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riffraff
Nivel 5
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Mensajes: 149
Carrera: Informática
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Bueno, tengo el segundo parcial mañana y el único tema que no me termina de salir es el de calculos diferenciales y eso. Estos dos problemas me tienen trabado y no me terminan de cerrar.
El primero:
Encuentre una función definida entre (-2,2) y una constante ![[tex]K[/tex]](images/latex/3c31f3404a91311bb4be7cec9d49bb510d592d34_0.png "[tex]K[/tex]") tal que:
![[tex]\int_0^{3x} f(t) dt = k - \sqrt{4-9x^2}[/tex]](images/latex/b8e1c61d1acac2ed4673367dd9eabb73050a2832_0.png "[tex]\int_0^{3x} f(t) dt = k - \sqrt{4-9x^2}[/tex]")
bueno, lo primero que hice fue derivar de los dos lados, por el teorema fundamental del cálculo, me queda
![[tex]3 f(3x) = -\frac{1}{2\sqrt{4-9x^2}} (-18x)[/tex]](images/latex/de3d9ed98b7fadef57651497315c32fe3202b704_0.png "[tex]3 f(3x) = -\frac{1}{2\sqrt{4-9x^2}} (-18x)[/tex]")
simplificando
![[tex]f(3x) = \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}3x[/tex]](images/latex/f6b22e8b9e95668f4a5af67b676dd6e836e38f14_0.png "[tex]f(3x) = \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}3x[/tex]")
y acá me trabé. Pensé en reemplazar todas las x del termino de la derecha por el 3x en el que está evaluado f, pero la función no pasa a estar definida en (-2,2) como me pide la consigna.
El segundo:
Sea ![[tex]C(t)[/tex]](images/latex/dcd562f157a4fbe67f2a306e40ce6cc3f3fa4122_0.png "[tex]C(t)[/tex]") una función que satisface ![[tex]C'(t) = -k (C(t)-40)[/tex]](images/latex/17fd4b26258df0ad594ccb4047554e64f5c23c6e_0.png "[tex]C'(t) = -k (C(t)-40)[/tex]") , con k pertenenciente al conjunto de los números reales. Hallar el valor de k sabiendo que ![[tex]C(0) = 48[/tex]](images/latex/7008d859380a05c3f491583a218183d3ea492a49_0.png "[tex]C(0) = 48[/tex]") y ![[tex]C(5)=42[/tex]](images/latex/a24d8abd32ef30cfad7332c35a2690878309ccca_0.png "[tex]C(5)=42[/tex]")
partiendo de la ecuación inicial, pasé el termino que está multiplicando a -k, dividiendo.
![[tex]\frac{C'(t)}{C(t)-40}=-k[/tex]](images/latex/6ba664643d9dbce66061581d68fc6e56a8cb38c7_0.png "[tex]\frac{C'(t)}{C(t)-40}=-k[/tex]")
integro ambos términos
![[tex]\int \frac{C'(t)}{C(t)-40} dt = -\int k dt[/tex]](images/latex/890ac898b3a6b2cdc284484126ab979a64d07914_0.png "[tex]\int \frac{C'(t)}{C(t)-40} dt = -\int k dt[/tex]")
sustituyo
![[tex]u = C(t) - 40[/tex]](images/latex/d627835c8a2ed569855c2b6bc3790232e11ee60b_0.png "[tex]u = C(t) - 40[/tex]")
![[tex]du = C'(t) dt[/tex]](images/latex/80f0e216b7a5ed8ee4849832584f1d5da33f2724_0.png "[tex]du = C'(t) dt[/tex]")
y llego a
![[tex]\int \frac{1}{u} du = -kt + const[/tex]](images/latex/8c143e86c11410334f9a71fa6112a79d23d23239_0.png "[tex]\int \frac{1}{u} du = -kt + const[/tex]")
reemplazo
![[tex]ln (C(t) - 40) = -kt + const[/tex]](images/latex/b247d29c631002c2f3c935039c2e991f4f234911_0.png "[tex]ln (C(t) - 40) = -kt + const[/tex]")
hago que todo esté elevado a la e, para sacarme el logaritmo ese feo, y paso el 40 sumando.
![[tex]C(t) = e^{-kt + const} + 40[/tex]](images/latex/e79933056f691b3b9cbb2de4856454efd279b4e7_0.png "[tex]C(t) = e^{-kt + const} + 40[/tex]")
y eso es asqueroso jauj... aunque reemplaze por las condiciones iniciales me quedan dos variables, también me dejo super trabado.
algún alma matemática que pueda ayudarme?
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sebasgm
Moderador
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A ver... En el primero, la verdad no estoy muy canchero con eso. Del segundo, supongamos que hasta donde llegaste está bien, que creo que sí. Voy a reescribir entonces la ecuación:
![[tex]C(t)=e^{-kt+cte}+40 \ \rightarrow \ C(t)=e^{-kt}e^{cte}+40 \ \rightarrow \ C(t)=Ae^{-kt}+40[/tex]](images/latex/092af058f2eece1ecd962dff8d93718c964a72f0_0.png "[tex]C(t)=e^{-kt+cte}+40 \ \rightarrow \ C(t)=e^{-kt}e^{cte}+40 \ \rightarrow \ C(t)=Ae^{-kt}+40[/tex]") .
¿Estas seguro que te dieron dos condiciones sobre y no una sobre ![[tex]C^{'}(t)[/tex]](images/latex/1e08fd3e5e5901b9e8d01ea02bce12959a06d7e5_0.png "[tex]C^{'}(t)[/tex]") ? Bueno, igual supongo que es lo mismo, me pareció raro porque estoy acostumbrado a que para otros problemas, la cosa sino no sirve.
![[tex]C(0)=48=A+40 \ \rightarrow \ A=8[/tex]](images/latex/b74df9da0c72bde588eb9a97a6a9d3bfd642f062_0.png "[tex]C(0)=48=A+40 \ \rightarrow \ A=8[/tex]")
![[tex]C(5)=42=8e^{-k(5)}+40 \ \rightarrow \ k=-\ln\left(\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{1}{5} \ \rightarrow \ k=0.277[/tex]](images/latex/36b44da7481389be22d04dc49db787d97451471d_0.png "[tex]C(5)=42=8e^{-k(5)}+40 \ \rightarrow \ k=-\ln\left(\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{1}{5} \ \rightarrow \ k=0.277[/tex]")
¿Puede ser? Capaz dije cualquiera, pero suena medianamente lógico. No sé, no hago seguido problemas de este tipo porque después te enseñan un par de métodos mucho más genéricos para resolver EDO's y anulás todo conocimiento previo 
Saludos,
Seba.
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riffraff
Nivel 5
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Mensajes: 149
Carrera: Informática
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| claro, me pareció re raro que me hayan dado dos condiciones iniciales de la misma función.
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
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riffraff
Nivel 5
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noo... ni me dí cuenta que el "e elevado a la constante" seguía siendo una constante y me pareció lo más raro, y ahí se me mezcló todo.
igualmente supongo que el ejercicio así está perfecto.
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