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s4nti4go
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 04 Oct 2007
Mensajes: 94
Carrera: Química
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Aca tengo un ejercicio que lo pense y lo pense, y la verdad no se como encararlo, y me esta volviendo loco. En fin, espero que al que tenga ganas de hacerlo, le salga.
(a) Sea <tex>f: R^3 \to R</tex> dada por <tex>f(x,y,z) = g(r)</tex> donde <tex>r = (x,y,z)</tex> , <tex>r = \mid r \mid</tex> y <tex>g:R \to R</tex> diferenciable. Calcule el flujo de <tex>\bigtriangledown f</tex> a traves de la porcion de cono <tex>z = (x^2 + y^2)^{\frac {1}{2}}</tex> encerrada en el interior del cilindro de ecuación <tex>(x+3)^2+(y-2)^2=1/4</tex>.
(b) Hallar las curvas planas tales que la recta normal en todo punto pasa por el origen
Se zarparon en creatividad con este ejercicio.
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s4nti4go
Nivel 4
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Latex de mier..........
Aca lo pongo de vuelta al problema a ver si queda bien:
(a) Sea ![[tex]f: R^3 \to R[/tex]](images/latex/aadecdd5948afa984bc025875cb5de6c78839174_0.png "[tex]f: R^3 \to R[/tex]") dada por ![[tex]f(x,y,z) = g(r)[/tex]](images/latex/b671354cc987c2b00a3e54f798fae976d03b61c8_0.png "[tex]f(x,y,z) = g(r)[/tex]") donde ![[tex]r = (x,y,z)[/tex]](images/latex/82cd5a7e8b56a40e56c9e6a8a3db414180c9eca1_0.png "[tex]r = (x,y,z)[/tex]") , ![[tex]r = \mid r \mid[/tex]](images/latex/f731e8f8cf05855760f2122f367f2efcb21afbf1_0.png "[tex]r = \mid r \mid[/tex]") y ![[tex]g:R \to R[/tex]](images/latex/d056526e95943c86e6c377caf33ee8746ff47cc5_0.png "[tex]g:R \to R[/tex]") diferenciable. Calcule el flujo de ![[tex]\bigtriangledown f[/tex]](images/latex/51b08936aece0493def2e6484704b28f52629c95_0.png "[tex]\bigtriangledown f[/tex]") a traves de la porcion de cono ![[tex]z = (x^2 + y^2)^{\frac {1}{2}}[/tex]](images/latex/8e2a44297dd2ff1f3d06c3e28b66aac4d2dd5a8b_0.png "[tex]z = (x^2 + y^2)^{\frac {1}{2}}[/tex]") encerrada en el interior del cilindro de ecuación ^2+(y-2)^2=1/4[/tex]](images/latex/ab3e85b6e3cdb9f890de239395201be0dde73ddd_0.png "[tex](x+3)^2+(y-2)^2=1/4[/tex]") .
(b) Hallar las curvas planas tales que la recta normal en todo punto pasa por el origen
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
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eugenio
Nivel 7
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Da cero el flujo. No tengo mucho tiempo para explicarlo con mucho detalle pero lo explico más o menos. El gradiente de una función ![[tex]g(|r|)[/tex]](images/latex/cc7ec69502218cec8b64a5d8b702d7a3c416b419_0.png "[tex]g(|r|)[/tex]") es ![[tex]\frac{dg}{dr}*\frac{r}{|r|}[/tex]](images/latex/dbbdee564513c03d369c8bdfb34b9bef3da0a78e_0.png "[tex]\frac{dg}{dr}*\frac{r}{|r|}[/tex]") siendo o sea, el campo tiene dirección radial.
Ahora lo complicado, o no tanto, es calcular la normal del cono. Si lo parametrizo como [/tex]](images/latex/5b7ce1e101741de3b8fb28efa3ff37b65404e9ea_0.png "[tex](u;v;\sqrt{u^2+v^2})[/tex]") la normal me queda [/tex]](images/latex/a5efe5ed06e45c576890b79119ad4e217add68b5_0.png "[tex](\frac{-u}{\sqrt{u^2+v^2}};\frac{-v}{\sqrt{u^2+v^2}};1)[/tex]") y el producto escalar ![[tex]r.n=(u;v;\sqrt{u^2+v^2}).(\frac{-u}{\sqrt{u^2+v^2}};\frac{-v}{\sqrt{u^2+v^2}};1)[/tex]](images/latex/dab2fd0a6769f44a8c8a66b566fc39326d62d990_0.png "[tex]r.n=(u;v;\sqrt{u^2+v^2}).(\frac{-u}{\sqrt{u^2+v^2}};\frac{-v}{\sqrt{u^2+v^2}};1)[/tex]") da evidentemente cero.
Igual, lo más importante acá es darse cuenta que tiene que dar cero antes de calcularlo. Y para eso uno tiene que, simplemente, saber qué significa el flujo de un campo vectorial sobre una superficie.
El campo, al tener siempre dirección radial, será siempre paralelo a la superficie de un cono y por esa razón, al no haber componente del campo paralela a la normal de la superficie, es que puede asegurarse que el flujo será cero
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