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Mensaje |
koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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EDIT: Bueno, pregunté a varios profesores en FIUBA y si no se puede justificar el cambio de geometría de cilíndrica a plana entonces, aunque la respuesta esté bien, la resolución está mal. Asi que usen este topic para flashear qué está pasando con la geometría.
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Supongamos una lámina de grosor infinitesimal pero de superficie infinita por la que fluye una corriente continua y uniforme en densidad y dirección/sentido, como muestra la figura:
Si pensamos a la corriente total como una agrupación de infintas corrientes paralelas podemos analizar la sección de plano por donde salen las corrientes como sigue:
Y podemos definir una "densidad" de corriente por unidad de longitud que sería la cantidad de estas corrientes que salen (sabemos que si son una puesta al lado de la otra en realidad la densidad va a ser un numero finito) por ejemplo, por metro: ![[tex]n = \frac{I}{[L]}[/tex]](images/latex/f347fac808092f542079914a01583c5b33d9bda4_0.png "[tex]n = \frac{I}{[L]}[/tex]")
Dicho esto, analizemos qué pasa con el campo magnético de dicha configuración para lo cual necesitamos un sistema de referencia decente. Mirando la primer imagen, hagamos reposar al plano en os ejes xy y que la corriente fluya en la dirección del versor x saliente.
Ahora estamos en condiciones de aplicar la Ley de Ampere en forma integral:
![[tex]\oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \oint_S (\vec{\nabla}\times\vec{B}) \cdot \vec{dS} = \oint_S \mu_0 \vec{j} \cdot \vec{dS} = \mu_0 j \oint_S \vec{dS} = \mu_0 I n[/tex]](images/latex/e06f9706519d3b2834633f5f22c19d5d56eb016d_0.png "[tex]\oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \oint_S (\vec{\nabla}\times\vec{B}) \cdot \vec{dS} = \oint_S \mu_0 \vec{j} \cdot \vec{dS} = \mu_0 j \oint_S \vec{dS} = \mu_0 I n[/tex]")
Donde j es la densidad de corriente y S la superficie (tomemosla plana) delimitada por C. Como ![[tex]j = \frac{nI}{A}[/tex]](images/latex/32be04303e97d81e024ad60aa49c63f88aaf7645_0.png "[tex]j = \frac{nI}{A}[/tex]") , entonces ![[tex]j\cdot A = nI[/tex]](images/latex/fb99a757f4024fbb24a74d0166244d598b891034_0.png "[tex]j\cdot A = nI[/tex]") que 'atraviesa' la superficie S.
Si descomponemos la integral resulta que por la simetría del problema, los tramos en ![[tex]\hat{k}[/tex]](images/latex/7f24fbd1dda46fe8ccaa3bff2688a845d9b553de_0.png "[tex]\hat{k}[/tex]") no aportan ya que son de longitud despreciable (o se cancelan si aportaran), por otro lado, el campo debe tener componentes en el eje ![[tex]\hat{j}[/tex]](images/latex/bca9d91718f44d5152fa8b28289606bac592f46b_0.png "[tex]\hat{j}[/tex]") ya que todas las componentes en los demas versores se cancelan por haber la misma cantidad de elementos de corriente en todas las direcciones sobre el plano de cualquier punto que se considere. Con el mismo argumento, la intensidad del campo magnético por debajo debe ser igual al campo magnético por arriba del plano y no puede depender de la distancia a dicho plano. Resulta entonces:
![[tex]B_{\hat{j}} \cdot [L] + B_{\hat{-j}} \cdot [L] = \mu_0 I n [L][/tex]](images/latex/58cddebc46850e9fd2ff9c01b86893d7ba513eb2_0.png "[tex]B_{\hat{j}} \cdot [L] + B_{\hat{-j}} \cdot [L] = \mu_0 I n [L][/tex]")
![[tex]B_{\hat{j}} + B_{\hat{-j}} = \mu_0 I n[/tex]](images/latex/a8c8f6b1be0580890df090443d0cb8ce09719796_0.png "[tex]B_{\hat{j}} + B_{\hat{-j}} = \mu_0 I n[/tex]")
![[tex]B = \frac{\mu_0 I n}{2}[/tex]](images/latex/2a8770b9ee3165b0c8dd3cf4def461b7e64c9add_0.png "[tex]B = \frac{\mu_0 I n}{2}[/tex]")
Por el producto vectorial entre el diferencial de corriente y la posición donde medimos el campo, el campo es entonces, vectorialmente:
![[tex]z > 0: \vec{B} = -\frac{\mu_0 I n}{2} \hat{j}[/tex]](images/latex/58f019ba0ff8f245124e39ee0da0f0c12bb17585_0.png "[tex]z > 0: \vec{B} = -\frac{\mu_0 I n}{2} \hat{j}[/tex]")
![[tex]z < 0: \vec{B} = \frac{\mu_0 I n}{2} \hat{j}[/tex]](images/latex/e327fb1495b05aed01da88a5cb7e7867794cc047_0.png "[tex]z < 0: \vec{B} = \frac{\mu_0 I n}{2} \hat{j}[/tex]")
Conocido este caso particular, el caso del solenoide se resuelve muy fácilmente. Consideremos un solenoide entonces de longitud infinita y la misma densidad n de densidad de corriente en los lados. El truco está en darse cuenta de que gracias a la simetría del solenoide, haciendo un corte longitudinal por el centro de simetría podemos resolver el problema como si fuesen láminas infinitas que ya sabemos como se resuelven:
Si aplicamos la resolución del campo anterior vamos a ver entonces como en el interior del solenoide el campo se refuerza (exactamente el doble por la contribución de los dos lados, ![[tex]\mu_0 I n[/tex]](images/latex/a9fd736a4e17f8ca4253785c9847bf3381baf20b_0.png "[tex]\mu_0 I n[/tex]") ) y en el exterior es idénticamente 0:
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Última edición por koreano el Vie Sep 30, 2011 7:39 pm, editado 1 vez
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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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Buenísimo! Gracias 
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Megu*~ escribió:
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Buenísimo! Gracias
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Reporto, spam.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Muy buen laburo koreano, la verdad excelente.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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connor
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 30 Ene 2010
Mensajes: 620
Carrera: Electrónica
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hay un apunte en la pagina de la facultad que se llama "el solenoide es infinito???" de guillermo santiago, hasta la bibliografia que pude leer es uno de los mejores explicados, aunque en el curso de fisica 2 no se use mucho los casos que no cumplen condiciones para la ley de ampere, pero muy buen trabajo koreano
las imagenes como las haces, porque cuando hago algun apunte para la materia tengo problemas con las imagenes jaja
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![[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]](images/latex/e0cd73a3618cb8730bc9a5247a96170b44c749da_0.png "[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]")
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Te zarpaste Koreano, muy bueno.
A mí Piñera nos dijo algo así como "se puede mostrar, pero créanme que es 0 afuera", te prometés a vos mismo que lo vas a buscar en algún lado (porque en el momento te come la cabeza), pero después por una cosa u otra te terminás olvidando, y te pasó la materia de largo sin saber estas cosas.
Muchas gracias.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Ahí edité el post porque parece que esta resolución NO es justificable y por ende no sirve.
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cordoba85
Nivel 2
Registrado: 13 Ago 2008
Mensajes: 10
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No esta en la pagina de la facultad, pero creo que te referis a esto:
http://www.unicen.edu.ar/crecic/analesafa/vol21/v21-01-1-9.pdf
Eso lo hicieron los 4 primeros que son ayudantes de la materia, yo estaba cursando con uno de ellos en ese entonces.
Muy bueno...Volado, pero bueno si son muy curiosos.
Salute!
| connor escribió:
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hay un apunte en la pagina de la facultad que se llama "el solenoide es infinito???" de guillermo santiago, hasta la bibliografia que pude leer es uno de los mejores explicados, aunque en el curso de fisica 2 no se use mucho los casos que no cumplen condiciones para la ley de ampere, pero muy buen trabajo koreano
las imagenes como las haces, porque cuando hago algun apunte para la materia tengo problemas con las imagenes jaja
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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