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Mensaje |
davidlópez
Nivel 1
Registrado: 18 Dic 2012
Mensajes: 2
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Sea la relación de congruencia módulo 7, definida sobre el conjunto de los números enteros de la siguiente forma:
[xRy] si y solo si [x-y es múltiplo de 7]
a) Comprobar que es una relación de equivalencia sobre el conjunto de los números enteros. ( es decir si es simétrica, reflexiva y transitiva a la vez)
b) ¿Cuántas clases de equivalencias hay para esta relación? Describir cada una.
c) Demostrar que para cualesquiera números x,y,z,t Pertenecientes al conjunto de los números enteros se cumple que si xRz e yRt entonces (x+y)R(z+t)
Muchas gracias, es uno de los 20 ejercicios que tengo que hacer para un trabajo y es el único que no consigo resolver.
Un saludo.
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matiFF
Nivel 2
Edad: 32
Registrado: 11 Ago 2011
Mensajes: 15
Carrera: Sistemas
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a) reflexiva
para todo Y pasa que yRy ----> (y-y)=7k---> k=0
Simétrica
xRy -----> yRx
x-y= 7k
-1 * (y-x)= 7k
y-x= 7 * (-1*k)
y-x= 7 k' -------> yRx
y la transitividad
xRy y yRz------> xRz
por un lado tenes que
x-y=7k
y también y-z = 7 k' (los k no son iguales necesariamente)
despejas y para que te quede en función de x,z
por ej: y= 7k' +z
y la reemplazamos en la primera
x-7k' - z= 7k
x-z= 7k + 7k'
x-z= 7(k+k')
x-z= 7 k'' (nombramos a la nueva como k'')
y ahi queda demostrado que es de equivalencia!
ahora me fijo el b y el c
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matiFF
Nivel 2
Edad: 32
Registrado: 11 Ago 2011
Mensajes: 15
Carrera: Sistemas
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tirando suerte a ver que onda
[0]= aquellos que xR0
x= 7k
probando con diferentes k conseguis las clases
[0]=´7, 14, 21, 28......, 7k
[1]= se hace como el anterior, son aquellos x tales que xR1
x-1=7k
x=7k+1
tirando diferentes k tenes
[1]= 1, 8, 15, 22.....7k+1
[2]=2, 9, 16, 23..... 7k+2
[3]=3, 10, 17, 24---7k+3
[4]=4, 11, 18, 24.... 7k+4
[5]=5, 12, 19, 25....7k+5
[6]=6, 13, 20, 26.... 7k+6
entonces hay 7 clases de equivalencia, creo que es asi
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Lautaz
Nivel 8
Registrado: 05 Sep 2008
Mensajes: 550
Carrera: Informática y Sistemas
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En las relaciones de congruencia módulo n siempre hay n clases, que son los restos que pueden darse.
Para el c es simple:
(x+y)-(z+t) = (x-z)+(y-t)= 7*k + 7*k' ...
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61.7
Death ... By exile
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matiFF
Nivel 2
Edad: 32
Registrado: 11 Ago 2011
Mensajes: 15
Carrera: Sistemas
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c) a ver, sabes que xRy y que zRt, es tu hipótesis
xRz y yRt----------> (x+y)R(z+t)
por la def de la relación, sabemos que
x-z=7k
y-t=7k'
Si sumamos estas ecuaciones tenemos
(x-z)+ (y-t)= 7k + 7k'
reagrupando tenemos
(x+y) - (z+t)= 7k''------> (x+y)R(z+t)
Creo que sería asi 
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davidlópez
Nivel 1
Registrado: 18 Dic 2012
Mensajes: 2
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Muchísimas gracias 
Te mandé un mensaje con otra duda.
Un saludo.
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