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Mensaje |
romina1985
Nivel 3
Edad: 38
Registrado: 12 Jun 2009
Mensajes: 20
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Espero que alguien me pueda ayudar 
1. Hallar todos los xЄR para los cuales la serie Σ (3x)^n / (2^n + 5^n) es convergente.
2. Hallar f: (π/2,3π/2) -> (0, +oo) derivable tal que cos^3(x).f'(x)+sen(x).f(x)=0
y f(π)=e^-2
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elgatitodeverdaguer
Nivel 6
Edad: 38
Registrado: 02 May 2007
Mensajes: 247
Ubicación: barrio norte
Carrera: Electrónica
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hola como estas, mira lo lei muy por arriba pero creo que una forma de atacar es: (perdon pero nose usar latex)
2: es una ecuacion diferencial ordinaria de variable separables, si queres podes ver que f`(x)= dy/dx y que f(x)=y entonces depejando te queda que tenes integrar sen(x)/cos^3(x) que con el cambio de variables u=cos(x) sale.
1: no lo pense muybien pero creo que por el criterio de dalambert, a mi me dio algo medio lindo.
espero que sirva esta explicacion muy trucha jaja, saludos
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facu020
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 19 Feb 2008
Mensajes: 210
Carrera: Civil
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El segundo sale facil con Cauchy. En la raiz del denominador sacas factor comun 5^n y despues la potencia n se cancela. Te queda la otra raiz ensima de 1+ (2/5)^n que tiende a uno...
Espero que te sirva, cualquier cosa pregunta...
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elgatitodeverdaguer
Nivel 6
Edad: 38
Registrado: 02 May 2007
Mensajes: 247
Ubicación: barrio norte
Carrera: Electrónica
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| jajaj esa es otra pero mejor, abarzos
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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EL 2do:
![[tex]\cos³{(x)}f'(x)+\sen{(x)}f(x)=0[/tex]](images/latex/12dcb322a6b1883ae91809b1efd15b626c55da14_0.png "[tex]\cos³{(x)}f'(x)+\sen{(x)}f(x)=0[/tex]")
Despejamos un poco y acomodamos convenientemente:
![[tex]\cos³{(x)}f'(x)=-\sen{(x)}f(x)=0[/tex]](images/latex/5506a2ff674aeaa6c4004a2fc6952be200ca631b_0.png "[tex]\cos³{(x)}f'(x)=-\sen{(x)}f(x)=0[/tex]")
![[tex]\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, \, \, (I)[/tex]](images/latex/2f0e01e05780685061b9e3f5c1233e590731f970_0.png "[tex]\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, \, \, (I)[/tex]")
Ahora, digo:
![[tex]y=f(x)[/tex]](images/latex/4655281b4873a3b9ea1f6a22fa3256c31cddaa8c_0.png "[tex]y=f(x)[/tex]")
![[tex]\frac{dy}{dx}=f'(x)[/tex]](images/latex/4c572befbc6c4359a54e421cf7cc1b71c82345dd_0.png "[tex]\frac{dy}{dx}=f'(x)[/tex]")
Entonces, reemplazando en la ecuacion anterior [/tex]](images/latex/13265c8d900a70eb3723d8d58bcea182fcc1d5f4_0.png "[tex](I)[/tex]") :
![[tex]\frac{dy}{y}=\frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, dx[/tex]](images/latex/cef24d3d4bad16da39025ffaf840ccfd543921e2_0.png "[tex]\frac{dy}{y}=\frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, dx[/tex]")
Integrando en ambos miembros:
![[tex]\int \frac{dy}{y}=\int \frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, dx[/tex]](images/latex/cdf3d24b79fed7a2d87cd0aac6bb536869eaaf3a_0.png "[tex]\int \frac{dy}{y}=\int \frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, dx[/tex]")
![[tex]\ln{(y)}+C=\int \frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, dx \, \, \, (II)[/tex]](images/latex/550f3c830d9df61b54e6ad2311cf3cd4dc6d219b_0.png "[tex]\ln{(y)}+C=\int \frac{-\sen{(x)}}{\cos³{(x)}} \, dx \, \, \, (II)[/tex]")
Resuelvo esa integral, sustituyendo así:
![[tex]t=\cos{(x)}[/tex]](images/latex/a54b8a3ae10e2afd1549655b2a1025d22ceb20bb_0.png "[tex]t=\cos{(x)}[/tex]")
![[tex]dt=-\sen{(x)}[/tex]](images/latex/2806f7d9a0771e806d6404c4183338a1e59afe7e_0.png "[tex]dt=-\sen{(x)}[/tex]")
Entonces, reemplazando en [/tex]](images/latex/2cc80c1bf70c540ea65abfc8bc669c9cb93a17a8_0.png "[tex](II)[/tex]") :
![[tex]\int t^{-3} \, dt[/tex]](images/latex/21388d892c9b82d303014328bb3588423ee683c4_0.png "[tex]\int t^{-3} \, dt[/tex]")
![[tex]\frac {t^{-2}}{-2} + Q[/tex]](images/latex/b454d40314b8e6e906a855afadf5d276219e951f_0.png "[tex]\frac {t^{-2}}{-2} + Q[/tex]")
![[tex]Junto \, las \, constantes \, en \, una \, sola, \, la \, llamo \, "K"[/tex]](images/latex/126a5b4f91ca652eb49fd0f4151466bcfd8d2034_0.png "[tex]Junto \, las \, constantes \, en \, una \, sola, \, la \, llamo \, \"K\"[/tex]")
![[tex]\ln{(y)}=\frac {\cos^{-2}{(x)}}{-2} + K[/tex]](images/latex/aee96d8ae8e7b37b26a31a680144bb523ccb0af6_0.png "[tex]\ln{(y)}=\frac {\cos^{-2}{(x)}}{-2} + K[/tex]")
![[tex]y=e^\frac {\cos^{-2}{(x)}}{-2} e^K[/tex]](images/latex/cebc6abcbbe02d3541471d84ac0bee384a5a47fd_0.png "[tex]y=e^\frac {\cos^{-2}{(x)}}{-2} e^K[/tex]")
Y ![[tex]e^K[/tex]](images/latex/1b7c3f587d92c73ba645376625bbd66c6b83dc11_0.png "[tex]e^K[/tex]") es otra constante, que voy a llamar ![[tex]"Z"[/tex]](images/latex/9dcbeba1ccb25f581a73befbeb197b7379a5fa17_0.png "[tex]\"Z\"[/tex]") , y también sabemos por la condición inicial que ![[tex]f(\pi)=e^{-2}[/tex]](images/latex/c9a52d60053fda9d082e53247f73eba0f51cfae9_0.png "[tex]f(\pi)=e^{-2}[/tex]") , entonces (acordate que ![[tex]y=f(X)[/tex]](images/latex/e3ef9379afb10f0def92ed25f89f6cdf769768ff_0.png "[tex]y=f(X)[/tex]") :
![[tex]e^{-2}=\sqrt{e} \, Z[/tex]](images/latex/aed2332e17181788c68dbe7bee613cbf8acce29d_0.png "[tex]e^{-2}=\sqrt{e} \, Z[/tex]")
Porque:
![[tex]\cos^{-2}{(\pi)}=-1[/tex]](images/latex/12670e7d1eb95c0f6545bb16ff96b3cdb1d153bf_0.png "[tex]\cos^{-2}{(\pi)}=-1[/tex]")
![[tex]\frac{-1}{-2}=\frac12[/tex]](images/latex/cdab1c9b0643d7ba0c727b8f2bed828643731ec5_0.png "[tex]\frac{-1}{-2}=\frac12[/tex]")
Entonces, despejando la constante:
![[tex]Z=e^\frac{-5}{2}[/tex]](images/latex/e0c3d2db61b6486fd3fd03bb3048776381672ac7_0.png "[tex]Z=e^\frac{-5}{2}[/tex]")
Entonces, la función quedaría:
![[tex]f(x)=e^\frac {\cos^{-2}{(x)}}{-2} \, e^\frac{-5}{2}[/tex]](images/latex/679f51f06d0225724d189be163a543877afbf39a_0.png "[tex]f(x)=e^\frac {\cos^{-2}{(x)}}{-2} \, e^\frac{-5}{2}[/tex]")
Suerte!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Se me chispoteó un = 0 en el 1er despeje jeje
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Perdón hice mal una cuenta (me corrijo):
![[tex]\cos^{-2}{(\pi)}=1[/tex]](images/latex/0f3d123b31bac3a1263319e855eaa2d5b9229aeb_0.png "[tex]\cos^{-2}{(\pi)}=1[/tex]")
![[tex]\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}[/tex]](images/latex/a883bd8d673dfe5eff173cd96b82f9d7856fdbda_0.png "[tex]\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}[/tex]")
Entonces la constante queda:
![[tex]Z=e^\frac{-3}{2}[/tex]](images/latex/6882c261d079277ef8ca22b8d0a7e9dbaa17ab0c_0.png "[tex]Z=e^\frac{-3}{2}[/tex]")
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