2. Sea f : R2 --> R, una funcion C3(R2) tal que su polinomio de Taylor de orden 2 en (2; 7) es
p(x; y) = x2 + (1/2) x y + (1/2) x + 4. Sea g : R3 --> R de nida por
g(x; y; z) = f(x2 + y - z3; 3 x + 2 y z) -2 x2. Veri que que el punto P = (1; 2; 1) pertenece a
la super cie de nivel 0 de g(x; y; z) y halle el plano tangente a dicha super cie en P.
perdon me olvidaba la otra parte del enunciado ajaja, mmm a vos te dan un lo que debes hacer es igualarlo a una constante y valuarla en el punto que te dieron para hallar el valor de dicha constante osea , aparte te dan el dato de caunto vale esa constante que es solod ebes verificar y nada mas.
Primero verificamos que el pto pertenece a la sup de nivel 0 de g.
Para eso igualamos donde k sera "el nivel" de la sup de nivel de g.
Ahora por def de polinimio de Taylor, la funcion f y el polinomio alcanzan el mismo valor en un entorno del pto por lo tanto evaluo el polinomio en y tengo el valor de la funcion en ese punto. Esto tambien vale para sus derivadas parciales (hasta la tercera por ser f )
por lo tanto corroboramos que que es la sup de nivel 0 de g en el pto .
Ahora me piden el plano tg a g en el pto P. Como g es por ser una composicion de f que es , g es diferenciable en un entorno del pto , por lo que puedo calcular sus derivadas parciales. Lo que necesito es el que sera perpendicular a la sup de nivel de g en ese pto y por lo tanto paralelo a la normal del plano tg a g en ese pto.
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![[tex]G[/tex]](images/latex/fee7794312210ac6c4e9723de4f524e55c712709_0.png "[tex]G[/tex]")
en el punto ![[tex]P = (1.2.1)[/tex]](images/latex/63cbee2453ebab68769b0ad11104df1e52afb894_0.png "[tex]P = (1.2.1)[/tex]")
que tiene la forma ![[tex]G(x,y,z) = G(1,2,1) +G'x(1,2,1)*(x-1) + G'y(1,2,1)*(y-2) +G'z(1,2,1)*(z-1)[/tex]](images/latex/aa1683c84e69ff6ba683247c3b68a34c40ef1edc_0.png "[tex]G(x,y,z) = G(1,2,1) +G'x(1,2,1)*(x-1) + G'y(1,2,1)*(y-2) +G'z(1,2,1)*(z-1)[/tex]")
![[tex]G(1,2,1) = f(2,7) -2[/tex]](images/latex/4431b4facff93a6bf673c4351da13e0d72507d35_0.png "[tex]G(1,2,1) = f(2,7) -2[/tex]")
ahi remplaze el punto ![[tex]P[/tex]](images/latex/ec491f5a13233236733b485a8534dbcf6b01ea7c_0.png "[tex]P[/tex]")
en ![[tex]f(x2 + y - z3; 3 x + 2 yz)[/tex]](images/latex/cb2bf2c74cd19e6b32a116dc5409c0fc59c5557f_0.png "[tex]f(x2 + y - z3; 3 x + 2 yz)[/tex]")
dandome como resultado ![[tex]f(2,7)[/tex]](images/latex/a0be75f05ab1af1d07e9d9b84f4a06d7520aea96_0.png "[tex]f(2,7)[/tex]")
y a su vez ![[tex]f(2,7)[tex] es igual a [tex]p(2,7)[tex] ya que [tex]p(x,y)[/tex]](images/latex/d018243c6982aeb284cd172ab2bad9b9060af617_0.png "[tex]f(2,7)[tex] es igual a [tex]p(2,7)[tex] ya que [tex]p(x,y)[/tex]")
es el polinomio de taylor de orden 2 de ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]")
valuado en el punto ![[tex]G'x(P) = fx'(2,7)*(2x,3) - 4x[/tex]](images/latex/81bf1a1c6d7f6ea40ce862cccf385a433f9eb1bd_0.png "[tex]G'x(P) = fx'(2,7)*(2x,3) - 4x[/tex]")
(aplique teorema de derivada de funcion compuesta) , a su vez ![[tex]f'x(2,7) = p'x(2,7)[/tex]](images/latex/5933500f2fc3d99a0e83ccd3e76a0a2a4145b754_0.png "[tex]f'x(2,7) = p'x(2,7)[/tex]")
![[tex]G'y(P) = fy'(2,7)*(1,2z)[/tex]](images/latex/6ed4e92edd2f5a3bd9ab63bbe62abd53e8ee2b40_0.png "[tex]G'y(P) = fy'(2,7)*(1,2z)[/tex]")
(aplique teorema de derivada de funcion compuesta) , a su vez ![[tex]f'y(2,7) = p'y(2,7)[/tex]](images/latex/31916f0f24c668e6876534678e9ae49d2d5ad8b3_0.png "[tex]f'y(2,7) = p'y(2,7)[/tex]")
![[tex]G'z(P) = 0*(2,7)*(-3z,2y)[/tex]](images/latex/3cbfd8e0797895fcd98879a04b5fdc760442160b_0.png "[tex]G'z(P) = 0*(2,7)*(-3z,2y)[/tex]")
(aplique teorema de derivada de funcion compuesta) e este caso la funcion derivada de ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]")
e ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]")
solamente.
![[tex]\nabla[/tex]](images/latex/fead678b8706285911856de16102b2cfb3165861_0.png "[tex]\nabla[/tex]")
![[tex]G(1,2,1) = (algo, algo, 0)[/tex]](images/latex/318119385e3e7363bdf5f7597cac376c21e9e223_0.png "[tex]G(1,2,1) = (algo, algo, 0)[/tex]")
![[tex]f(2,7)=p(2,7)[/tex]](images/latex/386b917890c287bc9acbdf42f853906770c86287_0.png "[tex]f(2,7)=p(2,7)[/tex]")
ya que ![[tex]p(x,y)[/tex]](images/latex/b76124fbad3d8e971a3c709d9a26073d436c20fd_0.png "[tex]p(x,y)[/tex]")
es el polinomio de taylor de orfen 2 con respecto a [/tex]](images/latex/6a30ee18542164108f5fbfce4f7889dcf95bb65d_0.png "[tex](2,7)[/tex]")
![[tex]G(xyz)[/tex]](images/latex/66584561aa289b14024614716edb418e371ee950_0.png "[tex]G(xyz)[/tex]")
lo que debes hacer es igualarlo a una constante ![[tex]K[/tex]](images/latex/3c31f3404a91311bb4be7cec9d49bb510d592d34_0.png "[tex]K[/tex]")
y valuarla en el punto ![[tex]G(P)=K[/tex]](images/latex/b69df2d891e4b5d1698db02a52a0c17666bc8fde_0.png "[tex]G(P)=K[/tex]")
, aparte te dan el dato de caunto vale esa constante que es ![[tex]K=0[/tex]](images/latex/ba8520739724def42f174e6c9af6c25d74ea411b_0.png "[tex]K=0[/tex]")
solod ebes verificar y nada mas.
![[tex]P=(1,2,1)[/tex]](images/latex/03d69bec6f78e75c74db42975d65607bdac6390d_0.png "[tex]P=(1,2,1)[/tex]")
pertenece a la sup de nivel 0 de g.
![[tex]g(xyz)=K[/tex]](images/latex/1fdf86f9748efa05da69e740acabac3c0cdb8d75_0.png "[tex]g(xyz)=K[/tex]")
donde k sera "el nivel" de la sup de nivel de g.
![[tex]g(xyz)=f(x^2+y-z^3, 3x+2yz)-2x^2[/tex]](images/latex/56b59ea5165d4862c1084f022ec5d170cf0cf235_0.png "[tex]g(xyz)=f(x^2+y-z^3, 3x+2yz)-2x^2[/tex]")
![[tex]g(121)=f(2,7)-2[/tex]](images/latex/66f0f19a604ee4dd6fb611f90a7952cbece0e50d_0.png "[tex]g(121)=f(2,7)-2[/tex]")
![[tex]C^3[/tex]](images/latex/87bfbdd4d2451b74d6220f0c30f32cc1225c399c_0.png "[tex]C^3[/tex]")
)
![[tex]p(xy)= x^2- \frac{1}{2}xy+ \frac{1}{2}x+4[/tex]](images/latex/0cc13d6f8436d07a01cfc000e0018d2f6b6401a0_0.png "[tex]p(xy)= x^2- \frac{1}{2}xy+ \frac{1}{2}x+4[/tex]")
![[tex]p(2,7)=2[/tex]](images/latex/6c1954c4d5daf9dfde85a65b4c1e2dc4deb93145_0.png "[tex]p(2,7)=2[/tex]")
![[tex]g(121)=2-2=0=K[/tex]](images/latex/943196460108da38879197b4982f419d89d101bf_0.png "[tex]g(121)=2-2=0=K[/tex]")
por lo tanto corroboramos que ![[tex]k=0[/tex]](images/latex/bdbe5c7552697893e3c928f5162a28fececf4417_0.png "[tex]k=0[/tex]")
que es la sup de nivel 0 de g en el pto [/tex]](images/latex/90a4da0f0b3f2aaf32e643737298beedb774fee7_0.png "[tex](121)[/tex]")
.
![[tex]C^k[/tex]](images/latex/4edebf01cc39b2c641b2f6072cc3e2a0ef8ec4e9_0.png "[tex]C^k[/tex]")
por ser una composicion de f que es ![[tex]\nabla g(121)[/tex]](images/latex/6b972aceb40aba1bd6c23108873d7ea73c51cade_0.png "[tex]\nabla g(121)[/tex]")
que sera perpendicular a la sup de nivel de g en ese pto y por lo tanto paralelo a la normal del plano tg a g en ese pto.![[tex]\nabla g(xyz) en (1,2,1) =(g'x,g'y,g'z)[/tex]](images/latex/b88d5b41d682b611847b1feb1fc422b3a1501e65_0.png "[tex]\nabla g(xyz) en (1,2,1) =(g'x,g'y,g'z)[/tex]")
![[tex]g=f(u,v)[/tex]](images/latex/c2eb451b10bea446aee744db26c4065c077bcf13_0.png "[tex]g=f(u,v)[/tex]")
donde![[tex] u(xyz)=x^2+y-z^3 v(xyz)=3x+2yz[/tex]](images/latex/9d19c00ca28745d7ed9f2e09a861223a2a6037b5_0.png "[tex] u(xyz)=x^2+y-z^3 v(xyz)=3x+2yz[/tex]")
![[tex]g'x=f'u * u'x + f'v * v'x -4x[/tex]](images/latex/d8e68fda011d4332c34ed55b155ffad362caf991_0.png "[tex]g'x=f'u * u'x + f'v * v'x -4x[/tex]")
![[tex]g'y=f'u * u'y + f'v * v'y[/tex]](images/latex/27c8b339f8a084a0478d1994cfc38cf3385376c0_0.png "[tex]g'y=f'u * u'y + f'v * v'y[/tex]")
![[tex]g'z= 0[/tex]](images/latex/4e9b279f3a3e067a595d73e0f746b43334e5c643_0.png "[tex]g'z= 0[/tex]")
ya que ![[tex]f(u,v)[/tex]](images/latex/e9449c702883a0ece3c0f249dd6d823c2071e530_0.png "[tex]f(u,v)[/tex]")
no depende de z.
![[tex]f=f(u,v)[/tex]](images/latex/6972d55453870243cfe1293f10c32bed4dad82b9_0.png "[tex]f=f(u,v)[/tex]")
entonces su polinomio ![[tex]p=p(u,v)[/tex]](images/latex/f04fe9c043eb30facc1b95357728011b660bf12e_0.png "[tex]p=p(u,v)[/tex]")
por lo tanto derivar respecto de u y de v es como derivar al pol respecto de sus dos variables (x e y).
![[tex]f'u=p'u(u,v)=2u-(1/2)v+(1/2)[/tex]](images/latex/00a68dd260959967e14dd56f448f33dce2c7a555_0.png "[tex]f'u=p'u(u,v)=2u-(1/2)v+(1/2)[/tex]")
,
![[tex]p'u(2,7)=0[/tex]](images/latex/7a37c0fd0865a7db01cd43c0616cab7c3b7a495c_0.png "[tex]p'u(2,7)=0[/tex]")
![[tex]f'v=p'v(u,v)=-(1/2)u [/tex]](images/latex/95337fd3cc97754b73eb362007e441a09f378fa1_0.png "[tex]f'v=p'v(u,v)=-(1/2)u [/tex]")
,
![[tex]p'v(2,7)= -1[/tex]](images/latex/43cd9e726a5a2bd6568f0dc8d2e86fd4c4a7aead_0.png "[tex]p'v(2,7)= -1[/tex]")
![[tex]u'x(1,2,1)=2[/tex]](images/latex/bf37cade8394976fec2984f4a62f9bf68348f408_0.png "[tex]u'x(1,2,1)=2[/tex]")
![[tex]u'y(1,2,1)=1[/tex]](images/latex/cd4c884d4af5ee431d88bbcc165e29e5ecadc4da_0.png "[tex]u'y(1,2,1)=1[/tex]")
![[tex]v'x(1,2,1)= 3[/tex]](images/latex/072ad602fc78ef5b8bbeef3164db7ce335ac62e1_0.png "[tex]v'x(1,2,1)= 3[/tex]")
![[tex]v'y(1,2,1)=2[/tex]](images/latex/ba3e65928b54e0f820c0fbf05dee6ee32e281d7d_0.png "[tex]v'y(1,2,1)=2[/tex]")
![[tex]g'x(1,2,1) = 0*2 + (-1) * 3= -3[/tex]](images/latex/395878bc03fa8356746490f47e27346170ad592d_0.png "[tex]g'x(1,2,1) = 0*2 + (-1) * 3= -3[/tex]")
![[tex]g'y(1,2,1) = 0* 1 + (-1) * 1 = -1[/tex]](images/latex/718f013972787e4ce4d3ced87e1905dadcecd3c2_0.png "[tex]g'y(1,2,1) = 0* 1 + (-1) * 1 = -1[/tex]")
![[tex]g'z(1,2,1) = 0[/tex]](images/latex/d31245ff984418785e5e23e9f4384c05219be28a_0.png "[tex]g'z(1,2,1) = 0[/tex]")
[/tex]](images/latex/36b9054e38bed3e44f99ebd1a4b174b117ea473d_0.png "[tex](-3,-1,0)[/tex]")
[/tex]](images/latex/8dafc05bf54afb1611495f4e022b6740b77ecd60_0.png "[tex](1,2,1)[/tex]")
tiene la forma: ![[tex]\pi : -3x-y=-6[/tex]](images/latex/e01c35c7f24b74c2984ba371fe729b4466cead3c_0.png "[tex]\pi : -3x-y=-6[/tex]")
o ![[tex]\pi : 3x+y=6[/tex]](images/latex/06968e3857ef9297ba13c37cf55a9f4d209381a1_0.png "[tex]\pi : 3x+y=6[/tex]")
