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drakoko
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gente a ver si me ayudan con estas afirmaciones V o F. y por q?
1) f(z) = z conjugado es una función homográfica
2) si el residuo de f(z) en z=z_0 es cero, entonces f es holomorfa en z_0
3) si f(z) admite un desarrollo de Laurent en entorno de z_0 donde coeficientes de parte principal son nulos => F(z) es holomorfa.
4) si f(z) es holomorfa en z distinto de cero y f(z) = f(-z), entonces los coeficientes de las potencias de indice impar de la serie de Laurent en un entorno de cero son nulos.
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Jackson666
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1) Me parece que sí. Una función homográfica es de la forma ![[tex]f(z)=\frac{az+b}{cz+d}[/tex]](images/latex/559d88326462664273c8334c738952e09e9ab97c_0.png "[tex]f(z)=\frac{az+b}{cz+d}[/tex]") , con ![[tex]ad-bc \neq 0[/tex]](images/latex/9192eb8a678adfb98c116b3fcc3e6779a9550608_0.png "[tex]ad-bc \neq 0[/tex]") y como ![[tex]\frac{1}{z}[/tex]](images/latex/52fecaac215224ed6e6d97a4f95c10e3cf49c6d6_0.png "[tex]\frac{1}{z}[/tex]") es una homografía, el conjugado seguramente también lo sea.
2) Falsa. Contraejemplo: casi cualquier función con una singularidad en ![[tex]z_{0}[/tex]](images/latex/bb5e7d3463e92fecea1065afa97ec5b9abdff610_0.png "[tex]z_{0}[/tex]") y que tenga una potencia par involucrada. Por ejemplo ![[tex]\mathbf{exp}\left( \frac{1}{z^{2}} \right)[/tex]](images/latex/773f8a18ba1007da5bb89e26dbdb7f085cd1a9f9_0.png "[tex]\mathbf{exp}\left( \frac{1}{z^{2}} \right)[/tex]") en ![[tex]z_{0} = 0[/tex]](images/latex/a7229e88dd1fe7be3f9567345e49b24a1170eb79_0.png "[tex]z_{0} = 0[/tex]") .
3) Falsa. En realidad, la función o bien es holomorfa o bien tiene una singularidad evitable en ese punto. La demostración es que si esos coeficientes son nulos, entonces la serie es de Taylor. O sea, ![[tex]f(z) = a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]](images/latex/c8fd1bab64c617550d99bc06dd126c8b895d9e3b_0.png "[tex]f(z) = a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]") .
Otra manera de verlo es mediante el teorema de módulo máximo. Fijate que si definís a una función en un abierto ![[tex]0< |z-z_{0}|<R[/tex]](images/latex/4a37cc27662fc906a2402007210987d037b7b223_0.png "[tex]0< |z-z_{0}|<R[/tex]") , necesariamente existe una constante positiva ![[tex]M[/tex]](images/latex/be35aaca796a7a163d56da6cfa3e56af51ff9d54_0.png "[tex]M[/tex]") tal que ![[tex]|f(z)|<M[/tex]](images/latex/3bb7f4e091e1adfdeb6ce5184547dbed61da0c55_0.png "[tex]|f(z)|<M[/tex]") . No puede ser igual, porque el máximo siempre se alcanza en un punto del borde si la función no es constante. Los coeficientes ![[tex]b_{n} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}^{+}}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}[/tex]](images/latex/b3a1900635970c47cd799d3140bc4e343cc93bc7_0.png "[tex]b_{n} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}^{+}}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}[/tex]") , están acotados por esa constante según la desigualdad de Cauchy (adaptada), esto es ![[tex]|b_{n}|< M \rho^{n}[/tex]](images/latex/700a2aaf772c3b324d004fbb9f0b944ca70dffb4_0.png "[tex]|b_{n}|< M \rho^{n}[/tex]") . Dado que ![[tex]0<\rho<R[/tex]](images/latex/31dff9a4723d8263d821f1450d9b8bc290f0994f_0.png "[tex]0<\rho<R[/tex]") es el radio de la circunferencia, arbitrario, puede tomarse lo suficientemente chico y esa desigualdad te dice que en el límite ![[tex]b_{n}=0[/tex]](images/latex/f1d295108b54301c133f9ff6b540781b3eaa543f_0.png "[tex]b_{n}=0[/tex]") .
4) Me parece que sí, pero no logro verlo ahora.
Saludos.
EDIT: Corregido.
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Última edición por Jackson666 el Lun Ago 01, 2011 9:52 pm, editado 1 vez
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Jackson666
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Después de comer es otra cosa che 
1) Toda función lineal es una homografía siempre que ![[tex]ad \neq 0[/tex]](images/latex/ce6b9b5526397db1cf64e908626040a3abe576b9_0.png "[tex]ad \neq 0[/tex]") .
4) No me di cuenta que la serie de Taylor (por ser holomorfa) va centrada en 0.
O sea, si se tiene que ![[tex]f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}[/tex]](images/latex/2bd6d3266f33481274e10795c5c42d8e45f15462_0.png "[tex]f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}z^{n}}[/tex]") y ![[tex]f(-z) = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}a_{n}z^{n}}[/tex]](images/latex/177085311b5b8fc251f4b0c2c94014cb312eca60_0.png "[tex]f(-z) = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}a_{n}z^{n}}[/tex]") , en vista de que ![[tex]f(z) = f(-z)[/tex]](images/latex/4020c31b7d53b3817b2d2b17d18de47489194807_0.png "[tex]f(z) = f(-z)[/tex]") se tiene ![[tex]a_{n}z^{n} = (-1)^{n}a_{n}z^{n}[/tex]](images/latex/b621d17d4ae9fe364e7d68858cc5934581328a3e_0.png "[tex]a_{n}z^{n} = (-1)^{n}a_{n}z^{n}[/tex]") . Es evidente que para n par se satisface y, para n impar, ocurre que ![[tex]a_{2n-1}z^{2n-1} = -a_{2n-1}z^{2n-1}[/tex]](images/latex/bc609a731e76f6a7c615c5d109ebf7d9e715af43_0.png "[tex]a_{2n-1}z^{2n-1} = -a_{2n-1}z^{2n-1}[/tex]") , como ![[tex]z\neq 0[/tex]](images/latex/1c8c2b478ee3ab76237395b91b5166b6f41734cb_0.png "[tex]z\neq 0[/tex]") entonces ![[tex]a_{2n-1} =0[/tex]](images/latex/d6d5eb1a45af23fdf01b5cf0edcf92f4d26d6f30_0.png "[tex]a_{2n-1} =0[/tex]") .
Saludos!
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drakoko
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| Jackson666 escribió:
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1) Me parece que sí. Una función homográfica es de la forma , con y como es una homografía, el conjugado seguramente también lo sea.
2) Falsa. Contraejemplo: casi cualquier función con una singularidad en y que tenga una potencia par involucrada. Por ejemplo en .
3) Verdadera. En realidad, la función o bien es holomorfa o bien tiene una singularidad evitable en ese punto. La demostración es que si esos coeficientes son nulos, entonces la serie es de Taylor. O sea, .
Otra manera de verlo es mediante el teorema de módulo máximo. Fijate que si definís a una función en un abierto , necesariamente existe una constante positiva tal que . No puede ser igual, porque el máximo siempre se alcanza en un punto del borde si la función no es constante. Los coeficientes , están acotados por esa constante según la desigualdad de Cauchy (adaptada), esto es . Dado que es el radio de la circunferencia, arbitrario, puede tomarse lo suficientemente chico y esa desigualdad te dice que en el límite .
4) Me parece que sí, pero no logro verlo ahora.
Saludos.
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2) ![[tex] \frac{1}{z^2} [/tex]](images/latex/d8358dd8cc1960dddc30335de3b94786380c6227_0.png "[tex] \frac{1}{z^2} [/tex]") sirve tambièn? o esa sì es holomorfa
el 3) no entendì nada jajaj
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Jackson666
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| drakoko escribió:
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2) sirve tambièn? o esa sì es holomorfa
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Si, sirve también.
Es holomorfa en todo el plano complejo, excepto en el origen. Pero por tener potencia par (ya está en "forma" de serie centrada en 0) su residuo en ![[tex]z_{0}=0[/tex]](images/latex/5f7d139d25a8aac8e5a5be65f43b89870d1afb19_0.png "[tex]z_{0}=0[/tex]") es 0 y no es holomorfa ahí. ¿Se entiende?.
| drakoko escribió:
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el 3) no entendì nada jajaj
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Antes que nada, te pido disculpas porque mi "verdadero" está mal. En realidad la afirmación a priori es falsa. Se basa en el hecho de que si una función tiene una singularidad evitable en un punto, entonces puede re definirse fácilmente para que sea holomorfa en éste, pero ya ahí se estaría modificando la función.
Tal vez no me haya explicado bien. Ahí va de nuevo.
Si f tiene un desarrollo de Laurent en una corona centrada en , eso es ![[tex]0<|z-z_{0}|<R[/tex]](images/latex/31a219456dcb35b51a98168478b2fa97105017d9_0.png "[tex]0<|z-z_{0}|<R[/tex]") , entonces ![[tex]f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]](images/latex/b5d5245be912b23a5a0bf973646cf359974e3f2f_0.png "[tex]f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]") . Si por hipótesis ![[tex]c_{n} = 0 \; \forall \; n < 0[/tex]](images/latex/293b689f038c9c149ed8f5e8cb867455ff7b2278_0.png "[tex]c_{n} = 0 \; \forall \; n < 0[/tex]") , el DSL se puede reescribir en términos de las potencias positivas como (serie de Taylor) ![[tex]f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]](images/latex/d314aefe2d3dcd285f88bbe8e605502d34cc63b1_0.png "[tex]f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]") o, lo que es lo mismo ![[tex]f(z) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]](images/latex/00796fb4b54ee5a2cd7f0eccda3b1cf9c23507c8_0.png "[tex]f(z) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}[/tex]") . El número ![[tex]a_{0}[/tex]](images/latex/365d2836e63831a692a6a6045713af20796118d3_0.png "[tex]a_{0}[/tex]") existe aún si la función tiene una singularidad evitable en el punto .
Por ejemplo, la función ![[tex]f(z) = \frac{\sin(z)}{z} = \sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}} = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}}[/tex]](images/latex/dc0c250077db1e2ef1c15c12658640e261a458ca_0.png "[tex]f(z) = \frac{\sin(z)}{z} = \sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}} = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}}[/tex]") como puede verse, no está definida en 0. Pero al evaluar la serie en 0, queda sólo el 1 que es el término . Definiendo nuevamente la función ![[tex]f(z) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{\sin(z)}{z} & \mbox{si } z\neq 0 \\ 1 & \mbox{si } z = 0 \end{array} \right.[/tex]](images/latex/861185839a14eba65a6c34b27d880c7e31b7ab26_0.png "[tex]f(z) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{\sin(z)}{z} & \mbox{si } z\neq 0 \\ 1 & \mbox{si } z = 0 \end{array} \right.[/tex]") se tiene una función holomorfa.
¿Se entendió un poco mejor?
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drakoko
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1) para esta se me ocurre que no es homográfica porque no lo puedo escribir de la forma ![[tex] w= \frac{az+b}{cz+d} [/tex]](images/latex/f41a2d9c5ee33cb6ab0b96c43d1769af7f97ef7c_0.png "[tex] w= \frac{az+b}{cz+d} [/tex]") .
Otra que me dijeron es que como z conjudado no es holomorfa => no es homográfica. Pero para mí z conjugado sí es holomorfa.
2) creo que no solo potencia par, todo función de la forma ![[tex] \frac{1}{z^n} [/tex]](images/latex/3e872b435b26a78c45be74e7f05bc95b91b3ec0b_0.png "[tex] \frac{1}{z^n} [/tex]") con n mayorigual que 2 no son holomorfa en cero y tiene residuo igual a cero
3) o sea, vos me habías dicho que es falso y me estás dando el contraejemplo de ![[tex]\frac{sen(z)}{z}[/tex]](images/latex/938e7b72d282cf4d8cdd83072727542416a47aff_0.png "[tex]\frac{sen(z)}{z}[/tex]") que es una función que tiene una singularidad evitable en 0 y un desarrolo en serie de Laurent con sólo término positivos. Sin emabrgo no es holomorfa?
Yo había pensado que aplicando cauchy, la integral cerrada de una función holomorfa en un recinto simplemente conexo es cero. Al no tener polo este sería el caso. Pero no sé si aplica el caso inverso (o sea no es un si solo si).
el 4) lo entendí perfecto
gracias por contestar
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df
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1)z conjugado no es holomorfa, en ningún punto, fijate que no se cumplen las ECR para ningún z.
3)si f(z) tiene una singularidad en z_0 entonces no es holomorfa en z_0, esa es la definición de singularidad.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
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| drakoko escribió:
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1) para esta se me ocurre que no es homográfica porque no lo puedo escribir de la forma .
Otra que me dijeron es que como z conjudado no es holomorfa => no es homográfica. Pero para mí z conjugado sí es holomorfa.
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Ahora que lo pienso, ¿que sea una homografía implica que sea holomorfa?. Porque sino si sería una homografía.
Como te dijo ya df, ![[tex]\overline{z}[/tex]](images/latex/64e672f1e6d29996de6de17415ffe7abbe2cb5e1_0.png "[tex]\overline{z}[/tex]") no es holomorfa por no cumplir Cauchy-Riemann en ningún punto.
| drakoko escribió:
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2) creo que no solo potencia par, todo función de la forma con n mayorigual que 2 no son holomorfa en cero y tiene residuo igual a cero
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Si, tal cual. Yo había mencionado "casi cualquier función".
| drakoko escribió:
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3) o sea, vos me habías dicho que es falso y me estás dando el contraejemplo de que es una función que tiene una singularidad evitable en 0 y un desarrolo en serie de Laurent con sólo término positivos. Sin emabrgo no es holomorfa?
Yo había pensado que aplicando cauchy, la integral cerrada de una función holomorfa en un recinto simplemente conexo es cero. Al no tener polo este sería el caso. Pero no sé si aplica el caso inverso (o sea no es un si solo si).
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Claro, te digo que es falso y te muestro un contraejemplo. Esa función no es holomorfa en 0, porque tiene una singularidad ahí (evitable, pero singularidad al fin).
Respecto a Cauchy (imagino que será el teorema de Cauchy-Goursat), está bien lo que decís. La integral de una función holomorfa sobre una curva que no encierra singularidades (región simplemente conexa) es cero. Pero este no es el caso (lo que no quiere decir que no pueda dar cero la integral), porque la región no es simplemente conexa porque se le está sacando el cero. ¿Se entiende eso?.
No entiendo bien qué queres decir con "al no tener polo este sería el caso". Es verdad que no tiene un polo, tiene una singularidad evitable, pero no por eso podes decir que es holomorfa en 0 (hay que redefinirla para que lo sea).
Saludos.
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Yankey
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| drakoko escribió:
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1) f(z) = z conjugado es una función homográfica
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Un modo es saber que la transformación debida a la conjugada de una función holomorfa con una derivada no nula se suele decir que es una aplicación indirectamente conforme.
OBS: Esto no es lo mismo que "isogonal" pues evidentemente en nuestro caso se preserva el tamaño pero se invierte el ángulo.
También es falsa debido a que es condición necesaria y suficiente para que f sea aplicación conforme en Zo (o como algunos la llaman: "aplicación biholomorfa" pues la homografía no es más que una transformación de Möbius extendida como aplicación conforme y biyectiva de la esfera de Riemann -por ende del plano complejo ampliado- definiendo adecuadamente lo que sucede en z=infinito, y en z=-c/d - de ahi el nombre "biholomorfa" muy sugestiva por cierto) es que la función f tenga derivadas primeras continuas no nulas y sea holomorfa. Y ya sabés que sucede cuando conjugas una función holomorfa por lo que te conte antes. (Demostración de esto al final)
Esa es la explicación que no te van a pedir () pero quizás resuelva alguna duda
| Jackson666 escribió:
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Ahora que lo pienso, ¿que sea una homografía implica que sea holomorfa?. Porque sino si sería una homografía.
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Si, de hecho la implicación es doble, pues si es una transformación homográfica es conforme. Y las aplicaciones conformes en Zo son funciones holomorfas en Zo con su derivada primera no nula en Zo.
Dem:
Para demostrar esto basta mirar la matriz jacobiana de f, y recordar que para que la aplicación lineal tangente conserve los ángulos orientados debe ser entonces un operador unitario.
Por consiguiente la matriz jacobiana será de la forma:
J(f, Zo)=(a -b; b a) con jacobiano no nulo. (para que este asociada a un iosomorfismo, i.e. para que sea inversible)
Como por definición vas a tener en la jacobiana a
J(f, Zo)= (Ux Uy; Vx Vy)
estableces las igualdades y te quedan las condiciones de Cauchy Riemann y lo del jacobiano no nulo implica las derivadas primeras continuas.
La reversibilidad de la demostración prueba la doble implicación.
Saludos!!
PD: Falta LATEX en mi cerebro
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Jackson666
Nivel 9
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Registrado: 01 Feb 2009
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| Yankey escribió:
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Si, de hecho la implicación es doble, pues si es una transformación homográfica es conforme. Y las aplicaciones conformes en Zo son funciones holomorfas en Zo con su derivada primera no nula en Zo.
Dem:
Para demostrar esto basta mirar la matriz jacobiana de f, y recordar que para que la aplicación lineal tangente conserve los ángulos orientados debe ser entonces un operador unitario.
Por consiguiente la matriz jacobiana será de la forma:
J(f, Zo)=(a -b; b a) con jacobiano no nulo. (para que este asociada a un iosomorfismo, i.e. para que sea inversible)
Como por definición vas a tener en la jacobiana a
J(f, Zo)= (Ux Uy; Vx Vy)
estableces las igualdades y te quedan las condiciones de Cauchy Riemann y lo del jacobiano no nulo implica las derivadas primeras continuas.
La reversibilidad de la demostración prueba la doble implicación.
Saludos!!
PD: Falta LATEX en mi cerebro
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Buenísima onda chabón! Gracias 
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drakoko
Nivel 9
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jaja no entiendo nadaaaaaa.
puedo decir que como no es holomorfa no puede ser homográfica?
con eso soy feliz
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Yankey
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| drakoko escribió:
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jaja no entiendo nadaaaaaa.
puedo decir que como no es holomorfa no puede ser homográfica?
con eso soy feliz
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Jajaja, sisi podes decir algo así Al fin y al cabo es condición necesaria y suficiente que la función sea holomorfa y de derivada primera no nula para que f sea una aplicación conforme. Así que si negamos alguna proposición, la aplicación no es conforme, y entonces no va a ser una homografía tampoco.
Lo que obviamente no estaría bien sería la vuelta digamos, el que no sea una transformación homográfica NO implica que la función no sea holomorfa. Podrían fallar otras cuestiones como que tenga derivada primera nula o que suceda p.e que f(z)=cte, o sea ad-bc=0.
Por otro lado.Disculpá si confunde todo lo que te tiré antes pero siento que ya que estamos está bueno hacer las cosas de modo que no se puedan plantear dudas al respecto por incompletitud. Además de repente es interesante ver que pasa en los casos que no son conformes -que ciertamente no nos interesan en lo que respecta a la materia jeje-.
Saludos!!
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drakoko
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| genio, te doy 10 puntines
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