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pepedropo
Nivel 2
Joined: 18 Jul 2011
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Una consulta sobre el ej 3) de este final.
La transformada de 1 entre 0 y 1, no es sen(w)/w. A mi me dio F(w)=[(exp(-iw)-1]/(-iw). Podes extender la region a [-1;1] y ahi hacer la transformada para que si quede la funcion que ustedes usaron, y q pide el ejercicio? Hay que justificarlo de alguna manera o tener algo en cuenta para despues?
gracias.
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Jackson666
Nivel 9
Age: 37
Joined: 01 Feb 2009
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| Nadie dijo que sinc(w) sea la transformada de f(t) = 1. Lee bien el enunciado.
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pepedropo
Nivel 2
Joined: 18 Jul 2011
Posts: 11
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| Si ya se, no era la idea poner que lo q dijeron estaba mal, xq esta bien. Es porq no se como hacerlo sin hacer esa consideracion de extender el periodo. Lo que quise poner era si me podia decir, si se puede extender el periodo y resolverlo con ese nuevo periodo, xq la transformada da esa cosa chota y nose como relacionarlo con sinc(w).
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Jackson666
Nivel 9
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Usando la propiedad de desplazamiento en el tiempo, se tiene que, considerando ![[tex]f(x+1/2)[/tex]](images/latex/0dd20555073fb67faf159674cadc9acb1ac7da7e_0.png "[tex]f(x+1/2)[/tex]") (corremos la función 1/2 a la izquierda)
La función corrida es la barrera de potencial con -1/2 < x < 1/2; su TF es conocida. Pasas la exponencial dividiendo y tenes la TF de tu función original. Fijate si esto te sirve.
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danie87
Nivel 5
Age: 36
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| alguien puede subir el final de hoy?
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MarianAAAJ
Nivel 7
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Joined: 14 Jan 2009
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En el ejer 2, el a y el b, cuales son las condición que garantizan que existe una expancionen serie de fourier de una función f acotada entra a y b? Q sea continua en [a, b] y periódica con periodo T alcanza?
y para el b, se q si converge, converge a f(t); pero cuales son las condiciones para q la serie converga a una función?
Puede ser que, por el lema de Riemman - Lebesque, sea f continua e integrable en [-T/2. T/2], con derivada en x0; entonces la serie de fourier de f converge a f(x0) en x0
| Jackson666 wrote:
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1) f es continua en el intervalo y es periódica
2) f' es continua por partes en el intervalo
3) f(a) = f(b) = 0.
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De donde sale la 3? No estoy muy seguro de esa, me parece q el " = 0 " no va.
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Last edited by MarianAAAJ on Sat Jan 28, 2012 10:11 am; edited 1 time in total
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Jackson666
Nivel 9
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a) Para que la STF de f(x) exista, basta que f(x) sea seccionalmente continua (con discontinuidades a lo sumo de salto finito y en cantidad finita) en el intervalo [a,b]. Con eso queda asegurada la existencia de los coeficientes de Fourier de f(x) (ya que sería integrable en ese intervalo) y, por ende, de la STF de f(x). Obviamente considerando la extensión periódica de f(x) a toda la recta real.
b) Si f(x) integrable en [a,b], en todo punto de ese intervalo en donde existan las derivadas laterales de f(x) la STF converge al promedio ![[tex]\frac{f\left(x^{+} \right) + f\left(x^{-} \right)}{2}[/tex]](images/latex/0d4b65296c80cf827b39cd3aa9888690f95e3200_0.png "[tex]\frac{f\left(x^{+} \right) + f\left(x^{-} \right)}{2}[/tex]") .
Lo último que decís acerca del lema de Riemann-Lebesgue está perfecto.
Lo que asegura la 3) es que en cada tramo en donde "empalmas" el gráfico de la función, no haya un salto, ¿se entiende?.
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MarianAAAJ
Nivel 7
Age: 35
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| Jackson666 wrote:
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b) Si f(x) integrable en [a,b], en todo punto de ese intervalo en donde existan las derivadas laterales de f(x) la STF converge al promedio .
Lo último que decís acerca del lema de Riemann-Lebesgue está perfecto.
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Lo q me refería a lo de Riemman-Lebesgue es para justificar el punto b.
| Jackson666 wrote:
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Lo que asegura la 3) es que en cada tramo en donde "empalmas" el gráfico de la función, no haya un salto, ¿se entiende?.
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Sisi, pero no tiene porque ser igual a 0.
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Jackson666
Nivel 9
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Sí, es verdad. Lo de f(a) = f(b) = 0 es para la serie de senos solamente.
Y entendí lo que decías del lema, simplemente dije otra manera de verlo.
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MarianAAAJ
Nivel 7
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MarianAAAJ
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En el punto 3 llegue a que:
![[tex] F(W) = -i .{senc} \left( \frac{w}{2} \right) . e^{ \frac{iw}{2}} [/tex]](images/latex/df60c7f49b76b14e11e7d257b161b03f6793e075_0.png "[tex] F(W) = -i .{senc} \left( \frac{w}{2} \right) . e^{ \frac{iw}{2}} [/tex]")
Después como hago para calcular la antitransformada?
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Jackson666
Nivel 9
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Esa no es la transformada de f(t). Fijate que un par de posts anteriores comente que la transformada se puede calcular como ![[tex]\mathcal{F} \left\{f(t+1/2)\right\}(\omega) = e^{i\omega/2}\mathcal{F} \left\{f(t)\right\}(\omega)[/tex]](images/latex/60bd4ec32e8dc0a5e80d29d0ab5827dc3bf25c95_0.png "[tex]\mathcal{F} \left\{f(t+1/2)\right\}(\omega) = e^{i\omega/2}\mathcal{F} \left\{f(t)\right\}(\omega)[/tex]") . La transformada de la izquierda es conocida, esa es la de la barrera de potencial con -1/2 < t < 1/2; su TF es ![[tex]\mathcal{F} \left\{f(t+1/2)\right\}(\omega) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{e^{-i\omega t} \; dt} = 2\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega }[/tex]](images/latex/54d5a103b9e52591a6a1894e1b0f59f3131c701f_0.png "[tex]\mathcal{F} \left\{f(t+1/2)\right\}(\omega) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{e^{-i\omega t} \; dt} = 2\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega }[/tex]") .
Cuando pasas la exponencial dividiendo (porque nunca es nula) obtenes que ![[tex]\mathcal{F} \left\{f(t)\right\}(\omega) = 2e^{-i\omega/2}\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}[/tex]](images/latex/614c6a946ed040448235d6157b1ac70aa3eaf55c_0.png "[tex]\mathcal{F} \left\{f(t)\right\}(\omega) = 2e^{-i\omega/2}\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}[/tex]") . Antitransformando en ambos miembros se obtiene ![[tex]f(t) \sim \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}e^{-i\omega/2} e^{i \omega t} \; d\omega} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\operatorname{exp}\left[i \omega \left(t- \frac{1}{2}\right) \right] \; d\omega} [/tex]](images/latex/2e4baa420acc25f5b6270314d2c34a8c3e198767_0.png "[tex]f(t) \sim \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}e^{-i\omega/2} e^{i \omega t} \; d\omega} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\operatorname{exp}\left[i \omega \left(t- \frac{1}{2}\right) \right] \; d\omega} [/tex]") .
Ahora observa que en t = 1/2 f(t) es derivable. Considerá f(1/2) y hace un cambio de variables conveniente.
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MarianAAAJ
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Me había confundido con unos signos para el cálculo de la transformada, hice el cambio de variable w/2 = x, e iguale la integral a:
![[tex] f(1/2) = 1 = \frac{1}{ \pi } . \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin(x)}{x}} dx [/tex]](images/latex/daf6d7e99b1a5f1c3ea248934b6be8eabae65c62_0.png "[tex] f(1/2) = 1 = \frac{1}{ \pi } . \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin(x)}{x}} dx [/tex]")
Después para el b, calculo con residuos? Es decir, una integral impropia común, con una singularidad en 0?
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Last edited by MarianAAAJ on Sat Jan 28, 2012 5:23 pm; edited 2 times in total
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Jackson666
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El resultado de la integral del seno cardinal es ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") , le habrás pifiado en algún lado en las cuentas o el último = está de más.
Claro, el b) lo tenes que hacer con el teorema de los residuos. Tenes que usar el lema 3 de Jordan. La pregunta que te hace es por la paridad de la función.
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MarianAAAJ
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| Jackson666 wrote:
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El resultado de la integral del seno cardinal es , le habrás pifiado en algún lado en las cuentas o el último = está de más.
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Sisi me quedo pi, pasa q lo escribi mal
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