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Amadeo
Nivel 9
Joined: 20 Oct 2008
Posts: 1436
Carrera: No especificada
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Hola, mi consulta es esta:
tengo ![[tex]\mathop{\lim_{n \to \infty}} ({\sqrt[n]{n^n + 5^n}})[/tex]](images/latex/9af0f3e0a8bfa80c0e8eaad85e7aec8140581302_0.png "[tex]\mathop{\lim_{n \to \infty}} ({\sqrt[n]{n^n + 5^n}})[/tex]") , ¿cómo puedo resolver este limite? Lo intenté expresar en la forma e^(algo) y me quedo ![[tex]e^(\frac{n^n+5^n-1}{n})[/tex]](images/latex/e903cab77ab00065c4af198f99f55f3607320ca8_0.png "[tex]e^(\frac{n^n+5^n-1}{n})[/tex]") No sé si hice algo mal o qué 
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Amadeo
Nivel 9
Joined: 20 Oct 2008
Posts: 1436
Carrera: No especificada
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El problema original era ![[tex] \frac{a_n+1}{a_n} = (\frac{n^n + 5^n}{n!})[/tex]](images/latex/c87a9c768f077e2a1c526e098e03e8c3820e3fc7_0.png "[tex] \frac{a_n+1}{a_n} = (\frac{n^n + 5^n}{n!})[/tex]")
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Freddy
Nivel 8
Age: 34
Joined: 29 Oct 2008
Posts: 630
Location: Lanús
Carrera: Sistemas
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Que te pedia hallar? el limite de An?
es A(n+1) / A(n)
ó
A(n) +1 / A(n) ??
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Amadeo
Nivel 9
Joined: 20 Oct 2008
Posts: 1436
Carrera: No especificada
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Perdón, es ![[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]](images/latex/02e80d8ef89c76f50e2742dfaf655f24bf87a4e1_0.png "[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]") y tengo que hallar el ![[tex]\mathop{\lim_{n \to \infty}} 3^{1+\frac{1}{a_n}}[/tex]](images/latex/fd20b5f735b42a4ea165f25b552fc8d4873c95f9_0.png "[tex]\mathop{\lim_{n \to \infty}} 3^{1+\frac{1}{a_n}}[/tex]")
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Freddy
Nivel 8
Age: 34
Joined: 29 Oct 2008
Posts: 630
Location: Lanús
Carrera: Sistemas
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Bueno, tenes la forma de D'Alembert.
En el numerador saca factor comun n(elevado a la n) y adentro te queda 1 + 5/n(todo esto elevado a la n).
En el denominador te queda n!
Lo de adentro del factor comun del numerador tiende a uno (5 sobre n se va a cero) y te queda por considerar:
n(elevado a la n) / n!.
Aca podes tomar esto por separado y volver a aplicar D'Alembert, con eso vas a llegar a la conclusión que esto ultimo tiende a infinito.
Volviendo, tu D'Alembert original tiende todo a infinito, entonces tu sucesion An tiende a infinito.
El resto sale con fritas...
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Sepilloth
Nivel 8
Age: 19
Joined: 12 Dec 2007
Posts: 705
Location: Capital
Carrera: Electricista
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| Además fijate que aplicar la raiz enésima cuando tenes un n! no es lo más conveniente.
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A noble spirit embiggens the smallest man
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Amadeo
Nivel 9
Joined: 20 Oct 2008
Posts: 1436
Carrera: No especificada
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| Freddy wrote:
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Bueno, tenes la forma de D'Alembert.
En el numerador saca factor comun n(elevado a la n) y adentro te queda 1 + 5/n(todo esto elevado a la n).
En el denominador te queda n!
Lo de adentro del factor comun del numerador tiende a uno (5 sobre n se va a cero)
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Acá hay algo que no entiendo... 5/n tiende a cero, pero a su vez ese cero esta elevado a la n, por lo cuál te queda una indeterminación cero^infinito
| Sepilloth wrote:
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Además fijate que aplicar la raiz enésima cuando tenes un n! no es lo más conveniente.
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¿Pero ![[tex]\sqrt[n]{n!}[/tex]](images/latex/f1d2782aeab1f94d012cf85687d244cc80cdd4d0_0.png "[tex]\sqrt[n]{n!}[/tex]") no es igual a 1?, ¿O sólo vale para ![[tex]\sqrt[n]{n}[/tex]](images/latex/e0c50243fddc47f20dd62f37bd0bad0f37592860_0.png "[tex]\sqrt[n]{n}[/tex]") ?
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Freddy
Nivel 8
Age: 34
Joined: 29 Oct 2008
Posts: 630
Location: Lanús
Carrera: Sistemas
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| Amadeo wrote:
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Acá hay algo que no entiendo... 5/n tiende a cero, pero a su vez ese cero esta elevado a la n, por lo cuál te queda una indeterminación cero^infinito
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Si, pero podes agarralo por separado y mandarle cauchy, con lo cual te queda 5/n y eso se va a cero, entonces tiende a cero.
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eugenio
Nivel 7
Age: 47
Joined: 11 Jun 2005
Posts: 305
Carrera: Química
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Peeeero.... les dieron sin piedad me parece!
(n^n)/n! tiende a infinito. Se puede probar con DÁlambert. 5^n/n! tiende, por su parte, a cero. La suma de ambas tiende a infinito. Es decir, a(n+1)/a(n) tiende a infinito lo que implica que a(n) tiende a infinito.
Finalmente, 3^(1+1/a(n)) tiende a 3
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sabian
Nivel 3
Age: 34
Joined: 04 May 2009
Posts: 37
Carrera: No especificada
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| Para limite de exponencial sobre factorial, hay un desarrollo/formula. Se llama de Stirling. Honestamente no tengo ni idea de como es porque nunca la vi, pero la senti nombrar bastante (al igual que a la maldita función gamma, ya le tengo bronca antes de aprenderla).
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