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Juanse!
Nivel 5
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 180
Carrera: Mecánica
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fijensen q esta en la pagina d la catedra en el anteultimo coloquio tomado
Si A ⊂ R2 es una región de área 2, calcular el área de
B = {(x, y) ∈ R2 : (3x − y, x + y) ∈ A} .
que onda?
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antrax
Nivel 8
Edad: 115
Registrado: 01 Sep 2007
Mensajes: 613
Ubicación: Olivos y Wanda Misiones 2 meses al año
Carrera: Informática y Sistemas
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| si ese lo sufri esta resuelto en un post de la feche q se tomo, buscalo
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Es parecido al ejercicio 8 de la guía de integrales de superficie. Lo importante es tener en cuenta la definición de producto escalar como el producto de las normas de los vectores y el coseno del ángulo que conforman (para mas detalles consultá las guias de Álgebra del CBC). Esa es la unica trampa que tiene este ejercicio, además de tener claro cómo calcular área con integrales de superficie.
saludos.
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ñsdlgkfjdñflgjañdlfga
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thew0rldismin3
Nivel 7
Registrado: 18 Dic 2008
Mensajes: 437
Carrera: No especificada
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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No, en este ejercicio no se usa lo de producto escalar. Ahí te paso la resolución que hice yo fijate si te parece coherente.
![[tex]\lbrace(x, y) \in \Re^2 : (3x-y, x+y) \in A \rbrace[/tex]](images/latex/344128f1e261ca3f74ba5dd9de63e12f49f010e4_0.png "[tex]\lbrace(x, y) \in \Re^2 : (3x-y, x+y) \in A \rbrace[/tex]")
Puedo definir ![[tex]\overline{F}(x,y)=(3x-y, x+y)[/tex]](images/latex/31aa7c1ec41af0ce434eece909c6b99893a09a18_0.png "[tex]\overline{F}(x,y)=(3x-y, x+y)[/tex]") , transformación lineal que convierte los puntos [/tex]](images/latex/054044cb21957bbf7cfeba616ee7eb642c88616b_0.png "[tex](x,y)[/tex]") del conjunto B en puntos de la forma [/tex]](images/latex/c8cf2b98afdb02d6f63ed2dc58c11fdf4b8f078c_0.png "[tex](3x-y, x+y)[/tex]") que conforman al conjunto A. Los puntos de B son todos los puntos de ![[tex]\Re^2[/tex]](images/latex/054c297553f7a0ac43d66b2d8c9702efa1fcc812_0.png "[tex]\Re^2[/tex]") tales que al aplicarles esa transformación van a caer al conjunto A, del que yo conozco únicamente el valor del área.
Se define como ![[tex]\mbox{área(A)} = \int \!\!\!\! \int_{\mathbf{A}}\,dx\,dy[/tex]](images/latex/83e1808f93e3c7e93e9a5fdb9f9ea32e822bffde_0.png "[tex]\mbox{área(A)} = \int \!\!\!\! \int_{\mathbf{A}}\,dx\,dy[/tex]") (integral doble de la constante ![[tex]k=1[/tex]](images/latex/2dd5725c8e39a433fa15cc27ab806e80cd123807_0.png "[tex]k=1[/tex]") sobre el conjunto A)
Aplicando cambio de coordenadas mediante la transformación ![[tex]\overline{F}[/tex]](images/latex/ed0ae0bcea9bf5b53bf7f38e3bed85b242119604_0.png "[tex]\overline{F}[/tex]") queda:
![[tex]\int \!\!\!\! \int_{\mathbf{A}}\,dx\,dy = \int \!\!\!\! \int_{\mathbf{B}}\left |\frac{\partial \overline{F}}{\partial x,y}\right |\,dx\,dy = 2[/tex]](images/latex/1061541ec67e3504f8499281269494a7314c3f4b_0.png "[tex]\int \!\!\!\! \int_{\mathbf{A}}\,dx\,dy = \int \!\!\!\! \int_{\mathbf{B}}\left |\frac{\partial \overline{F}}{\partial x,y}\right |\,dx\,dy = 2[/tex]") ; a su vez ![[tex]\left |\frac{\partial \overline{F}}{\partial x,y}\right| = \begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{1}&{1}\end{bmatrix} = 4[/tex]](images/latex/0ac061068b793a6aaa6a4483b0c508cf76d88a1f_0.png "[tex]\left |\frac{\partial \overline{F}}{\partial x,y}\right| = \begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{1}&{1}\end{bmatrix} = 4[/tex]")
![[tex]\Rightarrow \mbox{área(B)} = \int \!\!\!\! \int_{\mathbf{B}}\,dx\,dy = \frac12 [/tex]](images/latex/fd63d8291249ceb664c648476c9226aae15f828c_0.png "[tex]\Rightarrow \mbox{área(B)} = \int \!\!\!\! \int_{\mathbf{B}}\,dx\,dy = \frac12 [/tex]")
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Hay un error, la integral doble de B es igual a la de A con el jacobiano incluido (como lo puse yo debería haber usado la matriz TL inversa). Entonces el resultado del área es 8.
El determinante de la TL inversa es 1/4, se puede hacer de las dos maneras.
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Juanse!
Nivel 5
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 180
Carrera: Mecánica
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| estas seguro q hay q poner el de la inversa.. xq haces eso..??para mi estaba bien ahi q de 1/2
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BL
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 24 Oct 2007
Mensajes: 126
Carrera: No especificada
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| Sí, además no creo que tenga sentido que una porción de un área de 2 tenga área mayor a 2. O me estoy equivocando?
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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La transformación va desde las coordenadas de B a las coordenadas de A. Podés hacerlo del camino que quieras: O usar el jacobiano de la transformación y multiplicarlo por la integral de A, o usar el jacobiano inverso de la transformacion y multiplicarlo a la integral de B, es exactamente lo mismo  Lo que hice yo ahi es multiplicar a la integral de B el jacobiano de la transformacion directa, lo cual esta mal, porque yo ahi estoy planteando que la transformación va de A a B, y es al revés.
Ojo con el enunciado porque no te dice que la región B pertenece a la región A, sino que la transformación de la región B pertenece a la región A, y a vos te piden el valor del área de la región B original antes de ser transformada.
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friedrich
Nivel 9
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1628
Carrera: No especificada
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| yo estoy de acuerdo con paankreas
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