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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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Sea f(z) = 1/(z^4*(1-e^(1/z))). Determinar si existe la integral de f(z) sobre la circunferencia unitaria recorrida una vez en sentido antihorario.
Yo digo que z = 0 es una singularidad esencial aislada, porque hice el desarrollo de Laurent de f alrededor de 0, y me dio:
f(z) = -z^(-3) + 0,5 z^(-4) - ... en |z| > 0
O sea, infinitos términos con potencias negativas => singularidad esencial.
Pasando a la integral, como f es holomorfa sobre la curva y su interior exceptuando la singularidad aislada z = 0, vale el teorema de los residuos y la integral vale 2pi * Res(f,0).
Y ese residuo vale 0, porque en el desarrollo en serie no tiene un término con la potencia z^(-1).
Pero en la fotocopia del enunciado alguien puso un "no existe" que me hace dudar... porque el desarrollo en serie que hice involucró invertir una serie, y eso es medio flashero, aunque me dijeron que vale, así que...
¿Opiniones?
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Conan
Moderador
Edad: 39
Registrado: 30 Ago 2005
Mensajes: 2390
Ubicación: Longchamps
Carrera: Electrónica y Informática
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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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Gracias por contestar, Conan.
Ahora tengo dudas respecto al inciso c: Con lo considerado en el inciso anterior, todas las integrales dependientes de n (sobre circunferencias de radio 1/((2n+1)pi) ) darían cero también, porque la única singularidad que incluyen es cero, por ende sería Sn = 0. No me gusta... Me suena a que hice algo mal al analizar las singularidades, que para mí son:
z = 0, singularidad esencial aislada
z = 2npi, polos simples (son las soluciones de e^(1/z) = 1 )
z = infinito, singularidad no aislada
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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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Todo lo que dije antes estaba mal. Ésta es la razón:
Los ceros del denominador son 0 y las raíces de la ecuación 1-exp(1/z) = 0.
Entonces, antes de hacer algún desarrollo, busquemos esas raíces:
Si z = x + iy, entonces 1/z = x / (x^2+y^2) - iy / (x^2+y^2)
Entonces:
exp(1/z) = e^(x/(x^2+y^2)) * e^(-iy / (x^2+y^2))
Igualando módulo y argumento con 1, queda:
e^(x/(x^2+y^2)) = 1
-y / (x^2+y^2) = 2kpi
De la primera ecuación, se sigue que x=0 e y!=0
Reemplazando en la segunda, resulta
-1/y = 2kpi
Entonces, tenemos esta sucesión de singularidades aisladas:
zk = -i / (2kpi) , con k perteneciente a Z-{0}
El límite de esa sucesión es 0 => En todo entorno de z = 0 hay infinitas singularidades => z = 0 es una singularidad NO AISLADA => NO EXISTE DESARROLLO DE LAURENT ALREDEDOR DE 0.
Respecto al inciso c ... Lo estoy pensando =P, pero recién me di cuenta de mi error y quería aclararlo.
Moraleja: Antes de mandarse a hacer el desarrollo, hay que analizar todos los ceros del denominador / candidatos a singularidades.
Saludos, suerte
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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Darío; ¿ya viste algo de la sección de LaTeX de este foro ( http://www.foros-fiuba.com.ar/viewforum.php?f=28 )?; es muy fácil de usar y las cosas que escribas van a ser harto más legibles; por ejemplo:
f(z) = 1/(z^4*(1-e^(1/z)))
exp(1/z) = e^(x/(x^2+y^2)) * e^(-iy / (x^2+y^2))
versus
![[tex]f(z) = \frac1{z^4 (1 - \exp^{\frac1z})}[/tex]](images/latex/692c0e1b6e834b0da220fbc414048611b3b07ef9_0.png "[tex]f(z) = \frac1{z^4 (1 - \exp^{\frac1z})}[/tex]")
![[tex]\exp^{\frac1z} = \exp^{\frac{x}{x^2 + y^2}} \exp^{\frac{-\i y}{x^2 + y^2}}[/tex]](images/latex/a75132b35f341ff6b975d471dbdffdbfe9df109f_0.png "[tex]\exp^{\frac1z} = \exp^{\frac{x}{x^2 + y^2}} \exp^{\frac{-\i y}{x^2 + y^2}}[/tex]")
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| la función f(z) es holomorfa en la corona |z|>1/2Pi, que contiene a por lo tanto la integral existe. Para calcularla usá el residuo en el infinito o hacé el cambio de variable w=1/z que es esencialmente lo mismo. Otra cosa, para hallar las singularidades es más facil recordar que e^w=1 si y solo si w=2ikPi con k entero.
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Mariote
Nivel 4
Registrado: 30 Nov 2005
Mensajes: 87
Carrera: Electrónica
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Una forma mas fácil de hallar los ceros del denominador es esta:
Además del cero en ![[tex]z=0[/tex]](images/latex/8ec5e56326bfb63729244c125a06b2454a8c7ec2_0.png "[tex]z=0[/tex]") , necesitás que ![[tex]1-e^{\frac{1}{z}}=0[/tex]](images/latex/faa7083d982d022465660f2fbc06e0b065bd9fcf_0.png "[tex]1-e^{\frac{1}{z}}=0[/tex]") .
Con esto, ![[tex]e^{\frac{1}{z}}=1[/tex]](images/latex/218edac4c42231d28cae3a5c929a58b7bbf61ce4_0.png "[tex]e^{\frac{1}{z}}=1[/tex]") entonces ![[tex]\frac{1}{z}=2k\pi[/tex]](images/latex/724dacf896f695d60a19107da582fc532f2e8fd9_0.png "[tex]\frac{1}{z}=2k\pi[/tex]") y por lo tanto ![[tex]z_{k}=\frac{1}{2k\pi}[/tex]](images/latex/8741f5b6df0a2a229695f35bc0d39dc67651d008_0.png "[tex]z_{k}=\frac{1}{2k\pi}[/tex]") para ![[tex]k \epsilon Z[/tex]](images/latex/e50fdabe557b0611a01fc599a792e73e3db59da0_0.png "[tex]k \epsilon Z[/tex]")
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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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Entonces, si C es la circunferencia unitaria... (Practico LaTeX de paso =P)
![[tex] \oint_{C^{+}} f(z) \ dz = - \oint_{C^{-}} f(z) \ dz = 2\pi i \ Res(f,\infty) [/tex]](images/latex/d336a56cc0aaeaaadf4bb431ec174b77f2c689eb_0.png "[tex] \oint_{C^{+}} f(z) \ dz = - \oint_{C^{-}} f(z) \ dz = 2\pi i \ Res(f,\infty) [/tex]")
Pero ![[tex] f(\frac{1}{z}) = \frac{z^4}{1-e^z} [/tex]](images/latex/da9c9ae25978538d5a2ecc128847d0e504130739_0.png "[tex] f(\frac{1}{z}) = \frac{z^4}{1-e^z} [/tex]") , que tiene a 0 como singularidad evitable. Entonces ![[tex] f \in H(\infty) [/tex]](images/latex/6c21eabc4828985b499c85453f303e80507a1ac7_0.png "[tex] f \in H(\infty) [/tex]") , y por ende ![[tex] Res(f,\infty) = 0 [/tex]](images/latex/2d412fd9b862a64d7f169e2fe71c7e94e1fc3ec0_0.png "[tex] Res(f,\infty) = 0 [/tex]") , por lo que la integral da cero. ¿Estoy en lo correcto?
PD: Pablo, excelente tu tutorial, me salió como piña.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| Res(f,00)=Res(g,0) con g(z)=-f(1/z)/z^2. Igualmente en este caso g tiene una singularidad evitable en 0, así que su residuo es cero.
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