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Mensaje |
SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
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Buenas, el inciso b) del ejercicio número 4 del coloquio tomado el 18/02/2010 pide verificar que la función f(t)=sen(e^{x^2}) es de orden exponencial pero luego pregunta si f'(t) es de order exponencial y (más allá de que lo sea o no) y si tiene transformada de Laplace.
Por ahora opino (humildemente) que:
f(t) es de orden exponencial
f'(t) no es de orden exponencial (es imposible hallar las constantes pertinentes)
f'(t)=2te^{x^2}cos(e^{x^2}) no tiene transformada por no ser absolutamente integrable la función e^{-st}f'(t)
Hablando del tema, nunca discutimos condiciones de existencia, solo de convergencia ¿alguien sabe de un teorema que pueda llenar este espacio? (intuyo que dicho teorema vendrá por el lado de la transformada de Fourier)
Saludos, gracias y éxitos
edit: reemplacé el latex por texto común (no se si cometí un error o no pero no se rendereaba más...)
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Foros-FIUBA o muerte
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
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Carrera: No especificada
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No entiendo bien la diferencia entre convergencia y existencia para una transformada 
Si podés resolver la integral, existe y esa es tu transformada, no hay mucha vuelta que darle creo. Puede pasar, en algunos casos, que no se puede resolver la integral y encontrás la transformada igual usando algunos trucos o generalizaciones, como hacer por ejemplo, para encontrar la transformada de Fourier de la función escalón.
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SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
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| SorLali escribió:
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No entiendo bien la diferencia entre convergencia y existencia para una transformada
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idem
Intuitivamente la convergencia implica existencia (converjo, luego existo  ), como no tiene mucho sentido hablar de una integral que no converje... pero existe me inclino a asumir que se pueden intercambiar los términos "converjencia" y "existencia" al hablar de integrales...
Ahora, este ejercicio te pregunta si una función f(t) es de orden exponencial y luego si posee transformada de Laplace, plantando la semilla de la duda (al menos en el jardín de mi cerebro...) de si existe una posibilidad de que exista la transformada sin que cumpla las condiciones de converjencia.
Por ahora mi razonamiento es el siguiente: f'(t) NO es de orden exponencial por lo tanto la integral NO converje por lo tanto f'(t) NO posee transformada de Laplace pero no puedo sacudir la sospecha de que me estoy equivocando en algo...
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Foros-FIUBA o muerte
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
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Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Claro, la verdad sobre Laplace específicamente te lo debo, no tengo idea.
Se que con Fourier puede pasar que la integral no exista y sin embargo haciendo trucos y usando propiedades puedas encontrarla igual, como si fuera una suerte de prolongación analítica. Pero en principio, si la integral no existe, no tiene transformada hasta que alguien demuestre lo contrario .
Tu razonamiento está bien, eventualmente yo diría si la integral no converge PROBABLEMENTE no exista la transformada. O al menos, "No puedo asegurar la existencia de la transformada".
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Que la función sea de orden exponencial es condición suficiente para que exista su TL, no necesaria. A priori no podrías decir si una función que no es de OE tiene TL o no
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Problemas con matemática? Llamá gratis al 0-800-3x²±sen(1/n³)∫∆ƒ dx
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SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
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Muchas gracias a ambos, seguiré investigando... lo que más me hace dudar es (y esto va a sonar un poco infantil) el "tono" del ejericio...
Textualmente dice:
"La función f'(t) ¿Es de orden exponencial? ¿Tiene transformada de Laplace?"
¿Están de acuerdo conmigo en que f'(t) no es OE ni a palos? (Tal vez le chingue en eso)
Tal vez habría que utilizar otro procedimiento para probar que existe (¿ó converje?) la transformada de Laplace de f'(t)
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Foros-FIUBA o muerte
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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A lo mejor viene por el lado de
![[tex] \int_0^{\infty} e^{-st} . f'(t) dt = {e^{-st} . f(t)}|_0^{\infty} + s \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) = s Y(s) - y(0) [/tex]](images/latex/cf1cae06690eda99a101578d63a4e037365bd768_0.png "[tex] \int_0^{\infty} e^{-st} . f'(t) dt = {e^{-st} . f(t)}|_0^{\infty} + s \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) = s Y(s) - y(0) [/tex]")
Igual siento que estoy teniendo algún salto lógico.
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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| SorLali escribió:
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Muchas gracias a ambos, seguiré investigando... lo que más me hace dudar es (y esto va a sonar un poco infantil) el "tono" del ejericio...
Textualmente dice:
"La función f'(t) ¿Es de orden exponencial? ¿Tiene transformada de Laplace?"
¿Están de acuerdo conmigo en que f'(t) no es OE ni a palos? (Tal vez le chingue en eso)
Tal vez habría que utilizar otro procedimiento para probar que existe (¿ó converje?) la transformada de Laplace de f'(t)
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Humildemente, me parece que con la "definición" de cuándo una función es de OE y cuándo no, ya cae que NO es de OE. Era eso de que tenías que verificar si la función que tenés es menor o igual que una e^at, siendo a una constante, para todo t>T (con un T adecuado).
Y acá en los exponentes estarías comparando una función cuadrática contra una lineal... así que gana la cuadrática y por lo tanto no podés acotar.
(por las dudas que no haya sido claro: e^{x^2} no es menor o igual que e^{x} )
En otro orden de cosas, habría que releer la definición de cuándo una función tiene T. de Laplace y cuándo no.
Ahora no me acuerdo, pero capaz eso de que sea de OE y no_se_qué_más son condiciones suficientes, pero no necesarias...
En algún exámen lo ví eso, pero en un contexto de T de Fourier (de hecho, lo vi charlado por acá en el foro y ahi empecé a tener cuidado con todo estos detalles  ). El ej. preguntaba si una función que no cumplía con las condiciones suficientes tenía T de Fourier... y la respuesta era que sí tenía, porque si bien no cumplia con las condiciones suficientes, al no ser estas "necesarias", entonces se podían hacer unos artilugios para sacar la transformada.
Saludos!
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