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cesar87
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buenas, alguien me puede dar una mano con el ejercicio 5 de la guia?
aca esta el enunciado:
5.
Se tiene un conductor esférico de radio ra rodeado por otro cascarón esférico de radio interno rb y externo rc. Entre los dos hay vacío.
Condiciones Iniciales:
• Todos los conductores se encuentran
descargados S1
• Las llaves S1 y S2 abiertas
a) Se cierra S1 manteniendo S2
abierta.
b) Se abre S1 y se cierra S2.
Calcular para ambos casos:
i) las distribuciones de cargas en
todas las superficies,
S2
ii) E y V en todo el espacio.
----el dibujito está aca: http://materias.fi.uba.ar/6203/ ----
mi duda es: como saco la diferencia de potencial entre a-b en las dos situaciones y como daría...
despues no entiendo bien como son las distribuciones de carga, especialmente cuando solo hay carga en el conductor de afuera...
cambiando de tema: Dielectricos, de donde puedo leer este tema, que esté tan bien redactado que hasta yo pueda entenderlo?  y donde encontrar otros ejemplos, aparte de los apuntes de Santiago q estan en la pagina?
ahi, dentro de todo se entiende, pero hay tantas deducciones q me marea un poco y los ejercicios de la guia directamente estan para asimilar todo el tema (es decir, no va de situaciones faciles a las mas dificiles, bah, un poco si)
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gira
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gira
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Como me dio mucha fiaca explicar toodo el ejercicio o hacerlo por latex o formato word, te lo escaneé. Esta solo la parte a), si no entendes algo pregunta nomás.
La parte b) es usando el mismo método ("de adentro hacia afuera para el campo, de afuera hacia andetro con el potencial"), pero tieniendo en cuenta algunas cosillas:
cuando se habre la llave S1 no pasa nada, las cargas se mantienen como están desde que se la cerró.
cuando se cierra la 2, tenemos la esfera interior conectada a tierra... algo conectado a tierra simboliza que la diferencia de potencial entre esa cosa y el infinito es cero. Si tomas como referencia al infinito entonces esa cosa tendrá potencial cero (respecto al infinito).
Entonces la tierra lo que hace en este caso es entregarnos cargas de forma que en esa esfera el potencial sea cero. De esa forma al plantear el campo eléctrico tenes que tener en cuenta que puede haber carga sobre la superficie de radio a.
Sabiendo esto, tenes que hacer lo mismo que en a).
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Cuanto más complicada parece una situación, más simple es la solución. Eliyahu Goldratt
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gira
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sebasgm
Moderador
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Vamos por partes. Lo de Dieléctricos podés ver un poco cualitativamente en cualquier libro de Física, yo usaba el Zears-Zemansky, pero solo sirve para la parte cualitativa, también recomiendan el Feinmann (no sé si se escribe asi) para entender los temas de la materia, no sé si tanto para la parte cálculos.
El apunte de Guillermo Santiago y Liliana Perez (los apuntes, en verdad, porque no es uno solo), son una gran herramienta. No solo porque son apuntes que explican los temas de la materia de una manera bastante amena, sino porque lo enfocan desde lo que se te puede pedir en la materia. O sea, ahi sí está bastante formalizado lo que tenes que saber a nivel cualitativo pero también a nivel cálculo, con los ejemplos más usuales y todo. Si te parece que no entendés algo, andá y preguntale a tu profesor (no sé con quien cursás), porque si entendés los apuntes, ya tenés una parte importante de la cuestión, resuelta.
Ahora voy quoteando a gira y después agrego cosas:
| gira escribió:
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cuando se habre la llave S1 no pasa nada, las cargas se mantienen como están desde que se la cerró.
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Esto es, cuando se abre la llave se conserva la carga de tu sistema. O sea, las cargas no pueden ir a ningún lado, y la carga que ves desde afuera es la misma, como mucho se va a redistribuir (de hecho va a ocurrir) pero no cambia la carga total encerrada.
| gira escribió:
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cuando se cierra la 2, tenemos la esfera interior conectada a tierra... algo conectado a tierra simboliza que la diferencia de potencial entre esa cosa y el infinito es cero. Si tomas como referencia al infinito entonces esa cosa tendrá potencial cero (respecto al infinito).
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Mmm, no. O por lo menos yo no lo deduzco de lo que leo.
El tema con el potencial es siempre el mismo, lo que importa del potencial es la diferencia, y no el potencial en un punto; o sea, si querés podés verlo desde el punto de vista de la energía potencial de Física 1, la energía potencial siempre era respecto a un punto de referencia, el suelo, un plano inclinado, una montaña, tres metros bajo tierra, etc. Pero la energía potencial, sin decir respecto de qué, no tiene sentido. Esto es lo mismo, a vos te interesa la diferencia de potencial entre dos puntos, para el caso de una distribución finita, nos queda cómodo tomar la referencia en infinito, porque está suficientemente lejos como para no molestarnos. A su vez yo podría decir que en infinito el potencial es 8 o 10 o 15, pero es molesto para las cuentas, entonces digo que mi potencial de referencia es cero. O dicho de otra manera ![[tex]V(\infty)=0[/tex]](images/latex/baa7a385f962d32d05d9dbfbb708ea304795200b_0.png "[tex]V(\infty)=0[/tex]") .
Por otra parte, el conectar a "tierra" implica por convención (o no sé como llamarlo si no es convención, pero en fin), que la referencia es cero. Es decir, es el piso de tu energía potencial, medir respecto de cero es fácil, entonces se usa esa referencia, en física y a nivel circuital en otras aplicaciones.
| gira escribió:
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Entonces la tierra lo que hace en este caso es entregarnos cargas de forma que en esa esfera el potencial sea cero. De esa forma al plantear el campo eléctrico tenes que tener en cuenta que puede haber carga sobre la superficie de radio a.
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No, acá hay un error de concepto. Lo que a vos te dice el tener las esfera conectada a tierra, es que la diferencia de potencial entre tierra y la esfera, es cero, ¿Por qué? Porque el conductor es una superficie equipotencial, entonces a lo largo de todo ese camino el potencial es el mismo. Si el potencial de infinito valiera 8, en la esfera el potencial sería 8, y la diferencia seguiría siendo cero. Eso es una condición que necesitás para despejar una incógnita, concretamente cuando platees el potencial para "ra", vas a tener![[tex]V(ra)-V(\infty)=0[/tex]](images/latex/e1ed4c279e313614807250d1d7e7205d631523e0_0.png "[tex]V(ra)-V(\infty)=0[/tex]") e igualando eso a la expresion que te haya quedado para la integral del campo, vas poder despejar la carga.
Ahora bien, la carga y el hecho de que el potencial sea cero, no tiene una relación directa, no obstante sí hay una implicancia en el hecho de que tengas la esfera conectada a tierra, y es que para cumplir con las condiciones que te imponga el problema, vos vas a tener que platear la existencia de una carga "qa" en la sup de la esfera, y la conexión a tierra te asegura que toda la carga que necesites vas a poder sacarla de la tierra. Para este caso la esfera ya no está aislada, no hay conservación de carga en la esfera, pero sí en la cáscara. Entonces, dado que la carga se redistribuyó y cambiaron las condiciones del problema, "qa" va a cambiar también.
No sé si entendió este último párrafo pero vamos a ponerlo en términos más concretos;
Antes que nada, gira, no entiendo muy bien la hoja porque no veo muy bien, pero creo que hiciste mal el problema, en todo caso consultalo.
Básciamente el problema se piensa de la siguiente manera:
1- Todo está descargado.
2- Conecto a la pila, entonces se carga la cáscara, que como es equipotencial está TODA al mismo potencial, sup interna y sup externa.
3- Yo no sé cómo es la carga en cara superficie, ni en la sup de la esfera porque las condiciones del problema cambiaron, lo único que sé es que dentro de los conductores NO tengo campo y que las cargas se distribuyen sobre la superficie.
Entonces planteo tres cargas teóricas, qa, qb y qc. Una en cada superficie y luego voy integrando y usando las condiciones del problema.
Plateando las condiciones (las cuentas te las debo, son un bajon y es tarde) vas a llegar a que qa=-qb y que qc es la carga total que ves desde afuera de la cáscara. Entonces calculás luego el potencial (la diferencia) haciendo la integracion, viniendo desde infinito hasta el radio rc, y cuando llegás ahí usás que ![[tex]V(rc)-V(\infty)=V_0[/tex]](images/latex/76ee2e18eac274a44d8e2ea33b6f5feb9344fc9a_0.png "[tex]V(rc)-V(\infty)=V_0[/tex]") . De ahí vas a poder despejar tu carga.
Cuando se abre S1 y se cierra S2, vas a plantear lo mismo con cargas "primas" o ponele el nombre que quieras, pero NO son las mismas de antes porque la carga se redistribuyó al corta la tensión de la pila. Y ahora vas a tener una condición diferente, que es la que te contaba al principio; ![[tex]V(a)-V(\infty)=0[/tex]](images/latex/0c90d0c108fbcaacbf28850316c31951dc778ef6_0.png "[tex]V(a)-V(\infty)=0[/tex]") , Y de ahí depejás la incognita que te queda.
A todo esto, tu humilde pregunta (y te salí con una locura infernal) se responde fácil. Primer integrás entre infinito y rc, (o rb, es lo mismo porque la superficies es equipotencial), y luego la integral entre a y b, es el potencial que acabás de calcular, más la integral del campo entre a y b.
Es decir:
![[tex]V(ra)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r_c}E dl -\int_{r_c}^{r_a}E dl[/tex]](images/latex/4d7d0556cd6a7b4bfaea86056cd72dfe8a665b51_0.png "[tex]V(ra)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r_c}E dl -\int_{r_c}^{r_a}E dl[/tex]") .
La primera integral es la que te queda igualada a ![[tex]V_0[/tex]](images/latex/3f540043cdd75e23f286a3d330be6160ed87223c_0.png "[tex]V_0[/tex]") en el punto a) porque esa es tu condición de problema. Una vez calculada tu incognita podés seguir calculando lo que se te pide, pero si no hacés eso, te va a quedar todo expresado en función de una Q que no conocés, y eso está mal.
Para el punto b), la cosa es igual con la otra condición.
Y por las dudas te aclaro, no sé si ya lo habrán visto o no, pero te lo aclaro. Cuando te piden el potencial Vab, por ejemplo, si hubiera una pila conectada entre la esfera y la cáscara, lo que hacés es integrar entre a y b porque te estan pidiendo la diferencia de potencial neta entre las dos superficies. Pero en estos problemas en lo que se te pide encontrar V para todo el espacio, lo que estás encontrando es una expresión que se cumple punto a punto en todo el espacio que vas recorriendo. El caso de buscar un potencial Vab es el que se dá en un capacitor, sea de la geometría que sea, ahí lo que te va a importar es la diferencia de potencial entre las superficies.
Bueno, si me fui al re carajo hacémelo saber, yo te lo comento porque son las dudas que tuve yo (hace no tanto), jeje.
En todo caso hacelo y lo volvés a comentar, sino se entendió nada, también hacémelo saber
Saludos,
Seba.
PD: Obvio corrijanme si alguien ve que dije alguna burrada . Igual creo a grandes razgos la idea está. Oso, ¿Que opinás? jaja.
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gira
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| sebasgm escribió:
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Vamos por partes. Lo de Dieléctricos podés ver un poco cualitativamente en cualquier libro de Física, yo usaba el Zears-Zemansky, pero solo sirve para la parte cualitativa, también recomiendan el Feinmann (no sé si se escribe asi) para entender los temas de la materia, no sé si tanto para la parte cálculos.
El apunte de Guillermo Santiago y Liliana Perez (los apuntes, en verdad, porque no es uno solo), son una gran herramienta. No solo porque son apuntes que explican los temas de la materia de una manera bastante amena, sino porque lo enfocan desde lo que se te puede pedir en la materia. O sea, ahi sí está bastante formalizado lo que tenes que saber a nivel cualitativo pero también a nivel cálculo, con los ejemplos más usuales y todo. Si te parece que no entendés algo, andá y preguntale a tu profesor (no sé con quien cursás), porque si entendés los apuntes, ya tenés una parte importante de la cuestión, resuelta.
Ahora voy quoteando a gira y después agrego cosas:
| gira escribió:
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cuando se habre la llave S1 no pasa nada, las cargas se mantienen como están desde que se la cerró.
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Esto es, cuando se abre la llave se conserva la carga de tu sistema. O sea, las cargas no pueden ir a ningún lado, y la carga que ves desde afuera es la misma, como mucho se va a redistribuir (de hecho va a ocurrir) pero no cambia la carga total encerrada.
| gira escribió:
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cuando se cierra la 2, tenemos la esfera interior conectada a tierra... algo conectado a tierra simboliza que la diferencia de potencial entre esa cosa y el infinito es cero. Si tomas como referencia al infinito entonces esa cosa tendrá potencial cero (respecto al infinito).
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Mmm, no. O por lo menos yo no lo deduzco de lo que leo.
El tema con el potencial es siempre el mismo, lo que importa del potencial es la diferencia, y no el potencial en un punto; o sea, si querés podés verlo desde el punto de vista de la energía potencial de Física 1, la energía potencial siempre era respecto a un punto de referencia, el suelo, un plano inclinado, una montaña, tres metros bajo tierra, etc. Pero la energía potencial, sin decir respecto de qué, no tiene sentido. Esto es lo mismo, a vos te interesa la diferencia de potencial entre dos puntos, para el caso de una distribución finita, nos queda cómodo tomar la referencia en infinito, porque está suficientemente lejos como para no molestarnos. A su vez yo podría decir que en infinito el potencial es 8 o 10 o 15, pero es molesto para las cuentas, entonces digo que mi potencial de referencia es cero. O dicho de otra manera .
Por otra parte, el conectar a "tierra" implica por convención (o no sé como llamarlo si no es convención, pero en fin), que la referencia es cero. Es decir, es el piso de tu energía potencial, medir respecto de cero es fácil, entonces se usa esa referencia, en física y a nivel circuital en otras aplicaciones.
| gira escribió:
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Entonces la tierra lo que hace en este caso es entregarnos cargas de forma que en esa esfera el potencial sea cero. De esa forma al plantear el campo eléctrico tenes que tener en cuenta que puede haber carga sobre la superficie de radio a.
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No, acá hay un error de concepto. Lo que a vos te dice el tener las esfera conectada a tierra, es que la diferencia de potencial entre tierra y la esfera, es cero, ¿Por qué? Porque el conductor es una superficie equipotencial, entonces a lo largo de todo ese camino el potencial es el mismo. Si el potencial de infinito valiera 8, en la esfera el potencial sería 8, y la diferencia seguiría siendo cero. Eso es una condición que necesitás para despejar una incógnita, concretamente cuando platees el potencial para "ra", vas a tener e igualando eso a la expresion que te haya quedado para la integral del campo, vas poder despejar la carga.
Ahora bien, la carga y el hecho de que el potencial sea cero, no tiene una relación directa, no obstante sí hay una implicancia en el hecho de que tengas la esfera conectada a tierra, y es que para cumplir con las condiciones que te imponga el problema, vos vas a tener que platear la existencia de una carga "qa" en la sup de la esfera, y la conexión a tierra te asegura que toda la carga que necesites vas a poder sacarla de la tierra. Para este caso la esfera ya no está aislada, no hay conservación de carga en la esfera, pero sí en la cáscara. Entonces, dado que la carga se redistribuyó y cambiaron las condiciones del problema, "qa" va a cambiar también.
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Es casi lo mismo que quice decir  . Capaz no lo explique muy correctamente. 
| Cita:
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Antes que nada, gira, no entiendo muy bien la hoja porque no veo muy bien, pero creo que hiciste mal el problema, en todo caso consultalo.
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mmmm q fiaca.....
bueno agrrrh, ok lo muestro por latex mas completito :
a)
Primero aclaramos que al conectarse la pila el potencial en la superficie c es Vo.
Ahora, empezamos por plantear el campo eléctrico en todo el espacio:
Planteando Gauss (con sup esféricas de radio r), empezamos con:
r<a
Como sabemos (o deberíamos saber ) al estar dentro de un conductor el campo es 0, de esa forma tenemos que:
![[tex]\begin{array}{l} \oint\limits_{S_G } {\overline E .\overline {dS} = } \frac{{Q_{enc} }}{{\varepsilon _0 }} \\ 0 = Q_{enc} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/99085344bf3f7d844c02e605d58d5ac42a960477_0.png "[tex]\begin{array}{l} \oint\limits_{S_G } {\overline E .\overline {dS} = } \frac{{Q_{enc} }}{{\varepsilon _0 }} \\ 0 = Q_{enc} \\ \end{array}[/tex]")
a<r<b
![[tex]\begin{array}{l} \oint\limits_{S_G } {\overline E .\overline {dS} = } \frac{{Q_{enc} }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_a }}{{\varepsilon _0 }} \\ E(r) = \frac{{Q_a }}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }} \\ \sigma _a = \frac{{Q_a }}{{4\pi a^2 }} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/10af32d99ed9d0e362d61461fce68cc172ae2bd8_0.png "[tex]\begin{array}{l} \oint\limits_{S_G } {\overline E .\overline {dS} = } \frac{{Q_{enc} }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_a }}{{\varepsilon _0 }} \\ E(r) = \frac{{Q_a }}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }} \\ \sigma _a = \frac{{Q_a }}{{4\pi a^2 }} \\ \end{array}[/tex]")
La cuestión aqui es que la esfera maciza de adentro esta aislada y como dice el enunciado inicialmente descargada. De esa forma estamos en condiciones de afirmar que ![[tex]Q_a = 0[/tex]](images/latex/4f89dab6a71c502724f9dc4701f969416e8891f3_0.png "[tex]Q_a = 0[/tex]") .
![[tex]\begin{array}{l} \to E(r) = 0 \\ \to \sigma _a = 0 \\ \end{array}[/tex]](images/latex/b23e020d3769dd79a74274acdfd30e0dc23a0cdb_0.png "[tex]\begin{array}{l} \to E(r) = 0 \\ \to \sigma _a = 0 \\ \end{array}[/tex]")
b<r<c>c
Finalmente planteamos como siempre Gauss. Para la superficie c no sabemos que carga tenemos asique la planteamos como genérica. Después llamo Q a la carga entregada por la pila.
Como la cáscara esférica estaba inicialmente descargada no es muy difícil ver que la carga total encerrada por la superficie gaussiana es en este caso Q.
![[tex]\begin{array}{l} \oint\limits_{S_G } {\overline E .\overline {dS} = } \frac{{Q_{enc} }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_a + Q_b + Q_c }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_c }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_{} }}{{\varepsilon _0 }} \\ \overline E (r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}\hat r \\ \sigma _c = \frac{Q}{{4\pi c^2 }} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/c1c25979e99ee1cfcb46149013097be1cb53c13c_0.png "[tex]\begin{array}{l} \oint\limits_{S_G } {\overline E .\overline {dS} = } \frac{{Q_{enc} }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_a + Q_b + Q_c }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_c }}{{\varepsilon _0 }} = \frac{{Q_{} }}{{\varepsilon _0 }} \\ \overline E (r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}\hat r \\ \sigma _c = \frac{Q}{{4\pi c^2 }} \\ \end{array}[/tex]")
Bien, ahora vamos con el potencial (la parte mas fiaca  ):
Para plantear las diferencias de potencial hay que integrar del infinito hacia r (xq?, supongo xq que es mas fácil así)
, pero tendiendo cuidado que el campo eléctrico no es el mismo en algunos casos, por lo que se separan las integrales:
Tomo como referencia al infinito (xq tengo ganas ), asique V(infinito) = 0
r>c
![[tex]\begin{array}{l} \overline E (r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}\hat r \\ V(r) - V(\infty ) = - \int\limits_\infty ^r {\overline E .\overline {dl} } \\ V(r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r}} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/c3527b6d596c9f85ee35d0b9db643cd1663ec351_0.png "[tex]\begin{array}{l} \overline E (r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}\hat r \\ V(r) - V(\infty ) = - \int\limits_\infty ^r {\overline E .\overline {dl} } \\ V(r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r}} \\ \end{array}[/tex]")
b<r<c>c -> ![[tex]V(r) = \frac{{V_o c}}{r}[/tex]](images/latex/417d9f22825f65c5a8228fa1ed43bfc20a213df0_0.png "[tex]V(r) = \frac{{V_o c}}{r}[/tex]")
Lo expresamos así porque no tenemos el valor de Q.
Bueno disculpen pero me canse de escribir con latex
Lo que sigue es mas de lo mismo, tiro los resultados:
[U]a<r<b
V(r)=Vo
r<a
V(r)=Vo
Espero no haberme equivocado en nada. 
Salu2!.
[color=red]EDIT: La ultima parte extrañamente modificada
EDIT2: Bueno, me rindo. Hasta poniendo un código se modifica. Asique para vencer al foro marco con colorado lo que no va y te mando por un .txt lo que va en vez de seo. Fijense si pueden hacer algo.
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Cuanto más complicada parece una situación, más simple es la solución. Eliyahu Goldratt
Última edición por gira el Mie Abr 15, 2009 4:43 pm, editado 2 veces
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cesar87
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clarito como el vodka.
la diferencia de potencial q queria saber, no sabia que era asi (la de Va-b)
muchas gracias sebasgm por la explicacion, tambien gracias gira. muy buena onda!
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cesar87
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gira
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sebasgm
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gira, no em quedó claro lo del código Latex que no te sale bien, y no ando con mucho tiempo, por eso no me lo pongo a editar. Pero yo ayer había me había equivocado en algo que había supuesto, tu problema está bien.
| cesar87 escribió:
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mmm, ahora no me quedo muy claro lo del....
b<r<c>c ->
Lo expresamos así porque no tenemos el valor de Q.
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Quedó medio feo escrito, pero la idea es que dentro del conductor el campo es cero, Qb=-Qa=0 y te queda solo Qc cuando mirás la esfera desde afuera. Llamala Qc o Q, como quieras, la cosa es que no la conocés, por eso el problema no termina ahí el problema. Peeeero, tenés la condicion del potencial para ese punto (o sea, desde inifinito hasta toda la sup externa del a cáscara), entonces plateás la integral que puso gira, y despejás Qc en función del V0 que si es conocida.
Saludos,
Seba.
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