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priest_of_metal
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 11
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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Brai11
Nivel 5
Edad: 31
Registrado: 29 Jun 2012
Mensajes: 157
Carrera: Industrial y Mecánica
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| me sumo a la duda, tampoco se me ocurre como hacerlo
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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Que poco me acuerdo jeje..
![[tex]x= v*cos (u)[/tex]](images/latex/ebaa4ac6f1a4055dec400774c90150e73627262b_0.png "[tex]x= v*cos (u)[/tex]")
![[tex]\sqrt{2} * y = v*sen (u)[/tex]](images/latex/e69036351819f985e00e18529c8d087a5721613a_0.png "[tex]\sqrt{2} * y = v*sen (u)[/tex]")
![[tex]z= v^2[/tex]](images/latex/9fb8a3856fa219323d803e5349844b2a6703ff7f_0.png "[tex]z= v^2[/tex]")
Hagan ![[tex]x^2 + (\sqrt(2)*y)^2 = v^2 * cos^2(u) +v^2 * sen^2(u) = v^2 = z [/tex]](images/latex/567a915f64aae81138391cb192274e164e8cbc7a_0.png "[tex]x^2 + (\sqrt(2)*y)^2 = v^2 * cos^2(u) +v^2 * sen^2(u) = v^2 = z [/tex]") , ahi pueden dibujar S2.
Dibujen S1 y S2 y la curva q les piden no pareciera ser dificil.
Edito:
Se los agrego...
Edito 2: corregi un error de cuenta.
1 )
![[tex]x^2 + 2*y^2 = z [/tex]](images/latex/dbefa1ec342db5aa5fdcb263f1205e3ff277f817_0.png "[tex]x^2 + 2*y^2 = z [/tex]")
![[tex]x^2 + y^2 = 1 [/tex]](images/latex/13e38f2b3195f820c39cd0e608c879dd369e8c19_0.png "[tex]x^2 + y^2 = 1 [/tex]")
2) de , sale que , ![[tex]x^2 = 1- y^2 [/tex]](images/latex/41fcc0c37ff3357535dc646adf8b0457346dd2cd_0.png "[tex]x^2 = 1- y^2 [/tex]")
3)
![[tex]1 - y^2 + 2*y^2 = z [/tex]](images/latex/1813aff7b92d4fffcdf5ccad83a25ab15a0d93d9_0.png "[tex]1 - y^2 + 2*y^2 = z [/tex]")
4)
![[tex] 1 + y^2 = z [/tex]](images/latex/4cdc654b98eb0a4a538d6e2a634655d073796395_0.png "[tex] 1 + y^2 = z [/tex]")
5)
![[tex]x= cos (t)[/tex]](images/latex/2d94da67e9d1caa70492623f3a09c0477a14e89a_0.png "[tex]x= cos (t)[/tex]")
![[tex]y = sen (t)[/tex]](images/latex/31063e36da6c2e8ce24427ab6e14e146f30c7934_0.png "[tex]y = sen (t)[/tex]")
![[tex]z= 1 + sen^2(t)[/tex]](images/latex/7e7d1c242b3d0475aad2bcd070e9226e014468ea_0.png "[tex]z= 1 + sen^2(t)[/tex]")
Sino le pifie a nada o sino bardie cualquiera.
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priest_of_metal
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 11
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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¿POSIBLE SOLUCIÓN?
ENUNCIADO:
1) Sea ![[tex] S_1 [/tex]](images/latex/f7daf55c8008c95fbf4940c7c871c3c3fcfd7beb_0.png "[tex] S_1 [/tex]") , La superficie parametrizada por: ![[tex] \phi : D\subset R^2\longrightarrow{}R^3 [/tex]](images/latex/0658e017c7ccfb92d47930c6fac4d7db1768834c_0.png "[tex] \phi : D\subset R^2\longrightarrow{}R^3 [/tex]")
Que es:
![[tex] \phi (u;v) = (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u} \, ;v\sen{u} \, ;v^2) [/tex]](images/latex/22d43a60ec84aceef5ebdc4dc173f81a8514270b_0.png "[tex] \phi (u;v) = (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u} \, ;v\sen{u} \, ;v^2) [/tex]")
Con ![[tex] D=\left\{{(u,v)\in{} R^2 : v\geq0 ,\: 0\leq u \leq 2 \pi }\right\} [/tex]](images/latex/c615716453f1d5c00d7c999f82671ee2b348f32a_0.png "[tex] D=\left\{{(u,v)\in{} R^2 : v\geq0 ,\: 0\leq u \leq 2 \pi }\right\} [/tex]")
y sea ![[tex] S_2 [/tex]](images/latex/96de47f0d53aca044a52393cdad8666ee021974f_0.png "[tex] S_2 [/tex]") la superficie de ecuación: ![[tex] x^2 + y^2 = 1 [/tex]](images/latex/46e240a782408885ca2fcc451fb3036f83c6b852_0.png "[tex] x^2 + y^2 = 1 [/tex]")
a) Hallar una parametrización regular para la curva ![[tex] C=S_1 \cap S_2 [/tex]](images/latex/e40bc746e41ae06810b9369ab6eeb4fb27d1960d_0.png "[tex] C=S_1 \cap S_2 [/tex]")
b)Hallar, si existen, los puntos de ![[tex] C [/tex]](images/latex/3518ab32da03faeecd63477faa015af636b479d4_0.png "[tex] C [/tex]") donde el vector tangente es ortogonal al plano de ecuación ![[tex] -\sqrt[]{2}x - \sqrt[]{2}y + 2z = 4 + \sqrt[]{2} [/tex]](images/latex/ac83877ca52f9359b26539d2a000ea60e9336a2f_0.png "[tex] -\sqrt[]{2}x - \sqrt[]{2}y + 2z = 4 + \sqrt[]{2} [/tex]")
Resolución:
a) Busco la intersección :
Se puede establecer la sig. igualdad que conserva la relación de la ec. ![[tex] \phi [/tex]](images/latex/61901f672082d94f9f58e58a78996665e3aed88c_0.png "[tex] \phi [/tex]") , como: ![[tex] 2x^2 + y^2 = z [/tex]](images/latex/8b76ddb61374586f9dd2ddb98175413f08fbfd6e_0.png "[tex] 2x^2 + y^2 = z [/tex]")
Queda demostrada dicha relación, como:
![[tex] 2 (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u})^2 + (v\sen{u})^2 = v^2 [/tex]](images/latex/73a4f3e17077c47df6d01401cfe3a3b9ebeafe9d_0.png "[tex] 2 (\frac{v}{\sqrt[]{2}}\cos{u})^2 + (v\sen{u})^2 = v^2 [/tex]")
Donde despejando se cumple la igualdad ![[tex] v^2 = v^2 [/tex]](images/latex/a1ea7ab0256569517c9258331dc073a0975b5aa6_0.png "[tex] v^2 = v^2 [/tex]")
Entonces ahora puedo definir la intersección: ![[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} 2x^2 + y^2 = z \\ x^2 + y^2 = 1 \\\end{array}\right. [/tex]](images/latex/a6ca4669c52aa900c3281f250243ca51494f393f_0.png "[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} 2x^2 + y^2 = z \\ x^2 + y^2 = 1 \\\end{array}\right. [/tex]")
Donde resolviendo y despejando llego a ![[tex] z = x^2 + 1 [/tex]](images/latex/c0b52fd99759924e7e65615b5538cddcf68a2d74_0.png "[tex] z = x^2 + 1 [/tex]")
Puedo considerar ![[tex] x=cos(t) ; y=sen(t) [/tex]](images/latex/83c7a8e718f773dee8c5f2cc65e7c615b4088186_0.png "[tex] x=cos(t) ; y=sen(t) [/tex]") Entonces ![[tex] z = cos^2 (t) + 1 [/tex]](images/latex/51966b87c752fcf31faf9c1e68ace3d87109cdb7_0.png "[tex] z = cos^2 (t) + 1 [/tex]")
Obteniendo así la parametrización:
![[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos(t) \, ; sen(t) \, ; cos^2 (t) + 1 ) [/tex]](images/latex/3243657bb7b7b1683ee4200bbec95c6dfea5abe3_0.png "[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos(t) \, ; sen(t) \, ; cos^2 (t) + 1 ) [/tex]")
Que resulta regular, ya que no se anula su derivada respecto a t.
![[tex] \overline{ \varphi}^{\prime} (t) = ( -sen(t) \, ; cos(t) \, ; -2sen(t) cos(t) ) [/tex]](images/latex/6d6341700aa93af81e0b55cbdd1dce02097c56bf_0.png "[tex] \overline{ \varphi}^{\prime} (t) = ( -sen(t) \, ; cos(t) \, ; -2sen(t) cos(t) ) [/tex]")
b)
Las direcciones tangentes a la curva las obtengo de
y como deben ser estas direcciones, normales al plano , en otras palabras, deberán ser paralelas a la normal del plano ![[tex] \overline{N} = ( -\sqrt[]{2} \, ; -\sqrt[]{2} \, ; 2) [/tex]](images/latex/f43c0b8f6561034d430d89aa75aaf2fe77252146_0.png "[tex] \overline{N} = ( -\sqrt[]{2} \, ; -\sqrt[]{2} \, ; 2) [/tex]")
Planteando que esas direcciones tangentes a la curva son múltiplo de la normal del plano, entonces:
![[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda ( - \sqrt{2} ) = - sen (t) \\ \lambda ( - \sqrt{2} ) = cos (t) \\ \lambda 2 = -2 sen (t) cos (t) \\\end{array}\right. [/tex]](images/latex/7d2f4ed9e965acf301d53765cfa86a45f6c37c76_0.png "[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda ( - \sqrt{2} ) = - sen (t) \\ \lambda ( - \sqrt{2} ) = cos (t) \\ \lambda 2 = -2 sen (t) cos (t) \\\end{array}\right. [/tex]")
Despejando obtengo ![[tex] \lambda = \displaystyle\frac{1}{2} [/tex]](images/latex/0b64b7e783adf09b237bb6923bd2175dc02fbc5a_0.png "[tex] \lambda = \displaystyle\frac{1}{2} [/tex]")
Ese valor lo reemplazo en el sistema de ecuaciones anterior, obteniendo así:
![[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} sen (t) = \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ cos (t) = ( - \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ sen (t) cos (t) = ( - \displaystyle\frac{1}{2} ) \\\end{array}\right. [/tex]](images/latex/997ea3711aebdf05853663c60472f4933b81eb77_0.png "[tex] \left\lbrace\begin{array}{l} sen (t) = \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ cos (t) = ( - \displaystyle\frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ sen (t) cos (t) = ( - \displaystyle\frac{1}{2} ) \\\end{array}\right. [/tex]")
Donde depejando llego al valor ![[tex] t = \displaystyle\frac{3}{4} \pi [/tex]](images/latex/744cd1b91c63ee8a246c5944a29e047360d5a60f_0.png "[tex] t = \displaystyle\frac{3}{4} \pi [/tex]")
Dicho valor lo reemplazo en la parametrización para hallar el/los punto/s donde se cumple esta condición de la dirección tangente que sea paralela a la normal del plano.
![[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; sen( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; cos^2 ( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) + 1 ) \: = \: ( - \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{3}{2} ) \, = \, P [/tex]](images/latex/633a7165d89f239b790d1962bdf3fd33c6e0326e_0.png "[tex] \overline{\varphi}(t) = (cos( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; sen( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) \, ; cos^2 ( \displaystyle\frac{3}{4} \pi ) + 1 ) \: = \: ( - \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{\sqrt[]{2}}{2} \, ; \displaystyle\frac{3}{2} ) \, = \, P [/tex]")
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Brai11
Nivel 5
Edad: 31
Registrado: 29 Jun 2012
Mensajes: 157
Carrera: Industrial y Mecánica
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No entiendo como se dan cuenta de como parametrizar.
priest of metal como supiste que tenias que poner un 2 adelante de la x al cuadrado y que eso te daba z? eso no sé como darme cuenta. Porfavor si alguien tiene la paciencia sufiente le estaria muy agradecido 
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nicoav
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 10 Feb 2013
Mensajes: 27
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Civil
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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| Brai11 escribió:
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No entiendo como se dan cuenta de como parametrizar.
priest of metal como supiste que tenias que poner un 2 adelante de la x al cuadrado y que eso te daba z? eso no sé como darme cuenta. Porfavor si alguien tiene la paciencia sufiente le estaria muy agradecido
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Es un poco de practica, un poco de viveza y......que son todos iguales!
Edit:
priest of metal, estas seguro que es 1 punto y no 2?
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priest_of_metal
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 11
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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| Cita:
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Edit: priest of metal, estas seguro que es 1 punto y no 2?
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Por qué podrían ser 2? =/
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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Si dibujas la curva, es como muy simetrica, y se me hace que si se cumple para 1 punto, se cumple para otro mas.
Pero puede ser que no, por eso te pregunte.
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