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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Buenas,
Yo de nuevo. Hay un ejercicio de coloquio (16-02-2010) que ni se como plantearlo:
Dado el conjunto descripto en coordenadas cartesianas por ![[tex]\dfrac {x^{2}} {4}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}+\dfrac {z^{2}} {c^{2}}\leq 1[/tex]](images/latex/2b38f48e6cc56dfb0f082e79fc50767a43fea2c8_0.png "[tex]\dfrac {x^{2}} {4}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}+\dfrac {z^{2}} {c^{2}}\leq 1[/tex]")
Hallar su volumen máximo sabiendo que ![[tex]b+c=4[/tex]](images/latex/477dba89c5e133921cc73230d2f90511b46795c2_0.png "[tex]b+c=4[/tex]") ; ![[tex]b>0[/tex]](images/latex/22e35ec56fd344e10df113dd38d94af0f3ff48da_0.png "[tex]b>0[/tex]") ; ![[tex]c>0[/tex]](images/latex/a8b14371bc307be75825d69d7190bcebb2da7408_0.png "[tex]c>0[/tex]")
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Lo que propuse y falla:
Conseguir la "función" volumen. En principio debería ser f(x,y,z,b,c) pero solo tomando x, y, z , se calcularía haciendo la integral triple de la ecuación dada (![[tex]\dfrac {x^{2}} {4}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}+\dfrac {z^{2}} {c^{2}}-1[/tex]](images/latex/151e8c16dd221753597dfa0f9838c2ffa6ffc55c_0.png "[tex]\dfrac {x^{2}} {4}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}+\dfrac {z^{2}} {c^{2}}-1[/tex]") )
Luego hacés c=4-b y supuestamente saldría, el tema es que no puedo encontrar la función volumen porque es demasiado complicada.
Cualquier ayuda se aprecia, Saludos
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Flaaanders
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 07 Sep 2008
Mensajes: 1102
Ubicación: Capital Federal - Almagro Papá!!!
Carrera: Electricista y Industrial
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Haces mal en suponer la función "f(x,y,z,b,c)".
Si le calculas el volumen a tomando que b y c son constantes, te debería quedar una ecuación en función de b y c. Conociendo la relación entre ambas, deberías poner reemplazar, dejar todo en función de b o c y analizar los máximos y mínimos.
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Responsabilidades:
Las miserias del mundo están ahí, y sólo hay dos modos de reaccionar ante ellas: o entender que uno no tiene la culpa y por lo tanto encogerse de hombros y decir que no está en sus manos remediarlo -y esto es cierto-, o bien asumir que, aun cuando no está en nuestras manos resolverlo, hay que comportarnos como si así fuera.
José Saramago 1922-2010.
![[tex]Soft\ Kitty,\ warm\ Kitty,\ little\ ball\ of\ fur.[/tex]](images/latex/88456f92074366553bc6212bdfdd4fb5b6baf719_0.png "[tex]Soft\ Kitty,\ warm\ Kitty,\ little\ ball\ of\ fur.[/tex]") ![[tex]Happy\ Kitty,\ sleepy\ kitty,\ purr,\ purr,\ purr...[/tex]](images/latex/d2ab897cc795f1e133cfc5bd5dec1e5b6a4bd460_0.png "[tex]Happy\ Kitty,\ sleepy\ kitty,\ purr,\ purr,\ purr...[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Calculas el volúmen del elipsoide con integrales triples, haciendo un cambio de variables conveniente (esto es el 50% del ejercicio).
Cuando termines, vas a conseguir una función G(b,c). Restringida a la región b+c = 4 (ambos positivos), tenes que ver si tiene un máximo.
EDIT: Me ganó Flaaanders, pero lo perdono por ser electricista (?).
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Yo hice:
![[tex]x=2\rho sen\varphi \cos \theta [/tex]](images/latex/eaad47d7da624b99adafaf402f6177e0c75b5672_0.png "[tex]x=2\rho sen\varphi \cos \theta [/tex]")
![[tex]y=b\rho sen\varphi \sen \theta [/tex]](images/latex/7c461ef3cb9fde05d3703ef4427ffb10522e3791_0.png "[tex]y=b\rho sen\varphi \sen \theta [/tex]")
![[tex]z=c\rho \cos \varphi [/tex]](images/latex/68f785ba3a2a8e9235151f5b86a632bc9183fc22_0.png "[tex]z=c\rho \cos \varphi [/tex]")
rho entre 0 y 1, theta entre 0 y 2PI, phi entre 0 y PI
El tema es que la integral triple sería algo así como:
![[tex]Vol=\int \int \int \rho^2 sen\varphi \;\; d\rho d\varphi d\theta[/tex]](images/latex/f45e71bc93d02246eb33285545cebbf3833965dc_0.png "[tex]Vol=\int \int \int \rho^2 sen\varphi \;\; d\rho d\varphi d\theta[/tex]")
pero el jacobiano sería otro... no?,..
slds,
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Claro, tenes que calcular el Jacobiano para ese cambio de variables.
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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y ahi es donde me queda una ecuación larguísima ! 
Pero si insistís en que esa es la forma correcta y óptima de realizar este ejercicio, lo calcularé.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Es ponerte a calcular un determinante "feo", eso es lo que tiene de malo. Si mal no recuerdo al final te queda una boludez el Jacobiano.
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nelsonm
Nivel 4
Edad: 38
Registrado: 27 May 2007
Mensajes: 95
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Aimac lo que planteste esta bien.
No hace falta agregar otro jacobiano, ya que ese es : p^2* sen(phi)
Calculalo asi como lo tenes y te va a quedar una ecuacion de 2 variables, a la cual le tenes que aplicar las condiciones que te propone el problema.
Luego te queda a=2 y b =2
Chau.
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PauFP
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 31 Ene 2010
Mensajes: 862
Ubicación: Ituzaingó
Carrera: Industrial
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El problema es con el cambio de variables que hiciste. Tenés que multiplicar a cada una de las variables por R (el radio), que sería una de las nuevas variables (junto con los dos ángulos).
O sea:
x=aR sen(tita) cos(phi)
y=2R sen(tita) sen(phi)
z=cR cos (tita)
Y el Jacobiano sería J=2acRR sen (tita)
Integrás con tita entre cero y Pi, Phi entre cero y dos pi y R entre cero y uno y te queda una función que depende de a y c.
f(a,c)=8/3 (pi.a.c)
Después yo usé Lagrange considerando g(a,c)=a+c-5, y te termina dando a=c=5/2, y el volumen máximo sería 50/3 Pi.
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nelsonm
Nivel 4
Edad: 38
Registrado: 27 May 2007
Mensajes: 95
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Me confundi, el nuevo jacobiano es
a*b*c*ro^2*sen(phi)
o sea :
2*b*c*ro^2*sen(phi)
esto es lo unico que va dentro de la integral
y eso si da b=2 y c=2
Al calcular el volumen te queda una funcion de 2 variables, y las condiciones del enunciado, yo no usaria lagrange sino que remplazaria la condicion dentro de la funcion y me queda una funcion comun del cbc.
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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mm.
estaré resolviendo ese ejercicio el día de hoy.
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isma.pontoriero
Nivel 5
Registrado: 27 Nov 2009
Mensajes: 149
Carrera: Civil
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Yo creo que si decis "el volumen de un elipsoide es 3/4 pi*a*b*c"
(creo que el volumen de un elipsoide era ese)
La funcion a maximizar, sale enseguida... No creo que la parte interesante sea resolver esa integral.
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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| isma.pontoriero escribió:
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Yo creo que si decis "el volumen de un elipsoide es 3/4 pi*a*b*c"
(creo que el volumen de un elipsoide era ese)
La funcion a maximizar, sale enseguida... No creo que la parte interesante sea resolver esa integral.
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Y yo no creo que te den como aprobado el ejercicio 
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Bueno, lo logré. Ahora si me siento un Euler.
El problema se resuelve de la siguiente manera:
1- Hacer cambio de variables como el que propuse anteriormente:
2- Como vas a calcular el volumen de ese cuerpo, necesitamos el jacobiano, ya que pasaste de cartesianas a otro sistema:
El jacobiano es: 2 rho^2 b c Sin(PHI)
nota: tarda mucho en calcularse, especialmente si no usás la columna que tiene un cero. Guarda con los signos.
3- ![[tex]\int \int \int JdV[/tex]](images/latex/6363159d546823d2086275905bd7d10a2e47ba48_0.png "[tex]\int \int \int JdV[/tex]") y calculás la función volumen. Debería quedar: 8/3 PI b . c
4- c = 4-b por enunciado
5- calculás el máximo de una función de una variable (Vol (b) ) que esencialmente es una cuadrática
Resultado: b = c = 2 . Vol (MÁX) = 32/3 PI
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manueldlr
Nivel 1
Registrado: 23 Feb 2012
Mensajes: 4
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aimac (El jacobiano es: 2 rho^2 b c Sin(PHI)
nota: tarda mucho en calcularse, especialmente si no usás la columna que tiene un cero. Guarda con los signos. )
no se si ya rendiste o no pero el J para cualquier CV que tengas las polares cilindircas o elipticas cada una multiplicada por un a b c,
el J nuevo es = abcJ
probalo
ej: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
x= a r cos t
y= b r sen t
J=abr--->abJ(viejo) :)
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