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Mensaje |
Gonzab
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 85
Carrera: Electrónica
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Hola a todos. Posteo esto aca a ver si alguien me lo sabe contestar.
No se bien como desarrollar la siguiente SL: ![[tex]\frac{1}{(Z-4)(Z-1)^2}[/tex]](images/latex/caf6353a0ac03a5fab58ea9e6513c4840d21a29a_0.png "[tex]\frac{1}{(Z-4)(Z-1)^2}[/tex]")
El problema es que en el ejercicio me piden desarrollarla alrededor del 2.
Este es un ejercicio de uno de los parciales de Sacerdotti.
Lo primero que se me ocurre hacer es descomponer ese choclo con fracciones simples y la partes que quedan con (Z-4) o (Z-1) en el denominador desarrollarlos como una geometrica. Pero mi problema es el termino que queda al cuadrado. Es decir, ![[tex]\frac{1}{(Z-1)^2}[/tex]](images/latex/661dd2fd82375bc4691a2a31a056d0a5eaa5fb6b_0.png "[tex]\frac{1}{(Z-1)^2}[/tex]") . Si fuera alrededor del 1, eso ya esta desarrollado, pero me lo piden alrededor del 2... ¿Como hago?
Gracias!
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Gonzab
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 85
Carrera: Electrónica
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Bueno Gracias. No se me hubiera ocurrido el truco de derivar.
Y ahora que pregunto esto, me doy cuenta que es la primera vez que intento desarrollar una serie de Laurent centrada en un punto NO singular. Como quedaria mi desarrollo cuando trabaje en la region ![[tex]1 < \mid z-2 \mid < 2[/tex]](images/latex/5961e4cdee063d3feb124597b2dc56020fbba3b0_0.png "[tex]1 < \mid z-2 \mid < 2[/tex]") ?
Y ya que estamos, esa serie de Laurent centrada en 2 y desarrollada en dicha region, me va a permitir obtener el residuo en 1 (termino a-1 de la serie). Yo sospecho que si (mirando la definicion) pero no estoy seguro. Lo que si no se va a cumplir es que la potencia maxima de la serie de Laurant va a coincidir con el grado del polo en 1 (creo).
Bueno, como ven, estoy algo desorientado. La idea la tengo, pero necesito acentar todas las cosas que dan vueltas por mi cabeza.
Gracias.
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Gonzab
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 85
Carrera: Electrónica
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| Ah, y me olvidaba. Es la primera vez que uso latex jaja. Solo lo hice para hacer feliz a "Conan".
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Cambiando de variable y haciendo fracciones simples tendrías que desarrollar
![[tex] \frac{A}{w-2} +\frac{B}{w+1}+\frac{C}{(w+1)^2} [/tex]](images/latex/b9cdeffe83108bad962e7042a1ec56198c0b691b_0.png "[tex] \frac{A}{w-2} +\frac{B}{w+1}+\frac{C}{(w+1)^2} [/tex]")
en ![[tex] 1<|w|<2 [/tex]](images/latex/991913f8c393701a42ea9fb6c619fb705a892f29_0.png "[tex] 1<|w|<2 [/tex]")
El primero se desarrolla usando la serie geométrica, el segundo se escribe
![[tex] \frac{B}{w+1}= \frac{1}{w} \frac{B}{1+\frac{1}{w}} [/tex]](images/latex/1f260e64ebb4afe39138708d0ab4995b89c180a9_0.png "[tex] \frac{B}{w+1}= \frac{1}{w} \frac{B}{1+\frac{1}{w}} [/tex]")
y se desarrolla el segundo término usando la serie geométrica, lo cual es válido porque ![[tex] |1/w|< 1[/tex]](images/latex/3cc1e0f0aa387ad2dba25e109d19958cb7198bbc_0.png "[tex] |1/w|< 1[/tex]")
Con el tercer término se hace lo mismo que con el segundo, se saca factor común ![[tex] w [/tex]](images/latex/702e72e9d50b93bc074451d84c17f7c2e923a369_0.png "[tex] w [/tex]") en el denominador.
Este desarrollo NO SIRVE para calcular el residuo en z=1. Para ello hay que hallar el desarrollo de Laurent centrado en z=1 en la corona ![[tex] |z-1|<3[/tex]](images/latex/a6037e2886657aa6d91af6fc28b93456e6c02ccd_0.png "[tex] |z-1|<3[/tex]") .
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Gonzab
Nivel 4
Edad: 37
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 85
Carrera: Electrónica
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Bueno, Muchisimas Gracias!
Voy a seguir haciendo parciales.
Saludos!
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![[tex]w=z-2[/tex]](images/latex/3eaa909f0fbd31b0a5047c15ee16dac7fccca5fe_0.png "[tex]w=z-2[/tex]")
, para hacer un desarrollo centrado en ![[tex]w=0[/tex]](images/latex/ae4e1b9032d5da7cddf1a9c5bd3600e70416b307_0.png "[tex]w=0[/tex]")
. Luego fracciones simples. Para el término ![[tex]\frac{1}{(w+1)^2}[/tex]](images/latex/0bddafdb3ae7c1a4ec3baa7dd40332fa31d5e5a5_0.png "[tex]\frac{1}{(w+1)^2}[/tex]")
, tené en cuenta que derivando término a término la serie de ![[tex]\frac{1}{(w+1)}[/tex]](images/latex/c0d36595817a48c16003dc7b172ab173b0c2eed0_0.png "[tex]\frac{1}{(w+1)}[/tex]")
vas a obtener la serie de ![[tex]\frac{-1}{(1+w)^2}[/tex]](images/latex/5f1bca518b6e856cfcce91f20f3c27fae0ba5a2a_0.png "[tex]\frac{-1}{(1+w)^2}[/tex]")
.
![[tex]1<|z-2|<2[/tex]](images/latex/75cd97b2d940458045d6066eaa8f230ef406a982_0.png "[tex]1<|z-2|<2[/tex]")
o en ![[tex]4<|/z-4|[/tex]](images/latex/5bedbd53ddb8c67dcbb7862953ea37de8293e746_0.png "[tex]4<|/z-4|[/tex]")
.
