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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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Hola a todos. Estoy preparando el final de análisis 3, y la verdad, no entiendo NADA sobre el estudio de las convergencias de las susodichas series. Basicamente, tengo dos dudas:
1) Respecto a la convergencia uniforme; en mi carpeta tengo tres cosas al respecto de esta convergencia. La primera es la definicion, osea
"Una serie ∑Ci.φi(x) CVU a f(x) si para todo ε>0 existe N(ε)/n>N(ε) , entonces │f(x) - Sn(x)│<ε para todo x en [0,2T]"
Pero después de esto, tengo dos teoremas dados en clase (uno en la teórica y otro en la practica:
Según la práctica: una ser¡e CVU a f(x) periódica de periodo 2T si
* f es CONTINUA en [0,2T]
* f(0) = f(2T)
* f' continua a trozos
Según la teórica: una ser¡e CVU a f(x) periódica de periodo 2T si
* f es CONTINUA POR PARTES en [0,2T]
* f(0) = f(2T)
* f' continua a trozos
Entonces, mi duda es, cual de los dos teoremas es el correcto?
2) Respecto a la convergencia en media cuadrática; un ayudante me dijo que es condición suficiente para probar la CVMC que la función sea cuadrado integrable, osea
∫│f(x)│^2.dx < ∞ en el intervalo [0,2T]
Ahora bien, este ayudante no es muy confiable que digamos. ¿Es esto verdad?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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El primero es el correcto. Fijate que una serie de Fourier es una suma de funciones continuas. No hay manera de aproximar una función discontinua con una continua. Por lo tanto, si la función original es continua, la serie converge uniformemente a f en dicho intervalo. El teorema que mencionas, se conoce como teorema de Dirichlet.
Sí, es verdad lo que te dijo el ayudante. Si ![[tex]f \in \text{L}^{2}\left([0, 2T] \right)[/tex]](images/latex/7f18b7a346a4bc45fb2187319c5b80e5caa9804a_0.png "[tex]f \in \text{L}^{2}\left([0, 2T] \right)[/tex]") , entonces su serie de Fourier converge en media cuadrática a la extensión periódica de f.
EDIT: Corregido el intervalo en el espacio de Lebesgue.
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Última edición por Jackson666 el Dom Dic 11, 2011 10:44 pm, editado 2 veces
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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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| Entonces, si la función tiene una discontinuidad evitable en [0,2T], ya puedo afirmar que su serie no convergerá en forma uniforme a la función?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No, no. Las discontinuidades no tienen que ser de salto. Si son de salto, entonces no converge uniformemente, sino sí.
Es bastante intuitiva la idea. Si la función pega un salto en un punto, no podes imitar eso sumando un seno y un coseno.
Más aún, si aislas un cacho de intervalo en donde f no pegue un salto, la convergencia es uniforme allí. Pero si tomas todo el intervalo en donde es periódica y en algún punto pega un salto, entonces la convergencia no es uniforme. ¿Se entiende?.
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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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| Esta bien... Entonces, solo habrá convergencia uniforme si la función es continua en el intervalo [0,2T] y si ademas f(0) = f(2T); de esta forma la función sera continua en todo R y podemos garantizar que la serie CVU para todo x perteneciente a R?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Así es. La condición f(0) = f(2T) fuerza a que las "uniones" de los repetitivos gráficos de f uno al lado del otro estén pegados, sin espacios entre sí. Explicado medio a lo bestia. ¿Se entiende?.
Por otro lado, fijate que de la desigualdad de Bessel o la identidad de Parseval, se sigue que ![[tex]\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2T}{\left|f(t)\right|^{2} \, \text{dt}} < \infty[/tex]](images/latex/b7a47e048f1bc3100d62daa7af9ee7398fb02464_0.png "[tex]\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2T}{\left|f(t)\right|^{2} \, \text{dt}} < \infty[/tex]") . Con esto aseguras que los coeficientes tiendan a 0 en el infinito en lugar de que diverjan. O sea, la serie de coeficientes de Fourier de f(t) tiene un límite finito, un número.
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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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| Si, tenes razón. Bueno, muchas gracias!
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Pastore
Nivel 6
Registrado: 06 Ene 2009
Mensajes: 283
Carrera: Informática
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Revivo el topic para hacer una consulta,
las condiciones de Dirichlet sirven para decirme que si se cumplen entonces la serie converge PUNTUALMENTE a la funcion en un punto de continuidad y a la media aritmetica (f(x+) + f(x-) /2 ) en un punto de discontinuidad?
Dejo las condiciones de Dirichlet por si alguien no las acuerda:
1) f debe tener un nº finito de discontinuidades en un periodo
2) f debe tener un nº finito de maximos y minimos en un periodo
3) la integral en el periodo del modulo de la funcion es finita
Gracias
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Una cosa son las condiciones de Dirichlet, otra es el teorema de convergencia de Dirichlet. Te dejo un PDF en donde está explicado a partir de la página 1.
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