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Mensaje |
fluorita
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 08 May 2013
Mensajes: 20
Carrera: Química
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tengo una cierta duda con este problema
Sea S la superficie cilíndrica con tapa, que es unión de dos superficies S1 y S2; donde S1 es el conjunto de (x, y, z) con x^2 + y^2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 y S2 es el conjunto de (x, y, z) con
x^2 + y^2 + (z − 1)^2 = 1, z ≥ 1, orientadas con la normal que apunta hacia afuera del cilindro y de la
esfera respectivamente. Sea F(x, y, z) = (zx + z^2y + x, z^3yx + y, z^4x^2). Calcular (int en S)(∇ × F) · dS
Tengo problema en como usar stokes! tomo una superficie C la cual sea x=cos(t), y=sen(t), z=1 (por la interseccion de S1 y S2)
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Jas
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 19 Feb 2009
Mensajes: 180
Carrera: Informática
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la interseccion de S1 y S2 es la tapa de arriba del cilindro que te queda con las ecuaciones:
x²+y² =1
z=1
Es una circunferencia de radio uno centrada en el eje z y con z=1 como piso, digamos.
La parametrizacion la haces bien con x=cos(t), y= sen(t), z=1.
Reemplazando en F que ahora va a ser solo funcion de t, te queda:
F(t) = ( 2.cos(t) + sen(t) , sen(t).cos(t) + sen(t) , cos²(t) )
Por Stokes, la integral de superficie del rotor de F es igual a la circulacion de F por la curva C. Con la parametrizacion vas a calcular la circulacion por la curva C que es (si no me equivoco):
(integral de linea en C) ( F(t)* F'(t) ).dt
siendo F'(t) la derivada de F(t) respecto a t, termino a termino (o sea, derivas cada parte del vector y te va a quedar otro vector, luego haces un producto escalar entre F y F')
espero que te sirva, y no equivocarme (sino ya va a llegar alguien que me corrija  )
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fluorita
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 08 May 2013
Mensajes: 20
Carrera: Química
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| me parece que es el campo en la curva por el gradiente de la curva (que sería su vector normal)
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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El asunto es que para aplicar el teorema de Stokes, la integral de línea debe ser sobre el borde de la superficie S. Y si en este problema se define que ![[tex]S = S_1 \cup S_2[/tex]](images/latex/dc22695a641d89c32e3f579cec656b5c85c2b7ec_0.png "[tex]S = S_1 \cup S_2[/tex]") , entonces su borde no es ![[tex]C = S_1 \cap S_2[/tex]](images/latex/a9f01a5ffed5d68927bed76bf13ffc81c2cdfc53_0.png "[tex]C = S_1 \cap S_2[/tex]") , sino la curva ![[tex]x^2 + y^2 = 1 \wedge z = 0[/tex]](images/latex/a11508896388c1334bfe705c660ad40831551fc7_0.png "[tex]x^2 + y^2 = 1 \wedge z = 0[/tex]") . Que se puede parametrizar usando la misma técnica que para C: ![[tex]\gamma(t) = (\cos t, \sen t, 0)[/tex]](images/latex/2cceafd9fcf7ef1f8365f408c593ebd4ff8b10a8_0.png "[tex]\gamma(t) = (\cos t, \sen t, 0)[/tex]") . Entonces:
![[tex]\iint _S \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma(t)) \bullet \gamma'(t) dt[/tex]](images/latex/2d7a905734e23f10ccc580728d4e25a58987e8b3_0.png "[tex]\iint _S \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma(t)) \bullet \gamma'(t) dt[/tex]")
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Última edición por Huey 7 el Mar May 28, 2013 8:29 pm, editado 1 vez
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fluorita
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 08 May 2013
Mensajes: 20
Carrera: Química
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Por qué es esa curva y no otra? Esto es lo que no entiendo de Stokes!
Ahora si el cilindro no tuviera tapa, se tomaría la misma curva?
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| fluorita escribió:
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Por qué es esa curva y no otra? Esto es lo que no entiendo de Stokes!
Ahora si el cilindro no tuviera tapa, se tomaría la misma curva?
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Si el problema tuviera la semiesfera sola (![[tex]S_2[/tex]](images/latex/41e4c302049ba9bdb9fb98c136cf9f4220015b01_0.png "[tex]S_2[/tex]") ), el borde sería efectivamente la curva ![[tex]x^2 + y^2 = 1 \wedge z = 1[/tex]](images/latex/56abc2def68526b2ab63ec84cbe8c82300cb5b73_0.png "[tex]x^2 + y^2 = 1 \wedge z = 1[/tex]") , o sea la circunferencia en z = 1 que llamaste C. Si tuviera el cilindro solo (![[tex]S_1[/tex]](images/latex/04019efb0a69e3bf00b2b26c8385ef6484e24d4a_0.png "[tex]S_1[/tex]") ), habría dos bordes, la circunferencia en z = 1 y la circunferencia en z = 0. Cuando hacés la unión de con para formar S, "empalmás" la semiesfera con el cilindro, y la circunferencia en z = 1 deja de ser un borde: donde termina el cilindro ahora continúa la semiesfera. S queda con una forma como de manga de cazar mariposas, y un único borde, la circunferencia en z = 0. Tendrías que imaginarte a S en 3D. Es lo mejor que puedo explicarlo
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Última edición por Huey 7 el Mar May 28, 2013 8:29 pm, editado 1 vez
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fluorita
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 08 May 2013
Mensajes: 20
Carrera: Química
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| GRACIAAAAAAAAS! ENTENDI STOKES! ,ahora si si fuera solo el cilindro cual curva tomo la de Z=1 o Z=0, como hago?
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| fluorita escribió:
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ahora si si fuera solo el cilindro cual curva tomo la de Z=1 o Z=0, como hago?
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Ese caso requiere más elaboración. Hay más de una manera de pensarlo, pero todas conducen al mismo resultado: hay que calcular las integrales de línea de F sobre ambos bordes (con sentidos de circulación análogos) y restarlas.
Una forma de llegar a ese resultado es ver que para las superficie del problema anterior se cumple:
![[tex]\iint _S \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \iint _{S_1} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} +\iint _{S_2} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS}[/tex]](images/latex/63eca1d16f90d06942e45ff18d40222160305ade_0.png "[tex]\iint _S \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \iint _{S_1} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} +\iint _{S_2} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS}[/tex]")
Llamemos ![[tex]C_0[/tex]](images/latex/7f478059d6f9870a1aafa32917680235e13e8282_0.png "[tex]C_0[/tex]") a la circunferencia en z = 0, y ![[tex]C_1[/tex]](images/latex/c8be3e4d9a76579ea74f9686ecccb526ada216f2_0.png "[tex]C_1[/tex]") a la circunferencia en z = 1, y consideremos las respectivas parametrizaciones ![[tex]\gamma_0(t) = (\cos t, \sen t, 0)[/tex]](images/latex/2af7cf560c16953254f9a6246fc17c75dd3db421_0.png "[tex]\gamma_0(t) = (\cos t, \sen t, 0)[/tex]") y ![[tex]\gamma_1(t) = (\cos t, \sen t, 1)[/tex]](images/latex/0fdf9e7af8be325a62b4bf346cadc8078ff59057_0.png "[tex]\gamma_1(t) = (\cos t, \sen t, 1)[/tex]") . Quedamos en que es el borde de S, y entonces:
![[tex]\iint _S \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma_0(t)) \bullet \gamma_0'(t)dt[/tex]](images/latex/a26a7f81f61d8dad2fa4d81e2bd904cd10d9f911_0.png "[tex]\iint _S \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma_0(t)) \bullet \gamma_0'(t)dt[/tex]")
Y en que es el borde de la semiesfera , y entonces:
![[tex]\iint _{S_2} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma_1(t)) \bullet \gamma_1'(t)dt[/tex]](images/latex/c989e5c22f7d5d0fb51871e9914c6412d4978f9e_0.png "[tex]\iint _{S_2} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma_1(t)) \bullet \gamma_1'(t)dt[/tex]")
Una primera observación es que el sentido de circulación sobre y que implican las dos expresiones es antihorario (mirando hacia el plano XY desde el semiespacio de las z mayores que 1). Que es, a los efectos de la aplicación del teorema de Stokes, el compatible con normal apuntando hacia afuera tanto en el cilindro como en la esfera.
Entonces, sustituyendo en la primera igualdad y despejando, la integral de superficie del rotor de F sobre el cilindro es:
![[tex]\iint _{S_1} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma_0(t)) \bullet \gamma_0'(t)dt -\int _0 ^{2\pi} F(\gamma_1(t)) \bullet \gamma_1'(t)dt[/tex]](images/latex/5008576435fde5db2901bbd73c2975634bcd3105_0.png "[tex]\iint _{S_1} \nabla \times F \bullet \overrightarrow{dS} = \int _0 ^{2\pi} F(\gamma_0(t)) \bullet \gamma_0'(t)dt -\int _0 ^{2\pi} F(\gamma_1(t)) \bullet \gamma_1'(t)dt[/tex]")
Una segunda observación es que el desarrollo y el resultado final no hubieran variado si en vez de haber elegido la semiesfera se hubiera elegido cualquier otra superficie, con tal de que su borde sea la circunferencia en z = 1. En todos esos casos "empalma" con el cilindro, y la circunferencia en z = 0 queda como borde de la unión de superficies.
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