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Mensaje |
koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Contribuyo con un ejercicio típico de Biot-Savart al mejor estilo matemáticamente completo como se pide en las mejorcitas cátedras de Física II, mas que nada porque no encontré en ningún libro la resolución así y siempre prefiero resolver los problemas usando las herramientas matemáticas a full. Lo posteo para el que le sirva y de paso si encuentran errores o comentarios, son bienvenidos.
![[tex]\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3}[/tex]](images/latex/f4162690453dc7e1c3c94d4f942d311b721ba806_0.png "[tex]\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3}[/tex]")
- El vector posición dónde queremos calcular el campo es ![[tex]\vec{r}(z) = (0, 0, z)[/tex]](images/latex/f49ddc4219424506cf522c38cd61d87551891985_0.png "[tex]\vec{r}(z) = (0, 0, z)[/tex]")
- El vector posición del elemento de carga es ![[tex]\vec{r'}(\theta) = (R\cos(\theta), R\sin(\theta), 0)[/tex]](images/latex/029a3366b860ab38ef72a65c10d021685fe8a57b_0.png "[tex]\vec{r'}(\theta) = (R\cos(\theta), R\sin(\theta), 0)[/tex]") , poniendolo como parametrización al mejor estilo polares.
- Diferenciando el anterior con respecto a la variable, ![[tex]\frac{d}{d\theta}[/tex]](images/latex/354d19ec227a2253f9428d0dede44cec5da13ef7_0.png "[tex]\frac{d}{d\theta}[/tex]") , obtenemos el diferencial de longitud del elemento de carga ![[tex]\vec{dl} = (-R\sin(\theta), R\cos(\theta), 0) d\theta[/tex]](images/latex/aff720654aae0e542bf46e766c3d53c14629a8f0_0.png "[tex]\vec{dl} = (-R\sin(\theta), R\cos(\theta), 0) d\theta[/tex]") con respecto al cual se evalua la integral
- Por último: ![[tex]\vec{r} - \vec{r'} = (-R\cos(\theta), -R\sin(\theta), z)[/tex]](images/latex/77ee35851471eac179a240c21eee05e32a9f4b47_0.png "[tex]\vec{r} - \vec{r'} = (-R\cos(\theta), -R\sin(\theta), z)[/tex]") , por lo tanto:
![[tex]\|\vec{r} - \vec{r'}\| = (R^2 \cos^2 (\theta) + R^2 \sin^2 (\theta) + z^2)^{\frac{3}{2}} = (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]](images/latex/d2f17650d982cbb62988cebf72a8c9825c3478e1_0.png "[tex]\|\vec{r} - \vec{r'}\| = (R^2 \cos^2 (\theta) + R^2 \sin^2 (\theta) + z^2)^{\frac{3}{2}} = (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]")
Hacemos el producto vectorial:
![[tex]\vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'}) = (zR\cos(\theta), zR\sin(\theta), R^2) d\theta[/tex]](images/latex/855188a2c27785a2a229cf36894ee2c50193e1f1_0.png "[tex]\vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'}) = (zR\cos(\theta), zR\sin(\theta), R^2) d\theta[/tex]")
Finalmente evaluamos la integral para cada coordenada:
![[tex]\hat{i}) \, B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{zR\cos(\theta) d\theta}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } = 0[/tex]](images/latex/8d1eb00cb5ed84a2be9209518395d7b6864f9401_0.png "[tex]\hat{i}) \, B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{zR\cos(\theta) d\theta}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } = 0[/tex]")
![[tex]\hat{j}) \, B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{zR\sin(\theta) d\theta}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } = 0[/tex]](images/latex/07b45dedaefa2bcd24ccf2bd79f6e7e3fb1e6141_0.png "[tex]\hat{j}) \, B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{zR\sin(\theta) d\theta}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } = 0[/tex]")
![[tex]\hat{k}) \, B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{R^2 d\theta}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{R^2 2\pi}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]](images/latex/4aad370f210a9309bc0d40bf448786463dfc131f_0.png "[tex]\hat{k}) \, B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{i \cdot \vec{dl} \times (\vec{r} - \vec{r'})}{\|\vec{r} - \vec{r'}\|^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{R^2 d\theta}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{R^2 2\pi}{ (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]") ![[tex] = \frac{\mu_0 i R^2}{2 (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]](images/latex/d188892a6d9c6d72b48769163115a2c8e1e09a5d_0.png "[tex] = \frac{\mu_0 i R^2}{2 (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} }[/tex]")
Resultado final:
![[tex]\vec{B}(z) = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + \frac{\mu_0 i R^2}{2 (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } \hat{k}[/tex]](images/latex/6f7c86731f0f56155c455503c6dc5f435ac5df1b_0.png "[tex]\vec{B}(z) = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + \frac{\mu_0 i R^2}{2 (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} } \hat{k}[/tex]")
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Última edición por koreano el Vie Jun 03, 2011 9:34 pm, editado 1 vez
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Oso
Nivel 9
Edad: 38
Registrado: 01 Mar 2007
Mensajes: 2716
Ubicación: San Isidro
Carrera: Industrial
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Muy buen aporte Koreano. Y hecho en [tex]\LaTeX[/tex] 
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![[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]](images/latex/a328513baa7a9ae1a5f22b69d45dd2a6b90980e8_0.png "[tex]\int Oso + 10\ dt...[/tex]")
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Hige
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 11 Oct 2009
Mensajes: 58
Ubicación: Longchamps
Carrera: Informática
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Gracias man >.<
| koreano escribió:
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Contribuyo con un ejercicio típico de Biot-Savart al mejor estilo matemáticamente completo como se pide en las mejorcitas cátedras de Física II
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A mi me pidieron eso, completo y que lo entregue...
| koreano escribió:
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mas que nada porque no encontré en ningún libro la resolución así...
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Y tambien estube buscando en libros y no lo encontre asi.
Otra vez gracias por salvarme
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Grande chino (no del los de mierda eh)!
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Uy justo ayer saqué una resolución muy piola del campo de un solenoide usando simetría de revolución y planos de corriente infinitos. Después la subo.
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connor
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 30 Ene 2010
Mensajes: 620
Carrera: Electrónica
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| estaria bueno que lo pongas ese, en la pagina de la facultad ya hay uno que es por aproximacion, pero es para el caso en que las espiras no estan separadas para suponer que se anule el campo ni tampoo es infinito, por eso puede servir para los demas
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![[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]](images/latex/e0cd73a3618cb8730bc9a5247a96170b44c749da_0.png "[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]")
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