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29A
Nivel 5
Registrado: 22 Feb 2012
Mensajes: 164
Carrera: Informática
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Hola, haciendo ejercicios de algebra llegué a uno que me pide la intersección de 2 planos pero no puedo sacarlo. Tengo la idea pero no me sale aplicarlo con las formulas. Sé como sacar la intersección de un plano y una recta pero no de 2 planos.
Estos son los planos:
T: 2x - y +3z = 5
T': X + 3y - z=2
tengo que hallar: T intersección T'
Lo qué sé es que en la intersección de estos planos hay puntos que cumplen con ambas ecuaciones, es decir conviven en ambos planos. esto es fácil con rectas porque reemplazo las variables pero con 2 ecuaciones de planos ¿cómo hago?
espero puedan darme una mano, saludos!
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Alopidol
Nivel 2
Registrado: 19 Ene 2012
Mensajes: 13
Ubicación: ♪
Carrera: Industrial
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| Te queda un sistema de ecuaciones, con las ecuaciones de los planos, lo podes resolver de diversas maneras.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Claro. Lo que puede parecer extraño en un problema como éste es que hay menos ecuaciones que incógnitas. Entonces uno "hace como si" una de las incógnitas fuera dato (z, ponele), y resuelve el sistema de 2 x 2 para las incógnitas que faltan (x e y). Resuelvo ese sistema como ejemplo.
Pasando z al otro miembro:
![[tex]\left \{ \begin{array}{ccccl}2x & - & y & = & 5 - 3z \\x & + & 3y & = & 2 + z\end{array} \right .[/tex]](images/latex/ac2a140f1fed2aa911c6810298b7f17cb474f9b8_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{ccccl}2x & - & y & = & 5 - 3z \\x & + & 3y & = & 2 + z\end{array} \right .[/tex]")
Ahora se resuelve para x e y. Multiplicando la ecuación de abajo por 2 y restando la de arriba
![[tex]\left \{ \begin{array}{ccccl}2x & - & y & = & 5 - 3z \\& & 7y & = & -1 + 5z\end{array} \right .[/tex]](images/latex/753af7bd412e5d118e33243ca3a9dab6affb8ef9_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{ccccl}2x & - & y & = & 5 - 3z \\& & 7y & = & -1 + 5z\end{array} \right .[/tex]")
Despejando y de abajo:
![[tex]y = -\frac{1}{7} + \frac{5}{7} z[/tex]](images/latex/6d99d6b4b0e8ffebd885fb009de47afa467b698d_0.png "[tex]y = -\frac{1}{7} + \frac{5}{7} z[/tex]")
Sustituyendo en la de arriba y despejando x:
![[tex]x = \frac{17}{7} - \frac{8}{7} z[/tex]](images/latex/0fbe66c26738f0aa0ba9cc172f52066d3c74951a_0.png "[tex]x = \frac{17}{7} - \frac{8}{7} z[/tex]")
z es arbitrario, pero una vez que se le da un valor, reemplazándolo en las ecuaciones que quedaron, x e y tienen valor también. Llamemos a a ese valor arbitrario que le damos a z. Entonces:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x = \frac{17}{7} - \frac{8}{7} a \\y = -\frac{1}{7} + \frac{5}{7} a \\z = a\end{array} \right .[/tex]](images/latex/65c614778e81a3717073870a535698638bbb59ad_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x = \frac{17}{7} - \frac{8}{7} a \\y = -\frac{1}{7} + \frac{5}{7} a \\z = a\end{array} \right .[/tex]")
Vectorialmente:
 = \left ( \frac{17}{7} - \frac{8}{7} a, -\frac{1}{7} + \frac{5}{7} a, a \right)= \left ( \frac{17}{7}, -\frac{1}{7}, 0 \right) + a\left ( - \frac{8}{7}, \frac{5}{7}, 1 \right)[/tex]](images/latex/4f35c4d13fae46da0697c77ab643c5ba69c1a742_0.png "[tex](x, y, z) = \left ( \frac{17}{7} - \frac{8}{7} a, -\frac{1}{7} + \frac{5}{7} a, a \right)= \left ( \frac{17}{7}, -\frac{1}{7}, 0 \right) + a\left ( - \frac{8}{7}, \frac{5}{7}, 1 \right)[/tex]")
Es decir, obtenés la ecuación de una recta de vector director ![[tex]\textstyle \left ( - \frac{8}{7}, \frac{5}{7}, 1 \right)[/tex]](images/latex/91ea29e3dc58ae6de1c6080d8841ae465675c3c3_0.png "[tex]\textstyle \left ( - \frac{8}{7}, \frac{5}{7}, 1 \right)[/tex]") que pasa por ![[tex]\textstyle \left ( \frac{17}{7}, -\frac{1}{7}, 0 \right)[/tex]](images/latex/b9992ebd56727da4025ecd2911e2fc29c9be98cf_0.png "[tex]\textstyle \left ( \frac{17}{7}, -\frac{1}{7}, 0 \right)[/tex]") . La intersección de dos planos es una recta, como indica la geometría 
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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29A, es tal cual dice huey. La interseccion entre dos planos te va a dar infinitos puntos en forma de recta, como te lo detallaron en el comentario de arriba. Es importante que tengas en cuenta ese concepto.
Te voy a dar el ejemplo que da mi profesor...
Agarra un cuadernillo de esos que tienen las hojas agarradas a un espiral y abrile la tapa a 45º ponele. Hace de cuenta qe la tapa es un plano, y qe las hojas son otro plano, y fijate donde se intersecta la tapa con la hoja..en el espiral, no? Por lo tanto, el espiral representa una recta, es decir, hay infinitos puntos donde se intersecan los planos, no hay UNO solo..
Espero haberte ayudado
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29A
Nivel 5
Registrado: 22 Feb 2012
Mensajes: 164
Carrera: Informática
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Huey 7:
Muchas gracias! Entendí todo perfecto. No la abría sacado nunca. mil gracias!
moncholo11:
Gracias! La verdad nunca lo habría visto así.. cuando lo estaba haciendo sabia que había un punto que convivian en los 2 planos pero no me di cuenta que formaba una recta la intersección entre ellos!
A seguir practicando!
un abrazo
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