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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
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Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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tengo una duda respecto de un ej de parcial:
Sea 3x+2y+5z=6 el plano tangente a la grafica F(x y) en (1 -1 0) , y sea u el versor tangente a la curva de nivel 9 de G(x y)= x^3 -2xy+y^2 en (1 -2). Hallar la derivada direccional de F en la direccion de u .
Bueno ahi va lo que hice: calcule el grad de F= (3 2 5) y el grad de G para esa curva de nivel, el tema es que la curva de nivel de G esta en R2 mientras que el grad de F esta en R3, y lo que tengo q hacer creo es hacer el grad de F por la direccion del versor v, que me estaria dando en R2. SI alguien me dice en que me estoy equivocando, le agradecere todavia tengo medio colgado lo de gradiente.
gracias
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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
Mensajes: 163
Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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Jaja creo haber encontrado mi error, igual espero rta-
el grad de F esta en R2 o sea en su dominio, y es (3 2), y el grad de G es (7 -6) y como el u es tangente entonces es perpendicular a el grad, entonces elegi x ejemplo el (6 7), pero como debe ser versor lo dividi por su norma, es decir me quedo u = 1/(raiz de 85) (6 7), entonces por ultimo me queda 1/(raiz de 85) (6 7) (3 2)= 1/(raiz de 85) (18 14)
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Uno entiende un tema no cuando lo sabe resolver, sino cuando sabe hacerlo para que otro lo resuelva y le de un resultado lindo.
Le dijo Einstein a Chaplin. Lo que he admirado siempre de usted es que su arte es universal, todo el mundo le comprende y lo admira'. A lo que Chaplin respondió: -'Lo suyo es mucho más digno de respeto: todo el mundo lo admira y prácticamente nadie lo comprende'.
La Fiuba es como la jungla, se cruza a machetazos!!!
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pankreas
Nivel 9
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Ojo: El gradiente, así como las curvas/superficies de nivel, son cosas que se ven en el dominio de una función. Para la función f que te da este problema, el grafiente va a tener dos componentes: (f'x , f'y) porque es una funcion escalar de dos variables.
Por un lado podés sacar la dirección u que necesitás para derivar, información que extraés de G(xy)=9. Esto es una curva de nivel, osea que si derivamos y armarmos (g'x , g'y) este vector será IGUAL al vector normal a esa curva de nivel (esta igualdad no vale si yo hiciera las derivadas parciales de la función ). Todo evaluado en el punto (1,2) que te pide el ejercicio. Vas a tener entonces el gradiente de esa función en ese punto que es igual al vector normal a la curva de nivel en ese punto. Pero te pide la direccion tangente a la curva de nivel, osea un vector cualquiera (xy) tal que (xy).grad(G) = 0. es un sistema de ecuaciones sencillo que te va a dar la dirección tangente de la cual podes sacar DOS versores tangentes, uno para cada lado. Vas a tener entonces dos versores u.
Una vez que conseguiste las direcciones para derivar, vas a trabajar con f: Primero que nada aclará que como tiene plano tangente, es diferenciable en el punto estudiado y podés aplicar la formula de derivada direccional grad(F).versor u
Necesitás encontrar el grafiente de F para hacer esto. Información contenida en el plano tangente que te da el enunciado. La normal a ese plano tangente es (3,2,5), que es paralelo al vector (-3/5,-2/5,-1), q es entonces igualmente normal a la superficie en ese punto, y es de la forma (f'x, f'y, -1). Ahí tenes las derivadas parciales necesarias para armarte el gradiente en ese punto.
Hacés el producto con los dos versores encontrados y deberías encontrar dos derivadas direccionales opuestas.
Espero te haya sido útil.
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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
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Carrera: Alimentos
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gracias x la rta, pero el grad de F tendria q tar en R2 o sea que el ultimo componente del vector normal no me interesa x lo que me queda
(3 2)
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
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Carrera: Industrial
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| Ciudado porque el vector a partir del cual vos podés extraer el gradiente es de la forma (f'x, f'y, -1), que es por definición el vector normal a una superficie (por consiguiente al plano tangente). La normal que te da ese plano no tiene esa forma, entonces 3 y 2 no son las derivadas parciales.
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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
Mensajes: 163
Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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| Ah entiendo entonces el grad tendria que expresarlo en terminos de la definicion, me qued (-3/5,-2/5), lo que quiero saber es si es correcto que por definicion el gradiente a una superficie de nivel es (f'x, f'y, -1), mientras que para una curva de nivel de nivel es (f'x, f'y). esto es lo que quiero saber
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
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Carrera: Industrial
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| El gradiente de una superficie de nivel es (f'x, f'y, f'z), que a su vez es la normal del plano tangente a dicha superficie de nivel. La forma (f'x, f'y, -1) es aplicable a la normal del plano tangente a una superficie función (propiamente dicha) en un punto.
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fedel
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 15 Abr 2009
Mensajes: 5
Carrera: Informática
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| escuche que en algunas catedraas dicen q esta mal hablar de gradiente extendido, alguien sabe por que?
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Si usás el término gradiente extendido, de cajón ponelo entre comillas y explicá por qué lo usás. Si chantás que el gradiente es el normal así de una seguro te anulan el ejercicio. El vector que por definición es normal a una función escalar de dos variables, de la forma (f'x, f'y, -1), viene del producto vectorial de las derivadas parciales (1,0, f'x)^(0,1,f'y). Cada una de ellas surge de derivar la parametrización (x, y, f(xy)) respecto de x y respecto de y.
A (f'x, f'y, -1) en los resueltos le llaman gradiente extendido, pero es un término medio inventado porque si bien el gradiente es 'parecido', no tiene relación alguna con el vector normal a una superficie función.
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fedel
Nivel 2
Edad: 34
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Mensajes: 5
Carrera: Informática
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nikorp
Nivel 5
Registrado: 07 Ago 2007
Mensajes: 182
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como seria la justificacion en el caso de que el gradiente sea igual a la normal?
por ejemplo en un ejercicio que me pidan calcular el plano tangente a una superficie, tengo q calcular la normal a la superficie y digo que va a ser igual a el gradiente de esa superficie porque ..........................................
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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Vos previamente vas a haber definido una nueva funcion G=F-z q va a tener a F como conjunto de nivel 0.Cuando calcules el gradiente de G este va a ser perpendicular a la superficie de nivel,por consiguiente al gráfico de F,y con este vector normal calculas el plano tangente...sabiendo q (Po-X)N=0, donde Po es el punto dnd estamos evaluando, X=(x,y,z...) y N= gradiente de G...
Espero q hayas entendido, sino preg...de paso m afilo para el parcial del sabado...
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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nikorp
Nivel 5
Registrado: 07 Ago 2007
Mensajes: 182
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no termino de entender, supongamos F (X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 - 9 = 0
me piden encontrar la ecuacion del plano tangente en (1,1,1) ...
entonces yo planteo que la Normal de esa superficie va a ser igual a el gradiente de F(X,Y,Z) ... porque?
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Porque es una superficie de nivel.
El gradiente de una FUNCIÓN, no es igual al vector normal al gráfico de esa función en un punto, no tiene nada que ver.
Pero ahi vos tenes la función igualada a una constante, en este caso 0, y como esa función tiene tres variables, esa ecuación igualada a cero te define una superficie de nivel. Como el gradiente siempre se visualiza en lo que es 'de nivel' en una función, acá si podés afirmar con total seguridad que el gradiente es el mismo vector que el normal a al superficie.
Así como, para el caso de dos variables, afirmás que el gradiente es normal a la curva de nivel, en todo punto.
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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
Mensajes: 163
Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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El (1 1 1) no pertenece a la superficie 
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