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zxcvbs
Nivel 3
Edad: 44
Registrado: 13 Jul 2009
Mensajes: 34
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Hola, estoy tratando de hacer este ej. y se me planteo una duda.
2. Sean
A= k 1 1
1 5 2
0 0 k
B pertenece a R3x3 tal que det B=4
Determinar todos los valores de k E R, para los cuales el sistema B(A^2)x= 6BAx
Esto es lo que fui haciendo. Disculpe que no use latex estoy en el trabajo.
Primero hago=
B(A^2)x=
B(A^2)x - 6BAx = 0
(B(A^2) - 6BA ) x = 0
BA ( A - 6I ) x = 0
como el det de b es igual a 4, distinto de 0, el sistema es inversible.
B^-1B A ( A - 6I ) x = 0
Y tengo que resolver esto.
Para los valores de k en los que es SCI
A= k 1 1
1 5 2
0 0 k
det A =
k (5k - 1)
k = 0 o k=1/5
Y despues de esto que tengo que hacer? resolver
A ( A - 6I ) x = 0 con los valores de k?
como es homogenea ninguna me va a dar sistema indeterminado le doy los dos valores de k?
Si hay algo mal de antes les pido que me digan.
Gracias.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| zxcvbs escribió:
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Determinar todos los valores de k E R, para los cuales el sistema B(A^2)x= 6BAx
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Llegué hasta acá leyendo y creo que te faltó escribir algo más. Qué condicion/es querés sobre el sistema? O simplemente querés que sean lo mismo ambas expresiones?
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zxcvbs
Nivel 3
Edad: 44
Registrado: 13 Jul 2009
Mensajes: 34
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A ver si funciona esto:
![[tex]Sean \begin{bmatrix}k & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &k \end{bmatrix}y B \varepsilon R^{3x3} \\ det(B)= 4[/tex]](images/latex/4b3a9c5d6016fdc2f25c968ef61d296167dcc9e5_0.png "[tex]Sean \begin{bmatrix}k & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &k \end{bmatrix}y B \varepsilon R^{3x3} \\ det(B)= 4[/tex]")
Determinar todos los valores de kER para los cuales el sistema
![[tex]BA^{2}x=6BAx[/tex]](images/latex/a2d4996505bc510b36b0156850ab535bb1a6c7c1_0.png "[tex]BA^{2}x=6BAx[/tex]") tiene infinitas soluciones
Despejo un poco.
![[tex]\\BA^{2}x=6BAx\\BA^{2}x - 6BAx = 0\\(BA^{2} - 6BA)x = 0\\(BA (A -6I))x = 0\\B^{-1}B()A (A -6I))x = 0\\A (A -6I))x = 0[/tex]](images/latex/07a58809b4758811802f9b1fe11d7243c2cfc182_0.png "[tex]\\BA^{2}x=6BAx\\BA^{2}x - 6BAx = 0\\(BA^{2} - 6BA)x = 0\\(BA (A -6I))x = 0\\B^{-1}B()A (A -6I))x = 0\\A (A -6I))x = 0[/tex]")
![[tex]\\\begin{bmatrix}k & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &k \end{bmatrix}\\\\det(A)= k\begin{bmatrix} k&1 \\ 1&5 \end{bmatrix}\\k(5k -1)\\k=0 \ u \ k=\frac{1}{5}[/tex]](images/latex/aab1d35eb1b26c2281c55e09ce94cff6cd5b931c_0.png "[tex]\\\begin{bmatrix}k & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &k \end{bmatrix}\\\\det(A)= k\begin{bmatrix} k&1 \\ 1&5 \end{bmatrix}\\k(5k -1)\\k=0 \ u \ k=\frac{1}{5}[/tex]")
Y ahora tambien tengo que sacar el determinante de ![[tex] A(A -6I))x = 0[/tex]](images/latex/2ed009fb20f1ddb828bc8c89d8be32225c0b69b5_0.png "[tex] A(A -6I))x = 0[/tex]")
![[tex]\\\begin{bmatrix}k & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &k \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6 &0 &0 \\ 0 &6 &0 \\ 0 & 0 &6 \end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix}k-6 &1 &1 \\ 1 &-1 &2 \\ 0 & 0 &k-6 \end{bmatrix}\\det(A)= (k-6)\begin{bmatrix} k-6&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}\\(k-6)(-k+5)\\-k^{2}+5k+6k-30\\-k^{2}+11k-30\\\\\frac{-11\pm \sqrt{121-4*30}}{-2}\\k=5 \ u \ k=6[/tex]](images/latex/d5a5679fe4c7911d123dcf208e5b2ed64317d79c_0.png "[tex]\\\begin{bmatrix}k & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &k \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6 &0 &0 \\ 0 &6 &0 \\ 0 & 0 &6 \end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix}k-6 &1 &1 \\ 1 &-1 &2 \\ 0 & 0 &k-6 \end{bmatrix}\\det(A)= (k-6)\begin{bmatrix} k-6&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}\\(k-6)(-k+5)\\-k^{2}+5k+6k-30\\-k^{2}+11k-30\\\\\frac{-11\pm \sqrt{121-4*30}}{-2}\\k=5 \ u \ k=6[/tex]")
Y ahora viene un poco la vagancia. podria responder dando para los valores k = 0, k = 1/5, k = 5, k= 6
el sistema es S.C.I ?
la pregunta viene a que si tengo SCI, y estoy multiplicando. se que sus determinantes dan 0. Entonces
det(A)*det (A-6I) x = 0
Estaria multiplicando por 0 y anularia todo. O tengo que resolver para los 4 valores?
Porque tambien lo hice, y me dan en algunos casos multiplicacion de matrices que no se pueden, R3*3 * R2*3, sobre todo para los casos k=5 o k=6, puedo rellenar con 0 la fila que falta?
Ej. k=5
![[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 &2 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/904dc3c52eef105826df8c9c0103f9f6ed3971e4_0.png "[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 &2 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]")
que seria lo mismo que multiplicar por
![[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & -1 &0 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/da540cd56b1b5b2dff03d60ea39f7e1d3496fe8e_0.png "[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & -1 &0 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]")
si triangulo un poco la 2da matriz.
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zxcvbs
Nivel 3
Edad: 44
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Mensajes: 34
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disculpen me dice editar donde figura lo ultimo deberia ser esto.
Ej. k=5
![[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 &2 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/b087c95cbf520fd442bf74c9998fb5c62f7730dc_0.png "[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 &2 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]")
que seria lo mismo que multiplicar por
![[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1 &0 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]](images/latex/b72538ffb073ab2159288bcff407c5f264b7dcfd_0.png "[tex]\\\begin{bmatrix}5 & 1 & 1\\1 & 5 &2 \\ 0 & 0 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1 &0 \\ 0 & 0 &-1 \end{bmatrix}[/tex]")
si triangulo un poco la 2da matriz.
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Jackson666
Nivel 9
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Claro, estaba bien lo que hiciste, pero después no sé por qué le sacaste una fila a la matriz. Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, no tenes por qué sacársela.
Ahora bien, hallaste 4 valores de k para los cuales el sistema no tiene solución única. Esto implica que puede ser SCI o SI. Por ende, tenes que reemplazar y probar.
Una cosita al márgen, y más que nada como consejo. Fijate que escribiste en un momento (-k+5)[/tex]](images/latex/a1a1f4dcbed4ba7f42bfcd048a9daa04e15722ca_0.png "[tex](k-6)(-k+5)[/tex]") y después hiciste distributiva, reagrupaste, y usaste la formulita de raíces para polinomios de grado 2. En realidad, si te fijas, ya tenías las raíces servidas de entrada, que son las mismas que las que hallaste.
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zxcvbs
Nivel 3
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Registrado: 13 Jul 2009
Mensajes: 34
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ja, no me avive. al ser un sistema homogeneo con los casos mencionados. Hay forma que sea Sistema incompatible?
digo me va a quedar cada termino igual a 0 por lo que no tiene que cumplir con ninguna condicion.
Saludos.
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Jackson666
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Sí, tenes razón, nunca va a ser incompatible. Pasa que hay que tener en cuenta que no es muy sano que te conteste a las 2 am 
Saludos.
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