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Mensaje |
Watussi
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 26 Jul 2009
Mensajes: 59
Carrera: Informática y Sistemas
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Alguien me puede ayudar con este ejercicio, porque la resolución de Prelat no la podría hacer nunca.
El ejercicio dice lo siguiente: Definir, si es posible, un producto interno en ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") para el cual la matriz (perdón pero no se hacer matrices en latex) ![[tex]M =[/tex]](images/latex/3e2aee126b8ff8a0e70a9b790729cbb9c592a270_0.png "[tex]M =[/tex]")
![[tex]\left( \mbox{1 0 0} \right)[/tex]](images/latex/593b546dce2a966becdd85dfb1d9c6c769efdc03_0.png "[tex]\left( \mbox{1 0 0} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \mbox{1 2 -1} \right)[/tex]](images/latex/1dfee9ed6a36eeab7d2cf818d968c43828a0986f_0.png "[tex]\left( \mbox{1 2 -1} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \mbox{2 2 -1} \right)[/tex]](images/latex/2a6edaf39d64afe80a388aa60c5c83aeadd0418d_0.png "[tex]\left( \mbox{2 2 -1} \right)[/tex]")
Sea la matriz de una Proyección ![[tex]P: R^3 \rightarrow R^3[/tex]](images/latex/10eef0b0d087b5d7abebd8d73989f732f1d585bf_0.png "[tex]P: R^3 \rightarrow R^3[/tex]") respecto de la base canónica.
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Don Cangrejo
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 608
Ubicación: por ahí...
Carrera: Electrónica
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Vos necesitas que M sea la matriz de proyección?
O necesitas que M = P^-1 * A * P, donde A es la matriz de producto interno que te piden?
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Watussi
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 26 Jul 2009
Mensajes: 59
Carrera: Informática y Sistemas
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| Lo que pide es que M sea M = M^-1 y M = M^t ... creo que yo hubiese empezado por ahí.
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Don Cangrejo
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 608
Ubicación: por ahí...
Carrera: Electrónica
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Pasa que si:
Fijate que la tercera columna es multiplo de la segunda, es decir, que M^-1 no existe
Por otro lado, si M es matriz de producto interno, entonces, M tiene que ser definida positiva, es decir, todos los autovalores son positivos, pero vas a ver que uno es cero (porque no existe inversa, los otros 2 son 1 y 1), por lo que no puede ser matriz de PI.
Por lo que si M = P*A*P^-1, M no puede ser de PI, por propiedades de los AVL, pero tampoco puede ser M porque M^-1 no existe. Hasta ahí me acuerdo, perdon.
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"La paciencia es amarga, pero su fruto es dulce", J. J. Rousseau.
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Eloe 4
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 21 Nov 2009
Mensajes: 409
Ubicación: Zona Norte
Carrera: Electricista
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| Cita:
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Por otro lado, si M es matriz de producto interno, entonces, M tiene que ser definida positiva, es decir, todos los autovalores son positivos, pero vas a ver que uno es cero (porque no existe inversa, los otros 2 son 1 y 1), por lo que no puede ser matriz de PI.
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No, lo que pide ese ejercicio es que M sea una matriz de proyeccion en algun PI, y hallar ese PI.
O sea, si M fuera matriz de proyeccion en el PIC, M deberia ser M^2=M y ademas M^t=M. Como claramente M no es simetrica, entonces ese Pi que estas buscando no es el PIC.
Lo primero que hay que hacer es plantear M^2=M. Eso se tiene qye cumplir en cualquier matriz de proyeccion ortogonal en cualquier PI. Seguramente te va a dar que eso vale (sino ahi nomas podes decir que no hay Pi tal que M es matriz de proyeccion).
Cuando chequees eso, tenes que sacar de la imagen de la proyeccion (Col(M)), y el nucleo de la proyeccion (Nul(M)), y plantear que esos dos espacios sean ortogonales para algun PI (asi queda definida ya la matriz de proyeccion ortogonal.
Bueno y cuando tenes eso ya esta, ahi no te va a qedar univocamente determinado el PI, o sea que le vas a tener q meter mas valores. Por ejemplo condicionando a los dos vectores de la imagen a ser ortogonales tambien, o agarrando valores cualquiera para q la matriz del PI sea definida positiva. (O sea, tenes q dar UNO SOLO de todos los PI para los cuales M es matriz de proyeccion).
Fijate si te sale, ahora no tengo tiempo, pero sino cualquier cosa paso mas tarde y lo hago.
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ramirolopezz
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 May 2011
Mensajes: 37
Carrera: Electrónica
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| Cita:
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No, lo que pide ese ejercicio es que M sea una matriz de proyeccion en algun PI, y hallar ese PI.
O sea, si M fuera matriz de proyeccion en el PIC, M deberia ser M^2=M y ademas M^t=M. Como claramente M no es simetrica, entonces ese Pi que estas buscando no es el PIC.
Lo primero que hay que hacer es plantear M^2=M. Eso se tiene qye cumplir en cualquier matriz de proyeccion ortogonal en cualquier PI. Seguramente te va a dar que eso vale (sino ahi nomas podes decir que no hay Pi tal que M es matriz de proyeccion).
Cuando chequees eso, tenes que sacar de la imagen de la proyeccion (Col(M)), y el nucleo de la proyeccion (Nul(M)), y plantear que esos dos espacios sean ortogonales para algun PI (asi queda definida ya la matriz de proyeccion ortogonal.
Bueno y cuando tenes eso ya esta, ahi no te va a qedar univocamente determinado el PI, o sea que le vas a tener q meter mas valores. Por ejemplo condicionando a los dos vectores de la imagen a ser ortogonales tambien, o agarrando valores cualquiera para q la matriz del PI sea definida positiva. (O sea, tenes q dar UNO SOLO de todos los PI para los cuales M es matriz de proyeccion).
Fijate si te sale, ahora no tengo tiempo, pero sino cualquier cosa paso mas tarde y lo hago
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Un grande eloe4 yo tampoco sabia como se hacia este ejercicio hasta ahora........
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