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Juan Volpe
Nivel 2
Joined: 09 Jul 2009
Posts: 14
Carrera: Industrial
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hola ..alguien tiene los enunnciados.. ??
gracias
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Guido_Garrote
Moderador
Age: 35
Joined: 14 Oct 2007
Posts: 3319
Location: AHÍ!
Carrera: Civil
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| Me sumo a LaVolpe y pido, si alguien lo tiene, el enunciado del examen...
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Juanse!
Nivel 5
Joined: 27 Feb 2009
Posts: 180
Carrera: Mecánica
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hoy a la tarde lo scaneo y subo.. si alguien me explica como subir fotos 
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Guido_Garrote
Moderador
Age: 35
Joined: 14 Oct 2007
Posts: 3319
Location: AHÍ!
Carrera: Civil
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lau.rs
Nivel 4
Age: 35
Joined: 27 Jul 2008
Posts: 63
Location: buenos aires
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alguien me explica como se resuelven el 4 y el 5?
graciass
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cesar87
Nivel 6
Joined: 18 Mar 2007
Posts: 251
Carrera: No especificada
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ENUNCIADOSSS
está en el wiki ahora tambien..
si alguien lo puede redimensionar, que lo haga por favor
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vickyy
Nivel 6
Age: 35
Joined: 23 Apr 2008
Posts: 230
Carrera: Electrónica, Informática and
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| ¿alguien sabe como resolver el cuatro?
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friedrich
Nivel 9
Joined: 24 Feb 2009
Posts: 1628
Carrera: No especificada
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que grande cezar que subió el examen!
| pankreas wrote:
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En el 4 yo deduje que -2 y 0 tenían que ser los autovalores. 0 porque era singular y -2 porque metiendo en el 'modelo de solución general' era lo único que te verificaba el límite en esa solución particular. Si ponías e^-2 era la unica manrea de que ese limite con la exponencial te de finito y distinto de cero. Al final la matriz A me quedó toda de unos, y la solución general de un solo término.
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claro. si y= [ e^(3t) | e^(3t) ] entonces el producto de y por f(t) = e^(-3t) te da la funcion g(t) = [ 1 | 1 ] que cumple el limite que dan.
si la matriz es simetrica entonces es ortogonalmente diagonalizable, y si es singular, al menos uno de sus ava es el cero.
caso 1: si el otro ava es cero también, entonces la matriz es de todos cero (por el resultado de la diagonalizacion), entonces X' = AX es en realidad X' = 0, osea que no queda otra que esté formada por constantes, X = [ c1 | c2 ]. pero esto no cierra con la condición del limite, asi que no es posible.
caso 2: si es diferente de cero, podemos tratar de encararlo al revés. como y= [ e^(3t) | e^(3t) ] puede ser solución, y el sistema X' = AX >> X' - AX = 0 es homogeneo, entonces una convinacion lineal de cualquier solucion particular es tambien solucion.
asi que k y= [ k e^(3t) k e^(3t) ] cumple >
k y' - A y = 0 >
k 3 e^(3t) - k {a11 e^(3t) + a12 e^(3t)} = 0
k 3 e^(3t) - k {a12 e^(3t) + a22 e^(3t)} = 0
(con a12 = a21 por que es simetrica)
entonces
e^(3t) { 3 - a11 - a12} = 0
e^(3t) { 3 - a12 - a22} = 0
como e^(3t) nunca se hace cero,
3 - a11 - a12 = 0 >> a12 = 3 - a11
3 - a12 - a22 = 0 >> a22 = 3 - a12 = a11
entonces me queda la matriz A con
[ a11=s | a12 =3-s ]
[ a21=3-s | a22=s ]
pero como es singular, tiene rango igual a uno, entonces los dos vectores-columna tienen que ser linealmente dependientes. por eso necesariamente debe ser s = 3/2.
entonces me queda una matriz de 3/2 en todas sus entradas. de ahi deduzco que 3 y 0 son los autovalores de la matriz, y que los autoespacios son
S_3 = gen { v1 = 1/raiz(2) [ 1 1 ] }
S_0 = gen { v2 = 1/raiz(2) [ 1 -1 ] }
entonces descompongo A en P D P^transp
con P la matriz que encolumna v1 y v2.
X' = AX
sii X' = PDP^tX
sii P^tX' = DDP^tX
con Z definida como Z = P^tX ( >> X = PZ )
llego al sistema diagonal
Z' = DZ.
como D tiene en la diagonal, un 3 y un cero, entonces
z1'(t) = 3z(t)
z2'(t) = 0
luego
z1(t) = c1 e^(3t)
z2'(t) = c2
y Z = [ c1 e^(3t) | c2 ]
entonces la solucion general del sistema es:
X = PZ = 1/raiz(2) [ c1 e^(3t) + c2 | c1 e^(3t) - c2 ]
y por la condicion inicial X(0) = [ 2 | 1 ],
[ 2 | 1 ] = [ c1 + c2 | c1 - c2 ]
c1 + c2 = 2 > c2 = 2 - c1
c1 - c2 = 1 >> c1 - 2 + c1 = 1
>> 2 c1 = 3
>> c1 = 3/2 y c2 = 1/2
RESPUESTA: X(t) = 1/raiz(2) [ 3/2 e^(3t) + 1/2 | 3/2 e^(3t) - 1/2 ]
(cierra que Y = [ e^(3t) | e^(3t) ] sea un caso particular de la solucion general encontrada, por que c1 = raiz(2) y c2 = 0)
por favor escriban si encuentran errores.
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Sueño con una sociedad libre de cobardía intelectual
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vickyy
Nivel 6
Age: 35
Joined: 23 Apr 2008
Posts: 230
Carrera: Electrónica, Informática and
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Gracias 
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