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mauruch!
Nivel 2
Joined: 07 Jul 2010
Posts: 8
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Hola gente, estuve resolviendo coloquios y me surgieron algunas dudas y baches para resolver ciertos ejercicios.
1) Encontrar todas las soluciones de t.y'(t) - y(t) = 2.t.cos(2t) - sen(2t) acotadas en (0, + oo) (coloquio 12/8/09). Creo que sale por el método de factor integrante, método que no empleo nunca.
2) Dentro de un ejercicio hay una condición que no entiendo por qué Prelat saca las sgtes. conclusiones: siendo A de R 2x2
* (M)^-1.A.M es una matriz diagonal donde M = [v1 v2], v1 = [3 4], v2 = [-4 3] ..........
Prelat: por * se tiene que las columnas de M son ave de A. Puesto que las columnas de M son ortogonales, se deduce que A es simetrica...
Por qué las columnas de M son ave de A y al ser ortogonales sale que A es simétrica ?
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mauruch!
Nivel 2
Joined: 07 Jul 2010
Posts: 8
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| el 1) lo intenté resolver con y = u.v pero queda unas integrales engorrosas, aún con ayuda de la tabla de integrales.
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Basterman
Nivel 9
Age: 34
Joined: 28 Nov 2008
Posts: 2329
Carrera: Mecánica
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En el 1 dividi todo por 1/t^2 , magia pura.
2) Si, aves asociados a avas distintos son ortogonales en matrices simetricas.
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Eloe 4
Nivel 7
Age: 34
Joined: 21 Nov 2009
Posts: 409
Location: Zona Norte
Carrera: Electricista
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En el 1 por factor integrante tambien te qedan integrales horribles, la q se complica es la integral de [cos(2t)]/t , que la tabla dice q es una suma y resta infinita de terminos. no se como se hace.
Lo unico, te recomiendo q te aprendas a usar el factor integrante, te simplifica un monton los ejercicios, te ahorras muchisimo tiempo en cuentas, y la verdad q es bastante facil, en media hora se puede aprender a usarlo perfectamente.
En el 2 es que vos ahi tenes una diagonalizacion ortogonal de A, o sea, si te dice q (M)^-1.A.M es una matriz diagonal, quiere decir que:
A=M.D.M^-1 y como las columnas de M son ortogonales, M es ortogonal, o sea A es diagonalizable ortogonalmente, o sea A es simetrica (solo las matrices simetricas son diagonalizables ortogonalmente, es un si y solo si). Y ademas, las columnas de M son aves de A asociados a los avas q esten en la diagonal de la matriz D.
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Basterman
Nivel 9
Age: 34
Joined: 28 Nov 2008
Posts: 2329
Carrera: Mecánica
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Che, pero el 1 es facil si dividen todo como dije, al final queda:
(y*1/t)´=choclo/t^2, para terminar de resolver integran el choclo que no parece muy dificil y listo.
PD: No me funca el latex, mas tarde veo si lo edito y se hace mas entendible.
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Eloe 4
Nivel 7
Age: 34
Joined: 21 Nov 2009
Posts: 409
Location: Zona Norte
Carrera: Electricista
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A=M.D.M^-1 y como las columnas de M son ortogonales, M es ortogonal, o sea A es diagonalizable ortogonalmente, o sea A es simetrica (solo las matrices simetricas son diagonalizables ortogonalmente, es un si y solo si). Y ademas, las columnas de M son aves de A asociados a los avas q esten en la diagonal de la matriz D.
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Perdon, aca me confundi, M no es ortogonal, y esa no es una diagonalizacion ortogonal.
La justificaciones es la siguiente: vos ahi tenes una diagonalizacion de A, donde vale A=M.D.M^-1, entonces de ahi sacas que las columnas de M son aves de A asociados a los avas de la diagonal de D (por ser una diagonalizacion). Ahora, si esas columnas ortogonales son aves de A, entonces se puede armar una matriz V, que tenga como columnas las mismas columnas de M pero normalizadas, y ahi V si es ortogonal, y ademas esta formada por aves de A en las columnas, asociados a los mismos avas q estaban asociadas antes las columnas de M, (porq cada columna de M genera el mismo autoespacio q cada columna de V). Entonces podes decir: A=V.D.V^t o A=V.D.V^-1
Y ahi tenes una diagonalizacion ortogonal, de donde sale q A es simetrica.
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Eloe 4
Nivel 7
Age: 34
Joined: 21 Nov 2009
Posts: 409
Location: Zona Norte
Carrera: Electricista
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| Quote:
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Che, pero el 1 es facil si dividen todo como dije, al final queda:
(y*1/t)´=choclo/t^2, para terminar de resolver integran el choclo que no parece muy dificil y listo.
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Fijate q en ese choclo sobre t^2, en la parte del coseno, tambien hay una t.. o sea q te qedaria el coseno sobre t, q segun la tabla de integrales es una suma y resta infinita de termino q no se como se interpreta.
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mauruch!
Nivel 2
Joined: 07 Jul 2010
Posts: 8
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Muchísimas gracias, sabía que venía por ahí el tema, pero me faltaba hacer el click.
Con respecto a la de ec. diferenciales, recuerdo que alguna vez aprendí el metodo de factor integrante, pero había llegado a la conclusión que siempre me quedaba igual que hacer y = u.v . La verdad que ec. diferenciales es el tema con menos vuelta, pero en algunos coloquios los complican demasiado.
En un rato, subo otro de ec. diferenciales raro...
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mauruch!
Nivel 2
Joined: 07 Jul 2010
Posts: 8
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Muchísimas gracias, sabía que venía por ahí el tema, pero me faltaba hacer el click.
Con respecto a la de ec. diferenciales, recuerdo que alguna vez aprendí el metodo de factor integrante, pero había llegado a la conclusión que siempre me quedaba igual que hacer y = u.v . La verdad que ec. diferenciales es el tema con menos vuelta, pero en algunos coloquios los complican demasiado.
En un rato, subo otro de ec. diferenciales raro...
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Bistek
Nivel 8
Joined: 07 May 2010
Posts: 691
Carrera: Informática
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![[tex]t y' - y = 2t cos(2t) - sen(2t)[/tex]](images/latex/f52094122a839e82c654b7959de2079b208c4c73_0.png "[tex]t y' - y = 2t cos(2t) - sen(2t)[/tex]")
llevado a la forma standar:
![[tex] y' - \frac{y}{t} = \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t}[/tex]](images/latex/60122cffd3fbbbad2fbe7c524220ae9cab03ffbb_0.png "[tex] y' - \frac{y}{t} = \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t}[/tex]")
Buscas el factor integrante (que es "e" elevado a la funcion de t que acompaña a la "y)
![[tex]e^{\int \frac{-1}{t} \,dt} = e^{-ln(t)} = e^{ln(t^{-1})} = \frac1t[/tex]](images/latex/b87ab1981a82e3d18f92a761d60056816e0102f2_0.png "[tex]e^{\int \frac{-1}{t} \,dt} = e^{-ln(t)} = e^{ln(t^{-1})} = \frac1t[/tex]")
Multiplicas AMBOS lados por el factor integrante y te queda que:
![[tex]\frac{y'}{t} - \frac{y}{t^2} = \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t^2}[/tex]](images/latex/6808820411bf7184d2868826c0995e09a6d1c0cb_0.png "[tex]\frac{y'}{t} - \frac{y}{t^2} = \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t^2}[/tex]")
de ahi sale que
' = \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t^2}[/tex]](images/latex/71d1efea3846e2efc50d15d8b728d731bb980e00_0.png "[tex](\frac{y}{t})' = \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t^2}[/tex]")
 = \int \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t^2} \,dt[/tex]](images/latex/8bcd1195e36815595aefddb2884d11204ce3af3d_0.png "[tex](\frac{y}{t}) = \int \frac{2t cos(2t) - sen(2t)}{t^2} \,dt[/tex]")
y acá no queda otra que aplicar magia para resolver la integral, que parece complicada pero tiene una solucion facil: ![[tex]\frac{sen(2t)}{t} + cte[/tex]](images/latex/99f5f9ec1a799fd3314a0e6f6252a55b73be1145_0.png "[tex]\frac{sen(2t)}{t} + cte[/tex]")
despejas "y", y listo
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mauruch!
Nivel 2
Joined: 07 Jul 2010
Posts: 8
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Genial, muchas gracias! Recién en el almuerzo del laburo me aprendí el método ese y pude solucionar otra que también quedaba un choclo. Igualmente me da bronca eso de la magia, en el final de dónde la sacas?
De nuevo, muchas gracias!
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Eloe 4
Nivel 7
Age: 34
Joined: 21 Nov 2009
Posts: 409
Location: Zona Norte
Carrera: Electricista
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y acá no queda otra que aplicar magia para resolver la integral, que parece complicada pero tiene una solucion facil:
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sos pillo
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Bistek
Nivel 8
Joined: 07 May 2010
Posts: 691
Carrera: Informática
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Bueno que querés amigacho? Yo la saqué mirando fijo un buen rato, no recuerdo metodos de integración para hacerla paso a paso.
Lo puse para mostrarle al pibe el método de factor integrante y para refutar lo que dice arriba de que la integral te queda una sucesión infinita de términos.
Por experiencia si sale por un método tiene que salir por el otro, y si los comparás siempre te queda una integral muy parecida. La clave acá era no simplificar las t para poder ver la integral a ojo (o supongo que resolverla por algún metodo olvidado de integracion)
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