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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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El ejercicio es resolver la ecuacion de Laplace en y>0, condiciones iniciales:
![[tex]h(x,0)=u(x)[/tex]](images/latex/0e49dacdb7688e122339802d30266244e896df86_0.png "[tex]h(x,0)=u(x)[/tex]")
O sea 1 para los x positivos o 0, 0 en otro caso.
Transformé la región por ![[tex] z \mapsto Ln(z) , - \pi /2 < arg(z) < 3 \pi /2 [/tex]](images/latex/471c8bbc56d09df38108b43bac9da6cff8bd409e_0.png "[tex] z \mapsto Ln(z) , - \pi /2 < arg(z) < 3 \pi /2 [/tex]") y por ejemplo ![[tex] h(u,v)=1- \frac{v}{ \pi} [/tex]](images/latex/dee1574c3068e9b74e337568a2d41e9c2252ccb1_0.png "[tex] h(u,v)=1- \frac{v}{ \pi} [/tex]") verifica las condiciones en uv, pero esto es ![[tex]h(x,y)=1- \frac{arctan(y/x)}{\pi}[/tex]](images/latex/7459eda679aeb7fd8e92a7f65b15a3ebea4d3f53_0.png "[tex]h(x,y)=1- \frac{arctan(y/x)}{\pi}[/tex]") , que no las verifica en xy.
Mi no entender.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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![[tex]h(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 1- \frac{arctan \left( \frac{y}{x} \right)}{\pi} & \mbox{si }x \ge 0 \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.[/tex]](images/latex/2485cfee32e07f1df567b28183e7655d6132aa56_0.png "[tex]h(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 1- \frac{arctan \left( \frac{y}{x} \right)}{\pi} & \mbox{si }x \ge 0 \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.[/tex]")
Por cierto: no hace falta transformar la región.
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Pero lo que pide es una función armónica en el semiplano superior, y esa función es discontínua en x=0. Lo que de alguna manera vi es que si en vez de arctan(y/x) pongo arctan(x/y), cumple las condiciones iniciales y es armónica en y>0. O sea que sigo sin entender muy bien.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Tenes razón!! Estoy quemadísimo...
Lo que hicimos en clase para resolver uno muy parecido, fue dividir la región en 2, resolver por separado y sumar las soluciones.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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El argumento no iría de 0 a pi?
No entiendo como puede cambiar la armonicidad si ponés arctan (y/x) o arctan(x/y), tiene que ser lo mismo.
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| El tema es que transformando la región, la función armónica que satisface las condiciones es 1-v/pi, como v=arctan(y/x)=/=arctan(x/y), no cumple las condiciones, es h(x,0)=1 para todo x.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
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Claro, si, ese es justamente el drama. Por eso creí que la función esa que propuse antes andaba bien...
Y no probaste preguntando en el grupo de yahoo a algún profesor?
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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La función que pusiste cumple las condiciones en x>0 si no me equivoco, puesto que arctan (0/x) = 0. Se pudre todo en x < 0, a lo mejor tiene que ver con la perdida de analiticidad en el (0,0).
EDIT: Y arctan no devuelve, por default, valores entre -pi /2 y pi / 2? La estás usando para mandar las cosas a pi, deberías ponerle alguna triquiñuela en el medio creo.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
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Carrera: No especificada
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Agrego:
Dije cualquier cosa arriba. En efecto, si y=0 y x< 0, arctan (y/x) = pi, haciendo 0 la función...
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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