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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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Buenas como andan, tengo una duda sobre el ejercicio 14, se resolverlo pero llego a un dilema al final. Les paso el ejercicio y lo que hago.
Encontrar el valor de "a" para el cual el sistema tiene infinitas soluciones y resolver el sistema para el valor hallado.
![[tex]\left\{ \begin{array}{c} x_1 - x_2 + 2x_3 = -4 \\ a^2x_2 + 4x_3 = 0 \\ x_1 + 3x_2 + 3x_3 = a\end{array} \right.[/tex]](images/latex/54c9743af32dcbe56b8e185a28778ff1f170dde0_0.png "[tex]\left\{ \begin{array}{c} x_1 - x_2 + 2x_3 = -4 \\ a^2x_2 + 4x_3 = 0 \\ x_1 + 3x_2 + 3x_3 = a\end{array} \right.[/tex]")
Y ahora haciendo operaciones elementales entre filas de la matriz, llego a:
![[tex]\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & \vdots & -4 \\ 0 & a^2 & 4 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a^2 }{4} -4 & \vdots & \frac{a^2(a+4)}{4} \end{array} \right)[/tex]](images/latex/a60fc964ecbd21af1e726a6469b6bc159d9b1983_0.png "[tex]\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & \vdots & -4 \\ 0 & a^2 & 4 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a^2 }{4} -4 & \vdots & \frac{a^2(a+4)}{4} \end{array} \right)[/tex]")
Mientras que si al comienzo hago un intercambio de filas, llegaria a:
![[tex]\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & \vdots & -4 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \vdots & \frac{a+4}{4} \\ 0 & 0 & 4-\frac{a^2}{4} & \vdots & \frac{-a^2(a+4)}{4}\end{array} \right)[/tex]](images/latex/78bb171f9d51eb0493e8c374d393b5c83aab6429_0.png "[tex]\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & \vdots & -4 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \vdots & \frac{a+4}{4} \\ 0 & 0 & 4-\frac{a^2}{4} & \vdots & \frac{-a^2(a+4)}{4}\end{array} \right)[/tex]")
En el segundo caso deberia analizar a=4 y a=-4, con lo que obtendria un S.Incompatible y un SCI, respectivamente. Pero si considerara el primer caso, cobraria tambien importancia a=0 tambien, pero lo que no me cierra, es que si reemplazara en la matriz ya triangulada, obtendria un SCI, mientras que si lo hago en la matriz inicial, obtendria un SCD. Estuve rompiendome la cabeza y no puedo ver cual es el problema por el que sucede eso.
Espero respuestas. Desde ya, gracias.
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Freddy
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 29 Oct 2008
Mensajes: 630
Ubicación: Lanús
Carrera: Sistemas
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Te convendria hacerlo por determinantes en lugar de empezar a triangular por Gauss, ya que tenes una variable desconocida y con Gauss muchas veces se cometen errores que no te das cuenta.
Iguala el determinante a cero y de ahi sacas los valores de a para el cual el sistema no es compatible determinado. Para esos valores te fijas, si es incompatible o compatible indeterminado.
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Muchas gracias por la respuesta. Lo hice por determinantes tambien y me dio lo de a=4 y a=-4 con lo que es lo mismo, pero mi duda surgio cuando lo hice por Gauss y en una de las opciones tomaba relevancia 0, ya que verificando varias veces no encuentro error alguno por el que me pase eso de que 0 reemplazando en la matriz inicial de un SCD (lo que seria lo logico, ya que teoricamente a=-4 es el unico valor que te piden y que hace que sea SCI) y si reemplazo en la matriz triangulada da un SCI, nunca me habia pasado y por eso mi duda. Gracias nuevamente
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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Primero antes que nada hacele caso a freddy, trata de trabajar con determinantes, te vas a ahorrar laburo y dolores de cabeza. Y como consejo, teniendo en cuenta que se viene el parcial, pensa que es muy poco probable que te den un ejercicio de este tipo donde tenes que buscar parametros, tan facil de triangular.
Con respecto a tu duda... el error que cometes es que al triangular estas multiplicando a una fila por a^2,y segun la teoria, solo se puede multiplicar una fila por un escalar siempre y cuando este sea diferente de cero. Entonces no podes considerar a=0 en la matriz ya triangulada ya que previamente,suposistes que a tiene que ser diferente de cero.
De esta forma podes estudiar, en la matriz triangulada, todos los valores de a pertenecientes a los reales menos el cero.Para estudiar el caso particular de a=0 tenes que reemplazar a por cero en la matriz previa donde suposites que a es diferente de cero.
No se si me entendes ??
Salu2
Con respecto a tu duda... el error esta en que cuando triangualas y haces operaciones elementales entre filas, estas multiplicando a una fila por a^2 . Y segun la teoria, solo se puede multiplicar una fila por un escalar siempre y cuando este sea diferente de cero. Entonces no podes tomar a=0 ya que previamente,cuando triangulastes y multiplicastes una fila por a^2 indirectamente estas suponiendo que a tiene que ser diferente de cero.
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Sisi entendi. Muchas gracias. Me habia olvidado de que se suponia eso.
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