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lordjoshua
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Problema 1
Considerar la esfera de Riemann, la cual sirve para generar todo el plano complejo, proyectando desde el polo superior (punto (0,0,2)).
La esfera tiene su polo inferior en el origen.
A cada círculo de la esfera, paralelo al piso, le corresponde un círculo centrado en el 0, en el plano complejo.
De tener dos círculos paralelos al piso, se puede considerar la superficie en la esfera entre dichos círculos, a esta superficie le corresponde un anillo centrado en el origen, en el plano complejo.
Las variables h1 y h2, que tienen que cumplir, por comodidad, 0 <= h1 < h2 < 2, tipifican cada círculo en la esfera que es paralelo al piso, son las alturas, desde el piso, al plano donde se encuentra cada circulo.
Hallar la función escalar f, que depende de h1 y h2, que devuelve el valor del área de superficie del anillo asociado a la bandita en la esfera generada entre los círculos (paralelos al piso) de alturas h1 y h2.
Problema 2
Es conocido que cualquier círculo en la esfera, paralelo o no al piso, genera un círculo en el plano complejo, de ser que el polo superior no está en dicho círculo, y una recta, de ser que el polo superior si está en el círculo.
Cada punto de la esfera es tipificado con las variables u, v (ángulos en esféricas).
Para cada punto (u,v), considerar la recta que contiene al punto de la esfera asociado al par (u,v) y al centro de la esfera (punto (0,0,1)).
Usar dicha recta como eje de un cilindro de radio r, que cumpla 0 < r <= 1.
La intersección entre la esfera y el cilindro, son dos círculos (o uno), elegir, en caso que sean dos, el que está del lado del punto asociado al par (u,v).
Procurar que el número r, no genere que dicha intersección sea un círculo en la esfera que contenga al polo superior (estos radios (pedorros) dependen de u y v).
Esto genera una forma de asociar, de manera no biyectiva, los puntos considerados (u,v,r) con todos los círculos de la esfera que no contengan al polo superior.
A cada uno de estos círculos de la esfera, le corresponde un círculo en el plano complejo (y no una recta).
Hallar la función escalar f, que depende de u, v y r, que devuelve el valor del área del círculo asociado en el plano complejo al punto (u,v,r).
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lordjoshua
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Solución al 1.
f(h1,h2) = 4*pi*(h2/(2-h2) - h1/(2-h1))
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lordjoshua
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Problema 2
Es conocido que cualquier círculo en la esfera, paralelo o no al piso, genera un círculo en el plano complejo, de ser que el polo superior no está en dicho círculo, y una recta, de ser que el polo superior si está en el círculo.
Cada punto de la esfera es tipificado con las variables u, v (ángulos en esféricas).
O sea u = fi y v = tita.
La idea es obtener todos los círculos de la esfera que no contienen al polo superior.
Para esto pueden ser considerados todos los pares (u,v), con v distinto de cero, y una variable adicional t en el intervalo (0,1].
Desde el punto en la esfera correspondiente al par (u,v), trazar un segmento de longitud t, en dirección al centro de la esfera.
Considerar el plano cuya normal es ese segmento y que pasa por el punto extremo del segmento que no es el de la esfera.
La intersección entre dicho plano y la esfera, es un círculo.
Para cada valor de v (tita) hay un único valor de t que hace que el plano pase por el polo superior, este valor t no sirve.
Esto genera una forma casi biyectiva de asociar los puntos considerados (u,v,t) con todos los círculos de la esfera que no contengan al polo superior.
A cada uno de estos círculos de la esfera, le corresponde un círculo en el plano complejo (y no una recta).
Hallar la función escalar f, que en principio depende de u, v y t, que devuelve el valor del área del círculo asociado en el plano complejo al punto (u,v,t).
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lordjoshua
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Los problemas con el t son solo para v (tita) en el (0,pi/2].
t = 1 - cos(v) es el valor a descartar.
Se deduce que variar u (fi) dejando v (tita) constante, no provoca cambios en f, así que f no depende de u.
Da igual hacer las cuentas para el caso u = lo que se desee.
Para el caso particular v = pi/2, en el cual t < 1
f = pi * [ ( 2 + ( 2t - t^2 )^1/2 ) / ( 2 - 2t ) - ( 1 - t ) / ( 2 * ( 2t - t^2 )^1/2 ) ]^2
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