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quark
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 29 Feb 2012
Mensajes: 31
Carrera: Civil
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les dejo un ejercicio de la guia no ind que me vuelve loco:
El peso X de una pieza tiene distribución U(1;3) en Kg. Se toma un par de estas
piezas al azar y se colocan en una balanza de dos platillos, a la izquierda la mas liviana y a
la derecha la mas pesada. Se repite la operación una vez mas. ¿Cuál es la probabilidad de
que el peso de las dos piezas de la izquierda supere los 3 kilos?
Se agradece cualquier ayuda.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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El peso de los de la izquierda en la primer etapa es ![[tex]W_{1} = \min(X_{1},Y_{1})[/tex]](images/latex/0ca214037f2a3c5d2c6b59c1e37c43ba160d0eef_0.png "[tex]W_{1} = \min(X_{1},Y_{1})[/tex]") . En la segunda etapa es lo mismo, vas a tener ![[tex]W_{2} = \min(X_{2},Y_{2})[/tex]](images/latex/e320f73a158edf0339e17dff76fbf450fd8dad61_0.png "[tex]W_{2} = \min(X_{2},Y_{2})[/tex]") . Te están pidiendo ![[tex]\text{P}( W_{1} + W_{2} > 3 ) [/tex]](images/latex/85328f81027492eda831c5b85b4b24b641321bb5_0.png "[tex]\text{P}( W_{1} + W_{2} > 3 ) [/tex]") . Si tenes en cuenta que ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]") e ![[tex]Y[/tex]](images/latex/d547c9ed7793c8e2979684d0228219d9e95b7ad0_0.png "[tex]Y[/tex]") están idénticamente distribuídas, todo se resume a calcular ![[tex]\text{P}( 2W > 3 )[/tex]](images/latex/e916e9d0048af1891a2ec0cbc5772cbdec44361b_0.png "[tex]\text{P}( 2W > 3 )[/tex]") . A mi me dio ![[tex]\frac{9}{16}[/tex]](images/latex/ef41a4cb3851d736037a0186064d092bd89737b1_0.png "[tex]\frac{9}{16}[/tex]") .
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jroman
Nivel 3
Registrado: 17 Ene 2012
Mensajes: 42
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Jackson, no lo discuto solo pregunto, es correcto poner que si dos variables aleatorias tienen la misma distribucion, ambas uniformes, hacer ese reagrupamiento de las variables W? por ejemplo, en variables normales, no habria problema, porque si son normales independientes generan una normal, pero ahi estas suponiendo que la suma de las dos W generar una nueva variable aleatoria con distribucion W. Por ejemplo, dos exponenciales independientes con igual intensidad, y quiero P( X +Y < 2) = P(2X<2) y calculo usando la exponencial y no la gamma, no da lo mismo.
Va nose quizas entendi mal lo que escribiste.
Un abrazo.
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jroman
Nivel 3
Registrado: 17 Ene 2012
Mensajes: 42
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| Fe de erratas, me equivoque obviamente, el ejemplo seria P(x + y <0.2) = p(2x<0.2)
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jroman
Nivel 3
Registrado: 17 Ene 2012
Mensajes: 42
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JAJA, nose para que aclare lo ultimo, me confundi las probas con valro de variable aleatoria, debe ser la hora jaja...
bueno espero que alguien me responda
saludos
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Puede ser lo que decís eh! Suena bastante lógico. Lo que pasa es que si lo haces así, ¿cómo se resuelve?. Por normal no se puede aproximar.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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El peso de los de la izquierda en la primer etapa es . En la segunda etapa es lo mismo, vas a tener . Te están pidiendo
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Hasta acá está bien, después le pifiaste. Es verdad que ![[tex]W_1 \sim W_2 = W[/tex]](images/latex/e7103faa405d7e6325d54b054114847b8cdd58a0_0.png "[tex]W_1 \sim W_2 = W[/tex]") , ie, iid. Pero tenés que sacar la función de distribución del mínimo primero y después la función de distribución de la suma.
Para la función de distribución del mínimo, cuando tenés el mínimo entre dos variables iid con función de distribución ![[tex]F_X(x)[/tex]](images/latex/443329ec63b74fc12c12c5711c9af4dc5f7d45bb_0.png "[tex]F_X(x)[/tex]") (en este caso la uniforme entre 1 y 3, cuya CDF es fácil), la función de distribución del mínimo toma la forma[1]:
![[tex]F_W(w) = 2F_X(w) - F_X(w)^2[/tex]](images/latex/274a97f8e5c03463324067076a56a3ceeb7b9369_0.png "[tex]F_W(w) = 2F_X(w) - F_X(w)^2[/tex]")
Para la función de distribución de la suma, una manera es usando el método gráfico si conocés la función de densidad (que podés obtener derivado ![[tex]F_W(w)[/tex]](images/latex/24fcaf61178ceef5ca9b234642b0eb6c30cb61ea_0.png "[tex]F_W(w)[/tex]") ). La otra es analíticamente, con la siguiente fórmula[2]:
![[tex]F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{z-x} f_{W,W}(x,y)dy \right) dx[/tex]](images/latex/060a89f587de56f1d7a665c6403af1ff17336d73_0.png "[tex]F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{z-x} f_{W,W}(x,y)dy \right) dx[/tex]")
Donde ![[tex]Z = W + W[/tex]](images/latex/67e6fb7a82d9e4729cac92872fa33d4ff7cf719a_0.png "[tex]Z = W + W[/tex]") , por lo tanto ![[tex]f_{W,W} = \left(\frac{\partial F_W(w)}{\partial w} \right)^2[/tex]](images/latex/faee6c4d96a54f545fa78d273f18218179f0b829_0.png "[tex]f_{W,W} = \left(\frac{\partial F_W(w)}{\partial w} \right)^2[/tex]") , ya que como son independientes, la densidad conjunta es simplemente el producto de las densidades.
Una vez que conocés la ![[tex]F_Z(z)[/tex]](images/latex/34e3bd4193603ee720be3d35ac58f2b711c35d06_0.png "[tex]F_Z(z)[/tex]") , la probabilidad que te piden es:
![[tex]P(Z > 3) = 1 - P(Z \leq 3) = 1 - F_Z(3)[/tex]](images/latex/2fe2cbc594a200efda1afe876e39a7170f3765d8_0.png "[tex]P(Z > 3) = 1 - P(Z \leq 3) = 1 - F_Z(3)[/tex]") .
Referencias:
[1] Notas de S. Grynberg, 4-Funciones de variables aleatorias, pag. 20, ecuación 46.
[2] Notas de S. Grynberg, 4-Funciones de variables aleatorias, pag. 11, ecuación 19.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Guenísimo! 
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jroman
Nivel 3
Registrado: 17 Ene 2012
Mensajes: 42
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Lo que dice Koreano para mi es correcto.
Otra forma mas amigable para encontrar la distribucion de suma de variables aleatorias independientes, es el metodo de convolucion (no recuerdo si estan en las notas de grynberg). Cuando salgo del laburo intento sacarlo y subo lo que me quedo.
Abrazo!
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