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Neolithing
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 11 Feb 2010
Mensajes: 88
Carrera: Informática
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Hola ,estaba haciendo este ejercicio de transformadas y buscando en el churchy vi una parecida, el tema es que no se como aplicarlo a mi ejercicio, esdecir no entiendo como aplicar la transformacion. es decir como funca.
Esta es la transformacion:
y desp aplicar otra que del rectangulo , queda semi circunferencia.
Saludos
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Es "transformaciones conformes" y el libro es de Churchill.
Fijate qué podes lograr trasladando el extremo de S que está en el punto ![[tex]z_{0} = i[/tex]](images/latex/e3005bc00a80651056881bce81f4ab59537ac7f2_0.png "[tex]z_{0} = i[/tex]") al origen y luego invirtiendo.
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Neolithing
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 11 Feb 2010
Mensajes: 88
Carrera: Informática
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| Me queda tocando con el origen la circunferencia mas grande pero la chica tambien se corrio. y al aplicar inversion , me queda una cirfurencia que no pasa por el origen y una recta que no pasa por el origen.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Me parece que no dibujaste bien la región. Acá tenes un gráfico de la misma. Cuando trasladas, ambas te quedan tocando el origen y al invertir se convierte en una banda paralela al eje de las x.
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| Jackson666 escribió:
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Me parece que no dibujaste bien la región. Acá tenes un gráfico de la misma. Cuando trasladas, ambas te quedan tocando el origen y al invertir se convierte en una banda paralela al eje de las x.
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Entiendo lo q decis, pero nunca toca al origen, dado q la ecuación de la circunferencia es con menor y no con menor o igual; o eso no importa cuando realizamos la inversión?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| No, no importa. La transformación hace lo mismo en un caso y en otro. Lo que cambia es que si tenes el borde, al invertir también tenes el borde y sino no.
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Habermecanicus
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 06 Oct 2006
Mensajes: 921
Ubicación: Paseo Colón 850
Carrera: Mecánica
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Todo bien, yo se que no suma nada. pero "transformadas" conformes no existen. Ayy las traducciones que hacen los gallegos 
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| Me quedaron dos rectas paralelas q encierran la región pedida, pero lo q no entiendo es como calcular la función armonica.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Si tenés dos rectas paralelas con condiciones (valores de U) en las rectas y sabés que se cumple la ecuación de laplace en el interior (digamos para U(x,y)), entonces U va a ser función de una sola variable (poque no varía en el sentido de las rectas, sino perpendicular a ellas). Con las condiciones de contorno sobre las rectas podés averiguar los dos parámetros de U(x,y), que surgen de integrar la ecuación de Laplace de una variable. Después utilizando las transformaciones conformes que calculaste para transformar la región en algo mas fácil de resolver (placas paralelas en tu caso) podés averiguar cuál es la parte del z complejo que te interesa para enchufarlo en la ecuación de U de variables reales.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| MarianAAAJ escribió:
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Me quedaron dos rectas paralelas q encierran la región pedida, pero lo q no entiendo es como calcular la función armonica.
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Cuando tenes las rectas que te delimitan la banda contenidas en el semiplano y > 0, fijate que las condiciones de borde que antes estaban sobre las circunferencias, ahora las tenes sobre aquellas.
Al invertir, los puntos ![[tex]z_{0} = -i[/tex]](images/latex/effe996f00303fa905f76c40b3ff5d9b09512caf_0.png "[tex]z_{0} = -i[/tex]") y ![[tex]z_{1} = -2i[/tex]](images/latex/2eea6ffb94630f7d145f515296076ea41f890171_0.png "[tex]z_{1} = -2i[/tex]") van a parar a ![[tex]w_{0} = i[/tex]](images/latex/53d7bd752d307a347ee3410f7b803eab55209ed6_0.png "[tex]w_{0} = i[/tex]") y ![[tex]w_{1} = \frac{i}{2}[/tex]](images/latex/0fe423259e7f2e56760ba7efe2a6c4667adcdff2_0.png "[tex]w_{1} = \frac{i}{2}[/tex]") respectivamente, ya que ![[tex]\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}[/tex]](images/latex/0015f41782b7773427d455958ca949b7d0cefdd2_0.png "[tex]\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}[/tex]") . Una función lineal (i.e., armónica) ![[tex]\psi(v) = av + b[/tex]](images/latex/a64c0dbe9b61cdc3f64369649f78ff1db58f0e0f_0.png "[tex]\psi(v) = av + b[/tex]") que cumpla ![[tex]\psi(1/2) = 1[/tex]](images/latex/3c146201eea123c6bcb0287e3434d91cd5ee133b_0.png "[tex]\psi(1/2) = 1[/tex]") y ![[tex]\psi(1) = 2[/tex]](images/latex/ab30145af65ed33f23a97edf528717d656ac908b_0.png "[tex]\psi(1) = 2[/tex]") cumple con lo requerido. Tenes un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (a y b).
Una vez determinados a y b, podes observar que ![[tex]v = v(x,y)[/tex]](images/latex/7d415adeb13a77363afeb42ff92456d64d9d29a5_0.png "[tex]v = v(x,y)[/tex]") representa a la parte imaginaria de la transformación que usaste para llegar hasta acá. Simplemente fue "reemplazada" transformación a transformación para poder resolver todo en un dominio más "lindo". Fijate, por ejemplo, que digo que es ![[tex]v(x,y)[/tex]](images/latex/c0c8069873cd945ea8fe4d7d7742747fdcc04af0_0.png "[tex]v(x,y)[/tex]") y no ![[tex]u(x,y)[/tex]](images/latex/5a89eceeed2c2ddd35a5418c57d7d863a6340200_0.png "[tex]u(x,y)[/tex]") por estar la banda sobre el semiplano y > 0 (o sea, "v" representa la "coordenada" imaginaria, ¿se entiende?).
La transformación es ![[tex]f(z) = \frac{1}{z-i}[/tex]](images/latex/fbc414a261bae3f0a52a9b22b336d04e102fc113_0.png "[tex]f(z) = \frac{1}{z-i}[/tex]") . Como , entonces ![[tex]\frac{1}{z-i} = \frac{\overline{z}+i}{\left|z-i\right|^{2}}[/tex]](images/latex/c6cd438619ce0876002f35d9c3075a3ea32a693d_0.png "[tex]\frac{1}{z-i} = \frac{\overline{z}+i}{\left|z-i\right|^{2}}[/tex]") , por ende, ![[tex]f(z) = \underbrace{\frac{x}{x^{2}+(y-1)^{2}}}_{u(x,y)} + i \cdot \underbrace{\frac{1-y}{x^{2} + (y-1)^{2}}}_{v(x,y)}[/tex]](images/latex/2b6349f8a02cf0713279f85ab26e1eda51e6c4e0_0.png "[tex]f(z) = \underbrace{\frac{x}{x^{2}+(y-1)^{2}}}_{u(x,y)} + i \cdot \underbrace{\frac{1-y}{x^{2} + (y-1)^{2}}}_{v(x,y)}[/tex]") . La función armónica es ![[tex]\psi(x,y) = a \cdot \frac{1-y}{x^{2} + (y-1)^{2}} + b[/tex]](images/latex/f8a026939ec26edbfabe390e746171b50844460c_0.png "[tex]\psi(x,y) = a \cdot \frac{1-y}{x^{2} + (y-1)^{2}} + b[/tex]") .
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MarianAAAJ
Nivel 7
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Carrera: Informática
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| Joya joya, unda duda si decido trasladar la región S de manera que quede en el semiplano x > 0 debería elegir la u(x,y) no?
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Jackson666
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MarianAAAJ
Nivel 7
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