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grynberg
Nivel 6
Registrado: 04 Sep 2009
Mensajes: 237
Ubicación: Corrientes y Esmeralda. En el sur del planeta Tierra.
Carrera: No especificada
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Sean ![[tex]A, B[/tex]](images/latex/bd9e6d4c7bc6c1d593b9ec5ab54b6a027fdcdcd1_0.png "[tex]A, B[/tex]") y ![[tex]C[/tex]](images/latex/f080822e4599409bd2523af830d42a915043dcd8_0.png "[tex]C[/tex]") tres variables aleatorias independientes con distribución común uniforme sobre el intervalo [/tex]](images/latex/a8301e002b7d57542731e64dab36ceae0f88b224_0.png "[tex](0,1)[/tex]") .
(a) Hallar la probabilidad de que la ecuación ![[tex]Ax^2+Bx+(A+B)=0[/tex]](images/latex/ee90beb21134219b4ed7b7742521b9bffd25404d_0.png "[tex]Ax^2+Bx+(A+B)=0[/tex]") tenga raíces reales.
(b) Hallar la probabilidad de que la ecuación ![[tex]Ax^2+Bx+C=0[/tex]](images/latex/a2b22ac8d0d9d5fb5e3847f31b7870a9c3911b35_0.png "[tex]Ax^2+Bx+C=0[/tex]") no tenga reíces reales.
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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¿Alguien tiene alguna idea sobre esto?
Si armo una función de probabilidad para el discriminante, estaría pidiendo la probabilidad que esa función (de varias variables) fuera mayor o igual que cero.
El problema es que no sé cómo relacionar las distribuciones de A y B con la del discriminante (B^2 - 4*A*(A+B))...
Es más o menos el enunciado del problema 2.18 en la guía nueva.
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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4WD, para el (a) lo que se me ocurre sin recurrir explícitamente a una función de dos variables es calcular
![[tex]P(B^2 - 4A(A + B) \ge 0) = P(B^2 - 4AB - 4A^2 \ge 0)[/tex]](images/latex/a101c9fc078306839769386bf4c95e4518e1f2b4_0.png "[tex]P(B^2 - 4A(A + B) \ge 0) = P(B^2 - 4AB - 4A^2 \ge 0)[/tex]") , considerando ![[tex]B = B(A)[/tex]](images/latex/1ce486d4a793121ea30e9a4a912aae1037c9d3e5_0.png "[tex]B = B(A)[/tex]") ,
o sea haciendo el 'despeje'
![[tex]\begin{array}{l} B = - 2A(\sqrt 2 - 1) \\ B = 2A(\sqrt 2 + 1) \\ \end{array}[/tex]](images/latex/fa8b50b78fb46d0315a8a23c17c986c26298e7b6_0.png "[tex]\begin{array}{l} B = - 2A(\sqrt 2 - 1) \\ B = 2A(\sqrt 2 + 1) \\ \end{array}[/tex]")
y teniendo en cuenta cómo se traduce la desigualdad del suceso original. A la vuelta de la facu veo si de esa manera se llega a algo. Saludos!
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Bueno, posteo una resolución de acuerdo a algunas ideas que dijo hoy un chico y mi trabajo en el tren...
La idea es que sale por sucesos equivalentes.
a) para que tenga raíces reales debe tener discriminante positivo. O sea, ![[tex]B^2-4\cdot A\cdot(A+B)>0[/tex]](images/latex/3dcec9d723a902e581e4bfb853b109ea44afd25a_0.png "[tex]B^2-4\cdot A\cdot(A+B)>0[/tex]") .
Expandiendo y dividiendo la ecuación por ![[tex]A^2[/tex]](images/latex/d65b25b590dbbceae99d516e460fbd4b54c6ccc2_0.png "[tex]A^2[/tex]") se obtiene:
![[tex]\frac{A}{B}x^2-4\frac{B}{A}-4=0[/tex]](images/latex/9047c52538170a10b906dec325d356a91a14ba96_0.png "[tex]\frac{A}{B}x^2-4\frac{B}{A}-4=0[/tex]") . Se puede resolver para la variable ![[tex]\frac{B}{A}[/tex]](images/latex/c8f971afccf89b3a22bd24fdc675568bddf248a7_0.png "[tex]\frac{B}{A}[/tex]") y resulta que ![[tex]\frac{A}{B}x^2-4\frac{B}{A}-4 = \left[\frac{B}{A} - (2+\sqrt{8})\right]\cdot \left[\frac{B}{A} - (2+\sqrt{8})\right][/tex]](images/latex/f73036e44997dd07a72d31d942696dbe04216ce4_0.png "[tex]\frac{A}{B}x^2-4\frac{B}{A}-4 = \left[\frac{B}{A} - (2+\sqrt{8})\right]\cdot \left[\frac{B}{A} - (2+\sqrt{8})\right][/tex]") . Para que eso sea mayor que cero, deben ser ambos miembros positivos o ambos negativos. Se puede también graficar en función de esa variable, si es necesario, para obtener que debe ser ![[tex]\left(\frac{B}{A}\geq 2+\sqrt{8}\right) \cup \left(\frac{B}{A}\leq 2-\sqrt{8}\right)[/tex]](images/latex/15db05c105e3a91409548b527e37ae2df2fd5faf_0.png "[tex]\left(\frac{B}{A}\geq 2+\sqrt{8}\right) \cup \left(\frac{B}{A}\leq 2-\sqrt{8}\right)[/tex]") .
La región se puede graficar ![[tex]B \geq f(A) = (2+\sqrt{8})A[/tex]](images/latex/0f2ad019aa63d87373c68cabb0370be9df8816a2_0.png "[tex]B \geq f(A) = (2+\sqrt{8})A[/tex]") y corresponde a la recta y a la parte superior (no marcada en el gráfico). La recta inferior se descarta porque no pertenece al \times(0;1)[/tex]](images/latex/37ae7ac74c353789306ea9d484f6718550cbf9cb_0.png "[tex](0;1)\times(0;1)[/tex]") .
Como son distribuciones uniformes, la probabilidad es el cociente de áreas y resulta ![[tex]P=\frac{1}{2(2+\sqrt{8})}\approx 0.1035[/tex]](images/latex/59e6fa3c00e62cbbf8b655cc3b6ac3c1e97c0a6d_0.png "[tex]P=\frac{1}{2(2+\sqrt{8})}\approx 0.1035[/tex]") .
Simulado en GNU Octave:
| Código:
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N=10000;
A=rand(N,1);
B=rand(N,1);
delta = B.^2-4*A.*(A+B);
contador=0;
for i=1:N
if delta(i,1)>0
contador=contador+1;
end
end
contador/N
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me dio ![[tex]0.10370[/tex]](images/latex/b086c24ee9d0de6a0e661e2aa78c0570e7377e0c_0.png "[tex]0.10370[/tex]") .
b) El caso b es ![[tex]Ax^2+2Bx+C=0[/tex]](images/latex/baa68f85712cf19ab1eb31f12c79725f289c25bb_0.png "[tex]Ax^2+2Bx+C=0[/tex]") * y el discriminante me dio ![[tex]4B^2-4AC<0[/tex]](images/latex/f6014f9c55cb84e8b6f6f7a4e413ca7bc6b188dd_0.png "[tex]4B^2-4AC<0[/tex]") para que no tenga raíz real. O sea, ![[tex]B^2<AC[/tex]](images/latex/2d7f326257b0bfeb74a426689120acbb0cb32488_0.png "[tex]B^2<AC[/tex]") . Para un B cte, son hipérbolas y hay que integrarlas entre 1 y la hipérbola. Es posible que haya una forma más fácil de integrarla, pero como tengo el Derive a mano mucho no me preocupé...
![[tex]P=\int_0^1\int_{B^2}^1\int_{\frac{B^2}{A}}^1 dC \, dA \, dB = \frac{4}{9} \approx 0.4444[/tex]](images/latex/d299219954238813dadc195ced2e890b8db3dbbf_0.png "[tex]P=\int_0^1\int_{B^2}^1\int_{\frac{B^2}{A}}^1 dC \, dA \, dB = \frac{4}{9} \approx 0.4444[/tex]") .
Simulado con GNU Octave:
| Código:
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N=10000;
A=rand(N,1);
B=rand(N,1);
C=rand(N,1);
delta = 4*B.^2-4*A.*C;
contador=0;
for i=1:N
if delta(i,1)<0
contador=contador+1;
end
end
contador/N
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me dio ![[tex]0.44450[/tex]](images/latex/fedc1c3ab1c752638c1adedb6545894b16117745_0.png "[tex]0.44450[/tex]") .
Creo que laburé mucho así que el tercero queda como tarea... 
No lo probé pero estoy seguro que el mismo código corre en Matlab sin tocar nada.
EDIT: *Estaba haciendo el b del ejercicio 2.18 y no el que figuraba en el primer post. Hay un 2 de diferencia en el coeficiente del B.
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Última edición por 4WD el Sab Abr 10, 2010 1:03 pm, editado 1 vez
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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buenísimo que lo hayas resuelto. De todas maneras, para no dejar colgado el comentario que hice a la tarde acerca del punto (a), si uno tiene en cuenta que sólo la rama positiva de ![[tex]B=B(A)[/tex]](images/latex/9d75fce627d79c322c047ec9fea07964b6db0dbc_0.png "[tex]B=B(A)[/tex]") tiene sentido en el problema,
![[tex]P(B^2 - 4A(A + B) \ge 0) \equiv P(B \ge 2a(\sqrt 2 + 1))[/tex]](images/latex/d6992ec2aec80b2e22eebe531ba576bf91d3e095_0.png "[tex]P(B^2 - 4A(A + B) \ge 0) \equiv P(B \ge 2a(\sqrt 2 + 1))[/tex]") , ![[tex]A,B \in [0,1] \times [0,1][/tex]](images/latex/b24018c654a596eb148bf2d8a44251476bf75628_0.png "[tex]A,B \in [0,1] \times [0,1][/tex]")
El cálculo de el miembro derecho es inmediato, el gráfico es el mismo que pusiste; el cociente entre el área de la región en donde se cumple la condición del problema y el área total (unitaria) es la medida de la probabilidad que se busca,
![[tex]P= \int\limits_0^{\frac{1}{{2(\sqrt 2 + 1)}}} {2a(\sqrt 2 + 1)da} = 0.1035...[/tex]](images/latex/f27f0eaf8a4a1a2e6ad6eb5a324c0f692cbd4be5_0.png "[tex]P= \int\limits_0^{\frac{1}{{2(\sqrt 2 + 1)}}} {2a(\sqrt 2 + 1)da} = 0.1035...[/tex]")
En definitiva estamos integrando (en el área que corresponde) la función de densidad de probabilidades conjuntas de las v.a. ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") y ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") , que es igual al producto de las respectivas funciones de densidad de probabilidad de y de (porque son v.a. independientes.. ¿anteriormente en qué momento usamos esa hipótesis?¿era necesaria?).
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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Fhran
Administrador
Edad: 39
Registrado: 25 Ago 2005
Mensajes: 3123
Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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Comentario al paso:
Lo siguiente:
| Código:
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N=10000;
A=rand(N,1);
B=rand(N,1);
delta = B.^2-4*A.*(A+B);
contador=0;
for i=1:N
if delta(i,1)>0
contador=contador+1;
end
end
contador/N
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se puede hacer más eficiente y consiso así:
| Código:
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N = 10000;
A = rand(N, 1);
B = rand(N, 1);
delta = B.^2 - 4*A.*(A+B);
mean(delta > 0) # <--- esto reemplaza a todo el for y a la línea final.
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El horóscopo del ingeniero es un poco más amplio. Se compone de Amor, Dinero, Salud, Simetría y Linealidad Causa-Efecto.
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Gracias Fhran, estuve 5 minutos googleando cómo poner la condición matricialmente pero no lo encontré y la cabecée a la Pascal...
Amintoros, me pongo contento que llegamos a lo mismo por caminos (ligeramente) distintos 
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grynberg
Nivel 6
Registrado: 04 Sep 2009
Mensajes: 237
Ubicación: Corrientes y Esmeralda. En el sur del planeta Tierra.
Carrera: No especificada
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| 4WD escribió:
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b) El caso b es y el discriminante me dio para que no tenga raíz real.
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No será ![[tex]B^2-4AC<0[/tex]](images/latex/df343b519422d2899a2638542c392e46c5b5d73a_0.png "[tex]B^2-4AC<0[/tex]") ?
Saludos
S.
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Cuando se golpean ambas manos se produce un sonido: escucha el sonido de una mano.
Si oyes el sonido de una mano, me lo puedes hacer oír también?
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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| grynberg escribió:
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| 4WD escribió:
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b) El caso b es y el discriminante me dio para que no tenga raíz real.
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No será ?
Saludos
S.
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Perdón, es un typo. Ahí edito. Es el problema de hacer copy-paste cuando uno está limado . Estaba haciendo el ejercicio b) del 2.18 que es ...
Queda y la región de integración es entre una hipérbola y los límites 1 y 1 para A y C, que varía según B.
![[tex]P=\int_0^1 \int_{B^2}^1 \int_{\frac{B^2}{A}}^1 dC dA dB = \frac{4}{9}[/tex]](images/latex/f3606486497ef8ec6ff3c97162b4e3aead332fab_0.png "[tex]P=\int_0^1 \int_{B^2}^1 \int_{\frac{B^2}{A}}^1 dC dA dB = \frac{4}{9}[/tex]")
Gracias.
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