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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Mi granito de arena: Para el polinomio mónico P(x) = x se cumple la igualdad.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Se me hace que la cosa anda por el teorema del valor medio o algo así.
Teorema del valor medio: f continua y derivable entonces existe c tal que
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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es verdad pero, para cualquier polinomio ax^i (i>o)? por ahora estoy garabateando...podríamos definir la long de I, long(I)=(b-a) siendo b=sup(I) y a=inf(I). Sea W pert a imagen de p(x) tal que p(I)=W
Al ser p un polinomio, si a=inf(I), p(a) pert a W, y en particular p(a)=inf(W) (o p(a)=sup(W), da igual); pero nosotros conocemos el ínfimo y el supremo de W; son -2 y 2. Creo que esto es así porque, al ser un polinomio de grado positivo, si le tiramos valores de x cada vez mas grandes, vamos a obtener valores cada vez mas grandes tambien, en valor absoluto, por eso estoy seguro de que si evaluamos p en un extremo de I, vamos a obtener un extremo de W. Hasta acá llegué
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Fíjense que que el polinomio sea mónico garantiza esto (que p(a)=sup(W) o p(a)=inf(W)) dado que no tenemos otros términos que nos puedan sumar o restar cosas a la cuenta. No podemos saber si p(a)=inf(W) o sup(W), ya que desconocemos el signo de a(el coef del polinomio, no el infimo de I)
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Cita:
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Fíjense que que el polinomio sea mónico garantiza esto (que p(a)=sup(W) o p(a)=inf(W)) dado que no tenemos otros términos que nos puedan sumar o restar cosas a la cuenta. No podemos saber si p(a)=inf(W) o sup(W), ya que desconocemos el signo de a(el coef del polinomio, no el infimo de I)
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Creo que no. Por lo que pude averiguar el polinomio mónico es el que tiene an = 1 y el resto de los coeficientes puede ser cualquier cosa. Es decir, sería un polinomio de la forma
Siendo Q un polinomio cualquiera de grado n-1
Esh imposhiiible!!
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Mira vos...estaba convencido de que era eso...pero tenés razón. Me confundí con un monomio. Cómo demonios será esto entonces...
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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En estos problemas por lo general se empieza encarando algo más simple para después ir generalizando.
Mi estrategia será probar el contrarecíproco. Es decir, si el intervalo mide más de 4 entonces el módulo de P es mayor que 2 para algún x en el intervalo.
Voy a empezar probando que se cumple para un polinomio mónico de grado 2. Supongamos que P es de grado 2 y tiene raíces y reales.
Considero el intervalo . Este intervalo es crítico. La prueba sería análoga si usaramos , es decir, la otra raíz. Entonces P puede escribirse
.
De modo que,
.
.
Y si entonces algunos de esos dos números es mayor que 2.
Bueno. Me voy a dormir. No completé la prueba pero se podría ir hilando por acá.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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No me gusta la prueba que posteé. Me parece que es poco general. Estoy trabajando con intervalos más generales y es un bardo ¡y eso que sólo es de grado 2!
Encontré que la igualdad se cumple también para:
Ya que, en este caso
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Recién volví a mi casa, está bueno, ahora en un ratito me voy a poner de vuelta con esto, saludos
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Fido Nadal
Nivel 3
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 26
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chicos, al final se presentó alguno a la Paenza? cómo les fue?
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Yo no, me dijeron que había uno de combinatoria, bah, están todos en la página seguro
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Faraday
Nivel 7
Registrado: 12 May 2009
Mensajes: 353
Carrera: No especificada
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gedefet escribió:
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Yo no, me dijeron que había uno de combinatoria, bah, están todos en la página seguro
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Gedefet! hace una semana te mande un msj privado haciéndote una consulta y vi que estuviste entrando al foro pero no lo leíste, te aviso por acá porque no se como avisarte para que lo mires, si alguien lo tiene en el msn y le puede avisar se lo agradecería, un abrazo.
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