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Damián_08
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 10 Ene 2008
Mensajes: 123
Carrera: Industrial
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A ver quien me ayuda con este ejercicio:
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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mira yo lo encararia de este modo como el RG(A)=2 y DIm(A)=2 y el RG(AB)=2 y DIm(AB)=2 quiere decir que COL(A)=COL(AB) por lo tanto planteas ahora Ax=B siendo B=(3,2,2)T y Ax =proyX(col A)
como la matriz(AB)=matriz(A) tiene un vector columna que es LI a los otros dos vectores , AT*A no es inversible por lo tanto vas a tener q plantear esto:
(At*A)*x=B siendo x=(x1,x2,x3)T esto te va a dalr Xgeneral= Xparticular + Xnul(A) por lo tanto la solucion general que te quede la metes en el x de la formula (At*A)*x=B y se tiene q cumplir la igualdad.
ahh me olvidaba tenes q verificar q B pertenesca a Col(A) porq sino nos e peude ahcer el ejercicio, es mas B pertenece a Col(A) ya que si sumaslos primeros dos vectores columnas de la matriz A te da B.
suerte.
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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fe de erratas:
dodne exprese (At*A)*x=B quise poner (At*A)*x=At*B
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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| Estas seguro q es un ejercicio de cuadrados minimos espiño_cristian?????
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![[tex]\ll[/tex]](images/latex/18b0ee03b28e763622221fda561df49104e1b3e8_0.png "[tex]\ll[/tex]") ![[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]](images/latex/6c26715c673b69707083d47474a370e7efaea3c0_0.png "[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]") ![[tex]\gg[/tex]](images/latex/0e111618adc71d5c5a3da3b35e41887d8078d70d_0.png "[tex]\gg[/tex]") ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/3ab0ca99025a1273576a70bba37de38367369007_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex]\color{blue} "\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}" [/tex]](images/latex/977817249ec7b4599126eef9d7046fe801e615ed_0.png "[tex]\color{blue} \"\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}\" [/tex]")
SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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Damián_08
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 10 Ene 2008
Mensajes: 123
Carrera: Industrial
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Si igualmente mi duda está en algo elemental, como llego a que el rg(A)=2,
intenté usar la propiedad: que Col(AB) está incluído en Col(A), y como la dim(Col(AB))=2 porque el rg(AB)=2, además col(AB) es un subespacio de R3, entonces col(A) puede ser de dim 2 ó 3. Me parece que me están dando el dato equivocado, necesito el rango de A en ves del de B?
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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practicamente vos te repondiste fijate que la propiedad de ![[tex]COL(A) = COL(AB) [/tex]](images/latex/59302e979d0393ae186f6357557da7526f6bf755_0.png "[tex]COL(A) = COL(AB) [/tex]") es muy fuerte y te da mucha info, ya que la definicion de ![[tex]rg(A)[/tex]](images/latex/814c8dbc71c2fb62e1ce493250b30ec46f1aaa81_0.png "[tex]rg(A)[/tex]") te dice el numero (o cantidad) de columnas LI de la matriz, entonces aplicando la propiedad del espacio de Columna sabemos q el es 2, por ende el sub espacio generado de ![[tex]COL(A)[/tex]](images/latex/0992148208243843326b7e1214db62fcad3b3276_0.png "[tex]COL(A)[/tex]") seria:
![[tex]COL (A) = \mbox{gen} \{ (1,1,1) (2,1,1) \} [/tex]](images/latex/5b25b1648ab9f0526e2e13230d67e454d608ebc8_0.png "[tex]COL (A) = \mbox{gen} \{ (1,1,1) (2,1,1) \} [/tex]")
y de ahi aplicando la formula de proyeccion podemos calcular el vector "X" que nos pide...
Saludos!
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SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Buenas,
Hay una propiedad que seguramente te dieron en clase, igual está en la guía, que dice:
Siendo B matriz de R^(nxn) conforme a A (es decir que pueden multiplicarse)
Entonces si Rg(B)=n => Rg(AB)=Rg(A)
Para este problema entonces Rg(A)=2 porque Rg(AB)=2 (col1 y col3 son LD) y Rg(B)=3=n (es dato).
Lo que te pide el problema con encontrar esos X tal que su proyección sobre Col(A) es [3 2 2] es buscar todos los sistemas de ecuaciones incompatibles tales que [3 2 2] es una solución por cuadrados mínimos. Fijate que ese X sería el 'b' en el planteo clásico del sistema inconsistente Ax=b, x=[3 2 2].
Geométricamente estarías buscando todos los vectores b (ahora uso la notación clásica) que tienen la misma proyección sobre Col(A), y esa proyección que tienen todos en común es Ax, que ya sabemos que vive en Col(A). Situate ahora en el complemento ortogonal de Col(A), osea Nul(At), fijate que a todos y cada uno de esos b los vas a poder expresar como la suma de dos vectores, pertenecientes a subespacios ortogonales. entonces b= Ax + gen{Nul(At)}. Cada uno de esos infinitos múltiplos del generador de Nul(At) te va a dar (junto con Ax), un b distinto que va a lograr que [3 2 2] multiplicado por la matriz A sea el vector del Col(A) más cercano que se le pueda encontrar (dato interesante si Col(A) son, por ejemplo, los coeficientes de un SEL inconsistente y necesitas aproximar un modelo).
Ahora hay que encontrar un generador de Nul(At), necesitás hacer uso de otra propiedad importante que relaciona los subespacios Col en el producto de matrices.
Si Rg(B)=n => Col(AB)=Col(A) (esta propiedad y la anterior muy probablemente las viste en la unidad de transformaciones lineales porque es muy fácil demostrarlas con núcleo e imagen).
Listo, el Col(AB) que lo podés conseguir de la matriz que tenés como dato, va a ser un subespacio de R3 de dimensión 2. Buscás su complemento ortogonal, Nul(At), de dimensión 1, y expresás todos los b (que para el caso de este problema son los X mayúscula) como la suma de un vector más todos los múltiplos de ese generador de Nul(At) que encontraste.
Es fácil verlo geométricamente. Col(A) es un plano en R3, y su complemento ortogonal es la recta generada por la normal de ese plano (con PIC). A vos te están dando un vector sobre ese plano que sabés que es la solución por cuadrados mínimos de algo, osea la proyección sobre ese plano de algo. ¿Cuantos algos vas a encontrar en R3? Infinitos.
Bueno espero haberlo hecho bien y espero que me hayas entendido
suerte el sabado 
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eze
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 23 May 2006
Mensajes: 505
Ubicación: Florencio Varela
Carrera: Electricista
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es así: Sea x perteneciente a Nul de (AB)t, con la t de transpuesta, entonces (AB)t x=0. Aplicando la propiedad de la transposicion de un producto se tiene BtAt x=0 y como rgB=rgBt=3 entonces no queda otra que Atx=0 con lo cual x pertenece a nul(A)t. así se demuestra que nul(AB)t esta contenido en nul(A)t. Puede probarse la recíproca facilmente y asi demostras que nul(AB)t=nul(A)t. como, en general NUL(Ct)=COL(C) ortog, se tiene que col(AB)ortog=col(A)ortog. como ambos sevs están contenidos en R3, se deduce que Col(AB)=Col(A), pues sus complementos ortogonales son iguales.
Aclaracion: insisto con lo de COMPLEMENTOS ortogonales iguales, entonces los espacios son iguales, porque si, por ej decis que en R3 el eje X y el Y son ortogonales, y el eje z es ortogonal a ambos concluirías erróneamente que el eje X y el Y son iguales (no se si se entiende lo que quiero resaltar)
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y se complacen tan necios
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
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Carrera: No especificada
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TREMENDO MATETE ME HCIE PIDO DISCULPAS, SID BERNAD TENESRAZON
como el RG(A)=2 y DIm(A)=2 y el RG(AB)=2 y DIm(AB)=2 quiere decir que COL(A)=COL(AB) por lo tanto planteas q COL(A)=gen={(1.1.1), (2.1.1)}
luego por grand- smidt hallas una base ortogonal yd esp aplicas la formula de proyeccion y ahid etertminas el valor X q te piden .
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eze
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 23 May 2006
Mensajes: 505
Ubicación: Florencio Varela
Carrera: Electricista
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| No sid, col (AB)=col(A) solo es cierto en el caso del ejercicio, con rg B=3. si no no vale. esta bien lo que puso damian_08, lo que puso pankreas y lo que yo puse es la demostracion. Es decir que si Rg(B) no es tres, col A puede tener dimensión tres, no necesariamente 2
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eze
Nivel 8
Edad: 38
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Ubicación: Florencio Varela
Carrera: Electricista
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| che espiño. tene cuidado con poner eso de "dim(AB)" eso esta mal, lo que existe son dimensiones de subespacios (fila, columna, nulo, etc) no de matrices. si fue un error de tipeo, hace de cuenta que no dije nada
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Nivel 9
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Carrera: No especificada
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| eze escribió:
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che espiño. tene cuidado con poner eso de "dim(AB)" eso esta mal, lo que existe son dimensiones de subespacios (fila, columna, nulo, etc) no de matrices. si fue un error de tipeo, hace de cuenta que no dije nada
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si disculpa quise poner DIM{espacio columna(ab)} fue el tipeo,
ahora tengo una duda, es valido decir q si el RG(B) es maximo DIM{espacio columna(AB)} =DIM{espacio columna(A)} ??
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eze
Nivel 8
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| si, no sólo son iguales las dimensiones sino que como te demostré son iguales los espacios
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friedrich
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| che, pankreas ahí lo explicó re bien.
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