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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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| Mi granito de arena: Para el polinomio mónico P(x) = x se cumple la igualdad.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Se me hace que la cosa anda por el teorema del valor medio o algo así.
Teorema del valor medio: f continua y derivable entonces existe c tal que
![[tex]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) ; c\epsilon(a;b)[/tex]](images/latex/d4f6822d9e5fb9e1bce205fec62370b6ccd7a393_0.png "[tex]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) ; c\epsilon(a;b)[/tex]")
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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es verdad pero, para cualquier polinomio ax^i (i>o)? por ahora estoy garabateando...podríamos definir la long de I, long(I)=(b-a) siendo b=sup(I) y a=inf(I). Sea W pert a imagen de p(x) tal que p(I)=W
Al ser p un polinomio, si a=inf(I), p(a) pert a W, y en particular p(a)=inf(W) (o p(a)=sup(W), da igual); pero nosotros conocemos el ínfimo y el supremo de W; son -2 y 2. Creo que esto es así porque, al ser un polinomio de grado positivo, si le tiramos valores de x cada vez mas grandes, vamos a obtener valores cada vez mas grandes tambien, en valor absoluto, por eso estoy seguro de que si evaluamos p en un extremo de I, vamos a obtener un extremo de W. Hasta acá llegué
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gedefet
Nivel 9
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| Fíjense que que el polinomio sea mónico garantiza esto (que p(a)=sup(W) o p(a)=inf(W)) dado que no tenemos otros términos que nos puedan sumar o restar cosas a la cuenta. No podemos saber si p(a)=inf(W) o sup(W), ya que desconocemos el signo de a(el coef del polinomio, no el infimo de I)
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eugenio
Nivel 7
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| Cita:
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Fíjense que que el polinomio sea mónico garantiza esto (que p(a)=sup(W) o p(a)=inf(W)) dado que no tenemos otros términos que nos puedan sumar o restar cosas a la cuenta. No podemos saber si p(a)=inf(W) o sup(W), ya que desconocemos el signo de a(el coef del polinomio, no el infimo de I)
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Creo que no. Por lo que pude averiguar el polinomio mónico es el que tiene an = 1 y el resto de los coeficientes puede ser cualquier cosa. Es decir, sería un polinomio de la forma
![[tex]P(x)=x^n+Q(x)[/tex]](images/latex/9c609780e9faf74200cf2a5a6ef0cd6f7f424bf5_0.png "[tex]P(x)=x^n+Q(x)[/tex]")
Siendo Q un polinomio cualquiera de grado n-1
Esh imposhiiible!!
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Mira vos...estaba convencido de que era eso...pero tenés razón. Me confundí con un monomio. Cómo demonios será esto entonces...
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eugenio
Nivel 7
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Mensajes: 305
Carrera: Química
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En estos problemas por lo general se empieza encarando algo más simple para después ir generalizando.
Mi estrategia será probar el contrarecíproco. Es decir, si el intervalo mide más de 4 entonces el módulo de P es mayor que 2 para algún x en el intervalo.
Voy a empezar probando que se cumple para un polinomio mónico de grado 2. Supongamos que P es de grado 2 y tiene raíces ![[tex]\alpha_1[/tex]](images/latex/772c3fe1533be24b3125a526624885d95b670c8a_0.png "[tex]\alpha_1[/tex]") y ![[tex]\alpha_2[/tex]](images/latex/a5e451051c51be0ff0c781f6f5a0131d27749f33_0.png "[tex]\alpha_2[/tex]") reales.
Considero el intervalo ![[tex]I=[\alpha_1-k;\alpha_1+k];k>0[/tex]](images/latex/e45a470207d394f559ff87b047ec99c97bf92125_0.png "[tex]I=[\alpha_1-k;\alpha_1+k];k>0[/tex]") . Este intervalo es crítico. La prueba sería análoga si usaramos ![[tex]I=[\alpha_2-k;\alpha_2+k][/tex]](images/latex/a33dbcb07122311e20f3a390beba06225b5c29b8_0.png "[tex]I=[\alpha_2-k;\alpha_2+k][/tex]") , es decir, la otra raíz. Entonces P puede escribirse
![[tex]P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/tex]](images/latex/d10dde7ff73797647a19cabafb5abccad4324d84_0.png "[tex]P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/tex]") .
De modo que,
![[tex]P(\alpha_1-k)=(\alpha_1-k-\alpha_1)(\alpha_1-k-\alpha_2)=-k(\alpha_1-\alpha_2)+k^2[/tex]](images/latex/7620dc30574a72d5263e075505a2411d7ed9ffd5_0.png "[tex]P(\alpha_1-k)=(\alpha_1-k-\alpha_1)(\alpha_1-k-\alpha_2)=-k(\alpha_1-\alpha_2)+k^2[/tex]") .
![[tex]P(\alpha_1+k)=(\alpha_1+k-\alpha_1)(\alpha_1+k-\alpha_2)=k(\alpha_1-\alpha_2)+k^2[/tex]](images/latex/d8093e64db874916a0d2899716f91955f42752dd_0.png "[tex]P(\alpha_1+k)=(\alpha_1+k-\alpha_1)(\alpha_1+k-\alpha_2)=k(\alpha_1-\alpha_2)+k^2[/tex]") .
Y si ![[tex]k>2[/tex]](images/latex/720cde7b5b15fc27675c0f16f897fadc27788e03_0.png "[tex]k>2[/tex]") entonces algunos de esos dos números es mayor que 2.
Bueno. Me voy a dormir. No completé la prueba pero se podría ir hilando por acá.
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eugenio
Nivel 7
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Carrera: Química
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No me gusta la prueba que posteé. Me parece que es poco general. Estoy trabajando con intervalos más generales y es un bardo ¡y eso que sólo es de grado 2!
Encontré que la igualdad se cumple también para:
![[tex]P(x)=x^2-2;x\epsilon[-2;2][/tex]](images/latex/4d672f09a442b70aee45ca3f6f49911b3ac6a102_0.png "[tex]P(x)=x^2-2;x\epsilon[-2;2][/tex]")
Ya que, en este caso ![[tex]long(I)=4;Im[P(x)]=[-2;2][/tex]](images/latex/547ec797dc8242397c336b74126c81be969cf06b_0.png "[tex]long(I)=4;Im[P(x)]=[-2;2][/tex]")
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Recién volví a mi casa, está bueno, ahora en un ratito me voy a poner de vuelta con esto, saludos
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Fido Nadal
Nivel 3
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 26
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| chicos, al final se presentó alguno a la Paenza? cómo les fue?
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
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Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Yo no, me dijeron que había uno de combinatoria, bah, están todos en la página seguro
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Faraday
Nivel 7
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Mensajes: 353
Carrera: No especificada
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| gedefet escribió:
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Yo no, me dijeron que había uno de combinatoria, bah, están todos en la página seguro
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Gedefet! hace una semana te mande un msj privado haciéndote una consulta y vi que estuviste entrando al foro pero no lo leíste, te aviso por acá porque no se como avisarte para que lo mires, si alguien lo tiene en el msn y le puede avisar se lo agradecería, un abrazo.
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