólo contiene al vector nulo). Ahora bien, Nuc T = {p∈P2: p(1) = p(–1) = p(α) = 0}, esto es
quetiene por raíces 1, –1, α, pero si un polinomio de P2 tiene tres raíces distintas es el nulo, de modo que es necesario que α sea 1 o –1,
pero también se nos pide que (2 0 2)T ∈ Im(T), de modo que descartamos que α sea –1 pues en tal caso la segunda y tercera
componentes de la imagen de cualquier p resultarían iguales [e iguales a p(–1)], lo que dejaría fuera de la imagen el (2 0 2)T, de modo que
se necesario que α = 1. ¿Es suficiente?. Si α = 1 se tiene que T (p) = (p(1) p(–1) p(1))T, de modo que Im (T) = gen{(1 0 1)T, (0 1 0)T},
mientras que es Nu(T) = gen{q(t) = t2–1}, con infinitos polinomios tales que T(p) = (2 0 2)T, tales como p1(t) =t+1, p2(t) = t2 + t ;
recomendamos probar al lector que la preimagen a través de T del conjunto H ={(2 0 2)T} es el conjunto de polinomios dado por la
expresión T–1(H) = {q∈P2 tal que q = p1 + β q, β∈R}.
Finalmente podemos asegurar que el único valor para el que se verifica lo pedido es α = 1.
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no entiendo la parte resaltada alguien me lo puede explicar
lo que hice
p(t)= a + bt + ct^2
p(1)= a+b(1)+c(1)^2
p(-1)=a+b(-1)+c(-1)^2
p(alfa)= a+ b (alfa) + c (alfa)^2
como nu(t) debe ser diferente de cero los pongo en columnas y uso el determinante, saco que alfa puede ser 1 o -1, ademas me piden que el vector 2,0,2 debe existir en la imagen de t
entonces el vector 2,0,2 debe ser combinacion lineal de p(1)= a+b(1)+c(1)^2=(1,1,1)
p(-1)=a+b(-1)+c(-1)^2= (1,-1,1)
p(alfa)= a+ b (alfa) + c (alfa)^2 = (1,alfa,alfa^2)
como alfa es 1 o -1 saco p1(1)=1,1,1 o p2(-1)=1,-1,1
entonces lo escribo como combinacion lineal 2,0,2= g. (1,1,1) + z (1,-1,1) + j (1,-1,1)
y para los dos alfa me da un sistema compatible
entonces lo pense de otra manera pongo las imagenes en filas y el vector 2,0,2 debe ser ld con los demas y para los dos alfa me sirve
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que estoy haciendo mal, y lo que comento acero no lo entendi por que descarta alfa -1 y dice que alfa es 1, seguro algo le estoy pifiando, alguien me puede decir que cagada me estoy mandando
gracias
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