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Mensaje |
cyng
Nivel 8
Registrado: 04 Jul 2010
Mensajes: 472
Carrera: Informática y Sistemas
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Les dejo el recuperatorio, algunos de los ejercicios les sonara porque ya lo tomaron en otras fechas
Saludos
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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| Salvo el ejercicio 1, es exactamente igual a la primera fecha del segundo cuatrimestre de 2010.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Conclusión, muchachos, hagan parciales anteriores que es útil.
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Yagami
Nivel 4
Registrado: 11 Mar 2012
Mensajes: 73
Carrera: No especificada
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Gracias!
El 5 lo dejé para lo último, una hora rompiéndome la cabeza y no me salió... fué el único que no hice ._.
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"En ciertas ocasiones la creatividad es mas importante que la inteligencia"
Albert Einstein.
 
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jalvarez
Nivel 6
Edad: 37
Registrado: 24 Dic 2009
Mensajes: 208
Ubicación: Villa Astolfi(Pilar-Prov.de.bs.as)
Carrera: Electricista
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| no puede ser... yo aprobe ese parcial!!!! cuando hice algebra hacia parciales viejos y nunca me aparecio uno parecido, siempre algo distinto, y eso que la materia la hice 3 o 4 veces jajajja. Y despues el final que rendi, la primera fecha de diciembre de ese cuatri, se fueron a la mierda.... no se como pero lo aprobe. no te extraño algebra!!!
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Bueno, para que mi comentario no sea solamente "uy, ese ejercicio lo conozco", aporto algo de lo que hice cuando lo di yo.
Arranco por el (5) para Yagami que quiere saber de qué se trata.
(a) Verdadero. Decir que el sistema es compatible es equivalente a decir que existe al menos un ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") que es solución de ![[tex]A^tAx=A^tb[/tex]](images/latex/35659d607b6c69a37f51af72bae06644f6846379_0.png "[tex]A^tAx=A^tb[/tex]") . Vamos a suponer que es falso, que para algún caso de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") y ![[tex]b[/tex]](images/latex/d9743ceabd07de72ebffcaa9730cfbe1226c541e_0.png "[tex]b[/tex]") no existe solución, y vamos a llegar a una contradicción.
Supongamos entonces que no existe tal que , esto es, no existe tal que ![[tex]A^tAx-A^tb=0[/tex]](images/latex/04fc43a797b6891122a351c0a706bf7c0d06a532_0.png "[tex]A^tAx-A^tb=0[/tex]") , es decir, ![[tex]A^t(Ax-b)=0[/tex]](images/latex/1fe280fe21577aa6561a67d2103527b19a826836_0.png "[tex]A^t(Ax-b)=0[/tex]") no tiene solución, pero esto es equivalente a decir que no hay ningún vector en el subespacio ![[tex] Nul (A^t) [/tex]](images/latex/ce303628810201332a0f8f6a8f6b7436a06ba45d_0.png "[tex] Nul (A^t) [/tex]") (es decir, que es un conjunto vacío), lo cual es falso porque sabemos que ahí al menos está el vector nulo. Así que sí o sí tiene que haber al menos una solución a ese sistema. Fin =)
(b) Falso, alcanza con poner algún contraejemplo, que fue el que tardé bastante en buscar y obviamente ahora no me acuerdo, pero es falso.
El (4), me acuerdo de que lo estuve pensando un rato, y lo escribí de forma matricial, con lo que llegás bastante rápido a que no, no existe el vector que piden, las ecuaciones entran en contradicción. La segunda parte es justamente hacer mínimo el error cuadrático medio, así que le hacés cuadrados mínimos con esa matriz que te armaste.
El (3), ya mucho no me acuerdo, desarrollé ![[tex]tr ( X^t M Y )[/tex]](images/latex/e695cfed00308d85547c440e91849034ac300f86_0.png "[tex]tr ( X^t M Y )[/tex]") y hallé una expresión más explícita del producto interno, me armé la matriz del producto interno en la base canónica y mostré que era simétrica y definida positiva, lo cual implica que efectivamente define un producto interno. La segunda parte ya ni idea, debo haber buscado la proyección de esa matriz en el subespacio de las antisimétricas, con esa definición de producto interno, claro. Si es la matriz que genera el subespacio de las antisimétricas, la proyección de esa matriz (digámosle ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") ) es ![[tex] \frac{ (A , B) } { ( A , A ) } A [/tex]](images/latex/67534b0ee6240870fc2df38c31f41c111cea0fec_0.png "[tex] \frac{ (A , B) } { ( A , A ) } A [/tex]") , creo (corríjanme por las dudas que ya me estoy olvidando bastante de esto).
El (2) en el parcial no lo hice pero me acuerdo que me comentaron después recordando que ![[tex] \{ v_1, v_2, v_3 \}[/tex]](images/latex/f1a6b873a52fd19548e401d6f51562387f466b51_0.png "[tex] \{ v_1, v_2, v_3 \}[/tex]") y ![[tex]\{ w_1, w_2, w_3 \}[/tex]](images/latex/374117b8038a94009e87fb9061338285f082b84c_0.png "[tex]\{ w_1, w_2, w_3 \}[/tex]") generan exactamente el mismo subespacio, ya que eso Gram-Schmidt no lo cambia, te cambia la dirección de los vectores entre sí pero generan lo mismo. Entonces, ![[tex]gen \{ w_4 \}[/tex]](images/latex/734ee4a1df4fd25deae5949dbb85d7cde26f8956_0.png "[tex]gen \{ w_4 \}[/tex]") es el complemento ortogonal de ![[tex]gen \{ v_1 , v_2 , v_3 \}[/tex]](images/latex/7d0847f6a7b15dee018c9fb43a911e2d00a15a54_0.png "[tex]gen \{ v_1 , v_2 , v_3 \}[/tex]") pues ![[tex]w_4[/tex]](images/latex/be8d105e726a54911453bb15c6dff06e81ef664d_0.png "[tex]w_4[/tex]") es ortogonal a . Así que para hallar la matriz de proyección sobre ![[tex]gen \{ v_1, v_2, v_3 \}[/tex]](images/latex/9a78c9dd6857b4c3d295aa653ea0fc0c0b728132_0.png "[tex]gen \{ v_1, v_2, v_3 \}[/tex]") se podía hallar la matriz de proyección sobre y restársela a la identidad, y listo.
El (1) se lo dejo a otro.
Cualquier cosa pregunten, o corrijan.
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Pablisho
Nivel 5
Registrado: 25 Sep 2008
Mensajes: 142
Carrera: Electrónica y Informática
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| Elmo Lesto escribió:
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Bueno, para que mi comentario no sea solamente "uy, ese ejercicio lo conozco", aporto algo de lo que hice cuando lo di yo.
Arranco por el (5) para Yagami que quiere saber de qué se trata.
(a) Verdadero. Decir que el sistema es compatible es equivalente a decir que existe al menos un que es solución de . Vamos a suponer que es falso, que para algún caso de y no existe solución, y vamos a llegar a una contradicción.
Supongamos entonces que no existe tal que , esto es, no existe tal que , es decir, no tiene solución, pero esto es equivalente a decir que no hay ningún vector en el subespacio (es decir, que es un conjunto vacío), lo cual es falso porque sabemos que ahí al menos está el vector nulo. Así que sí o sí tiene que haber al menos una solución a ese sistema. Fin =)
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Un poco lo que te comentaba hoy, creo que con eso no alcanza para q quede demostrado. Que es verdadero no hay dudas, pero falta un empujoncito mas.
Segun tu razonamiento, si yo tengo un sistema cualquiera por ej ![[tex]A^tBx=A^tb[/tex]](images/latex/08dd202a85b0856995b9c9c3a87e9c2f2d1243c3_0.png "[tex]A^tBx=A^tb[/tex]") entonces ![[tex]A^t(Bx-b)=0[/tex]](images/latex/3e94adbbf97c053b405bbb5451db97a98e16af23_0.png "[tex]A^t(Bx-b)=0[/tex]") y siguiendo tu razonamiento este sistema tmb siempre seria compatible ya que en el esta por lo menos el vector nulo.
Lo cual es falso por ej, para una inversible, la matriz nula, y un vector cualquiera no nulo.
La gracia de que ese sist sea siempre compatible es porq en el caso propuesto ![[tex]B=A[/tex]](images/latex/f09d615c153da5dd871d4e270bf0ac76fcf710fc_0.png "[tex]B=A[/tex]") o sea que una es la traspuesta de la otra, sino no se cumple.
Yo completaria la demostracion a partir de aca
Diciendo que ![[tex]Ax - b[/tex]](images/latex/587a6cbd5ce2cad35e887dd1e1a2fc643ce90a9b_0.png "[tex]Ax - b[/tex]") pertenece a para algun ![[tex]x_0[/tex]](images/latex/7ef23f0c8cf9c8c002fc6586c23f8179f8cafea1_0.png "[tex]x_0[/tex]") ya que ![[tex]R^n = Col(A) \oplus Nul(A^t)[/tex]](images/latex/2be28f3eb711026e7644a59ad02ce86024e1e389_0.png "[tex]R^n = Col(A) \oplus Nul(A^t)[/tex]") entonces ![[tex]b = v + w / v \in Col(a) \wedge w \in Nul(A^t) [/tex]](images/latex/86d35439969e78801c8c11d81b3dd28cbc3f3b03_0.png "[tex]b = v + w / v \in Col(a) \wedge w \in Nul(A^t) [/tex]") , entonces ![[tex] v = Ax_0 [/tex]](images/latex/98af684539f1670eb1d1149a48d76270e08c25bd_0.png "[tex] v = Ax_0 [/tex]") para algun (porq v pertenecia a Col(A))
entonces lo podemos escribir como ![[tex]A^t(Ax- Ax_0 - w)=0[/tex]](images/latex/a83d4f820fa78a87960b677f2b079becbad561a7_0.png "[tex]A^t(Ax- Ax_0 - w)=0[/tex]") si tomo ![[tex]x = x_0 [/tex]](images/latex/b5c85fc8d0b9fcfdb9ee01f0578c190dcef01259_0.png "[tex]x = x_0 [/tex]") me queda ![[tex]A^t(-w)=0[/tex]](images/latex/6695633e6a556243e647662d5f502d7a50683469_0.png "[tex]A^t(-w)=0[/tex]") lo cual es siempre cierto porq ![[tex] w \in Nul(A^t) [/tex]](images/latex/189a952953d286d48836cdf60a7d7c69627154cb_0.png "[tex] w \in Nul(A^t) [/tex]")
Esto completa la demostracion (?)
Capas se me escapo algo y no lo vi  cualquier cosa chiflame!
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Pablisho
Nivel 5
Registrado: 25 Sep 2008
Mensajes: 142
Carrera: Electrónica y Informática
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No se si Daniel subio el resuelto ya, pero dejo una idea esquematica de como era facil encontrar el contraejemplo del punto 5 b)
Tenemos el sistema ![[tex] BAx = Bb [/tex]](images/latex/8662fe67c227aa7c05e67632714d8e78ffa53dfb_0.png "[tex] BAx = Bb [/tex]") entonces sabemos que ![[tex] x_0[/tex]](images/latex/f00d019876ad4357788940e62878c66d1f1daafd_0.png "[tex] x_0[/tex]") es sol por cuadrados minimos si y solo si es sol del sistema ^TBAx=(BA)^TBb[/tex]](images/latex/73bc2114f6c1233e75507266c9b958f0db58060a_0.png "[tex](BA)^TBAx=(BA)^TBb[/tex]") que es lo mismo que ![[tex]A^TB^TBAx=A^TB^TBb[/tex]](images/latex/9c5905e07e7b80c75e9d985b0f3484baac1f0620_0.png "[tex]A^TB^TBAx=A^TB^TBb[/tex]") que es lo mismo que ![[tex]A^TB^TB(Ax-b) = 0[/tex]](images/latex/1f4907b9d73b21148bab652d22958bba05341583_0.png "[tex]A^TB^TB(Ax-b) = 0[/tex]")
Como ya dijimos a lo podemos escribir como ![[tex]b = Ax_0 + w [/tex]](images/latex/35913406861ff0fe12a1c5696aac9b7fadeb7688_0.png "[tex]b = Ax_0 + w [/tex]") tal que ![[tex]w \in Nul(A^T) [/tex]](images/latex/702b8e4550bc337a857b2bb48ad65bafa748440f_0.png "[tex]w \in Nul(A^T) [/tex]")
Entonces si en mi sistema anterior uso la hipotesis de que es sol por cuadrados minimos de ![[tex] Ax = b [/tex]](images/latex/c5d6f6e8bac21b62443823a47226fdeccf158350_0.png "[tex] Ax = b [/tex]") el sistema me queda de la siguiente forma ![[tex] A^TB^TB(-w) = 0[/tex]](images/latex/75893072154cc59d4c59587a47a1730eda68b0c8_0.png "[tex] A^TB^TB(-w) = 0[/tex]")
Entonces nos proponemos encontrar ![[tex]A, B y b[/tex]](images/latex/c0152c3a3745c5c0f8302b8fe6d6028a015376be_0.png "[tex]A, B y b[/tex]") tal que eso sea falso. Rapidamente encontramos que ![[tex]-w[/tex]](images/latex/78de5ad953cda893a88949bf526817c7ecaf92c1_0.png "[tex]-w[/tex]") no puede ser nulo y que por consiguiente no puede ser inversible. Tenemos la restriccion que B si tiene que ser inversible. Si simplificamos nuestra busqueda tal que ![[tex]B^T = B[/tex]](images/latex/f359ae9826c1be60963f8e181c102c47f586f058_0.png "[tex]B^T = B[/tex]") entonces lo que estamos buscando es una matriz ![[tex]B^2[/tex]](images/latex/c80b43c204152f196b4c59f68d6a54ce7b4e930c_0.png "[tex]B^2[/tex]") que agarre a los vectores de ![[tex]Nul(A^T)[/tex]](images/latex/bd78fdb54e5cc0dcbe7c131da64721dd6284af25_0.png "[tex]Nul(A^T)[/tex]") y los lleve a algo que no pertenezca a
Si en ![[tex]R^2[/tex]](images/latex/f572ed46ab129eee7bf8dfc7f64111020de1fcfc_0.png "[tex]R^2[/tex]") elijo ![[tex]A=Diag[1, 0][/tex]](images/latex/84c19eab11de67a530ec28540d76bde75352d832_0.png "[tex]A=Diag[1, 0][/tex]") entonces ![[tex]Nul(A^T) = gen {(0, 1)}[/tex]](images/latex/62481a7c253f88a5274b1a9c380057ff3cac0eda_0.png "[tex]Nul(A^T) = gen {(0, 1)}[/tex]") y con esto encontrar la B no es muy dificil, la verdad es q no se escribir matrices en latex sino pondria algun ejemplo, pero de verdad en 5 min sale seguro! Saludos!
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