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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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Tengo una duda para hallar la Pseudoinversa de A.
A=
3 2 2
2 3 -2
La Pseudoinversa de A esta dada por A#=(At.A)^-1.At
At.A=13 12 2
12 13 -2
2 -2 8
Para buscar la inversa de esto plantie el metodo usando la matriz adjunta (nose cual es el nombre formal)
Entonces busca la matriz de cofactores, la transpuse para hallar la adjunta pero cuando busque el determinante de At.A , este me dio cero.
Y hasta aca llegue. Alguna soga?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Fijate que si puedieras escribir ![[tex]A^{T}A = UDU^{T}[/tex]](images/latex/d7e44999d2ca2cc130ef7d9c8e638a4b615ae9f5_0.png "[tex]A^{T}A = UDU^{T}[/tex]") , entonces ![[tex]\left(A^{T}A\right)^{-1} = \left(UDU^{T}\right)^{-1} = UD^{-1}U^{T}[/tex]](images/latex/d1a609011bd0cda687e74825fe86a73f506c01a8_0.png "[tex]\left(A^{T}A\right)^{-1} = \left(UDU^{T}\right)^{-1} = UD^{-1}U^{T}[/tex]") . Y esto ¿siempre se puede?, porque ![[tex]A^{T}A[/tex]](images/latex/40a11d82c16dc037962b62f04f27f126db39807e_0.png "[tex]A^{T}A[/tex]") es semidefinida positiva.
Si tenes que ![[tex]B = A^{T}A = \left[ \begin{array}{ccc} 13 & 12 & 2 \\ 12 & 13 & -2 \\ 2 & -2 & 8 \end{array} \right][/tex]](images/latex/80c818c1da05dc39c524b84cc0e2b47bbfa825cc_0.png "[tex]B = A^{T}A = \left[ \begin{array}{ccc} 13 & 12 & 2 \\ 12 & 13 & -2 \\ 2 & -2 & 8 \end{array} \right][/tex]") , yo antes de invertir, me tiro a buscar autovalores y autovectores. Pensa que cuando tengas un autovalor y un autovector, por ser simétrica y semidefinida positiva ya tenes los demás.
El único problema que tenes acá es que desarrollando por columna 1, ![[tex]\det(B) = 13 \cdot (13 \cdot 8 - 4) - 12 \cdot (12 \cdot 8 + 4) + 2 \cdot (-12 \cdot 2 - 13 \cdot 2) = 0[/tex]](images/latex/4bd3708664f3113d73699f47cb383377db2c288f_0.png "[tex]\det(B) = 13 \cdot (13 \cdot 8 - 4) - 12 \cdot (12 \cdot 8 + 4) + 2 \cdot (-12 \cdot 2 - 13 \cdot 2) = 0[/tex]") . O sea, no tiene inversa.
¿Qué pasó?. ¿Cómo tenía que ser el rango de A?.
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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| El rango de A es igual a la suma de lo valores singulares no nulos, que son 2
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Una belleza (en realidad es igual a la cantidad de VS no nulos). Entonces, tenes que el rango de A es 2 (recordá que el rango de A y el de su traspuesta es el mismo). ¿La pseudoinversa de Moore-Penrose se escribía como ![[tex]A^{+} = \left(A^{T}A\right)^{-1}A^{T}[/tex]](images/latex/9a6b23461a3d4d41179e5cbb1f779ad8f38c05fd_0.png "[tex]A^{+} = \left(A^{T}A\right)^{-1}A^{T}[/tex]") cuando pasaba qué cosa y se escribía ![[tex]A^{+} = A^{T}\left(AA^{T}\right)^{-1}[/tex]](images/latex/b685e1c02073c519e5557e9af29b2d6154d843d9_0.png "[tex]A^{+} = A^{T}\left(AA^{T}\right)^{-1}[/tex]") cuando pasaba qué cosa?.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Bueno, en vista de tanta insistencia, respondo.
Esta es válida cuando las columnas son LI y esta cuando las filas son LI.
En este caso, como lo que son LI son las filas, fijate que ![[tex]AA^{T} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\ 2 & -2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 17 & 8 \\ 8 & 17 \end{array} \right][/tex]](images/latex/3360edcefba7ae2c944f469ed1f3f0bbeccb3dd3_0.png "[tex]AA^{T} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\ 2 & -2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 17 & 8 \\ 8 & 17 \end{array} \right][/tex]") (además, de movida era más sencillo calcular esta, sabiendo que los VS no nulos de esta matriz y de la otra coinciden. Esta tiene un polinomio característico más "fácil"). Como la suma de las filas es constante, se tiene que ![[tex]\lambda_{1} = 25[/tex]](images/latex/3ade5af7c70cfdb367c6901d5469f90d93ae971a_0.png "[tex]\lambda_{1} = 25[/tex]") es AVA de esta matriz, asociado al AVE ![[tex]v_{1} = [1 \quad 1]^{T}[/tex]](images/latex/3b474d36a5f341346d0430ca382d660b57f1141d_0.png "[tex]v_{1} = [1 \quad 1]^{T}[/tex]") . El otro AVA tiene que ser ![[tex]\lambda_{2} = 34 - 25 = 9[/tex]](images/latex/7e4119f5c514169e0060bb06ad748cd2a96c0dd5_0.png "[tex]\lambda_{2} = 34 - 25 = 9[/tex]") (por la traza), asociado al AVE ortogonal al anterior, que es ![[tex]v_{2} = [1 \quad -1]^{T}[/tex]](images/latex/1a557e9d6d5edee87ff205ac12d31b241fab77a9_0.png "[tex]v_{2} = [1 \quad -1]^{T}[/tex]") .
Escribimos la diagonalización ortogonal, ![[tex]AA^{T} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 25 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/50990b8e183a60f875dfd26fea05b1bd1841a78d_0.png "[tex]AA^{T} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 25 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right][/tex]") . Su inversa es ![[tex]\left(AA^{T}\right)^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{25} & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] = \frac{1}{450} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 34 & -16 \\ -16 & 34 \end{array} \right][/tex]](images/latex/739356865c8d7889052b983f80cd6195c8370f32_0.png "[tex]\left(AA^{T}\right)^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{25} & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] = \frac{1}{450} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 34 & -16 \\ -16 & 34 \end{array} \right][/tex]") , si no pifié en las cuentas.
Luego, ![[tex]A^{+} = \frac{1}{450} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\ 2 & -2\end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} 34 & -16 \\ -16 & 34 \end{array} \right] = \frac{1}{45} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 2 & 7 \\ 10 & -10 \end{array} \right][/tex]](images/latex/5d15d9ebcdbdd1b91a3fb1aa952540e91605e179_0.png "[tex]A^{+} = \frac{1}{450} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\ 2 & -2\end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} 34 & -16 \\ -16 & 34 \end{array} \right] = \frac{1}{45} \cdot \left[ \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 2 & 7 \\ 10 & -10 \end{array} \right][/tex]") .
Saludos.
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eLzAnA
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 18 Jul 2009
Mensajes: 103
Ubicación: Villa Crespo
Carrera: Electrónica
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Pero el ejercicio pide la Pseudoinversa de A, no la Pseudoinversa de Moore-Penrose. Coinciden solamente en el caso que Rg(A) = n, pero en este caso no lo es ya que Rg(A) = m.
Va, por lo menos en el apunte de Mancilla Aguilar dice eso...
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No temas Poeta,
no fue en vano tu sacrificada existencia,
todavía permanecen legibles las seculares tintas de tu gigantesco esfuerzo;
tu esencia fecundó las conciencias del ser,
y de las ruinas de tu vestigio se erigen hombres cada vez más profundos y perfectos,
ciclo tras ciclo.
Nada fue en vano.
Yo tampoco temo ya al porvenir,
cuando la luz exhale su último hálito,
y un puño de roca y lava impacte contra la esfera
reduciendo toda vida a fino polvo de piedra y gas,
añicos de átomo, imperceptibles partículas migrarán
durante milenios a través del infinito desierto de silencio y sombra
como despavoridos pájaros huyendo del frío eterno.
Pero nada será en vano:
pues cuando por fin, a millones de kilómetros luz de su origen,
la ruina de nuestro acervo se aparee en colisión con otro escombro estelar
a orillas de alguna galaxia ignota,
circulará en derredor de su calor hasta esculpirse en materia de vida nueva.
Y ese nuevo pálpito, Poeta, seguirá siendo entonces
vector de nuestra delicada esencia.
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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| Jackson666 escribió:
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Una pregunta porque estoy perdidísimo... Eso qeu está escrito, de dónde sale?
La diagonalización de A es:
![[tex]A = UDU^{T}[/tex]](images/latex/4f75a14454f388541a59810a2a698c300732f272_0.png "[tex]A = UDU^{T}[/tex]") ? donde las columnas de U son los autovectores de A y D es diagonal con los autovalores.
Me marie ya... no entiendo nada
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91,67%
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| eLzAnA escribió:
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Pero el ejercicio pide la Pseudoinversa de A, no la Pseudoinversa de Moore-Penrose. Coinciden solamente en el caso que Rg(A) = n, pero en este caso no lo es ya que Rg(A) = m.
Va, por lo menos en el apunte de Mancilla Aguilar dice eso...
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http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse Estamos hablando de lo mismo.
| Sigo escribió:
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| Jackson666 escribió:
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,
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Una pregunta porque estoy perdidísimo... Eso qeu está escrito, de dónde sale?
La diagonalización de A es:
? donde las columnas de U son los autovectores de A y D es diagonal con los autovalores.
Me marie ya... no entiendo nada
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Fijate esa no puede ser una diagonalización de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") , porque la matriz ni siquiera es cuadrada. Por eso escribí que , ya que es simétrica.
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